Œuvres de Fermat - I - Partie 2

Œuvres de Fermat, Texte établi par Paul Tannery, Gauthier-Villars, 1891, 1 (p. 290-358).

Ad definitionem VI Cl. Gasparis Bacheti Porismatum Libr. III ►

collectionObservations sur Diophante.Pierre de FermatGauthier-Villars1891ParisC1Observations sur Diophante.Œuvres de Fermat, Tannery, tome 1, 1891.djvuŒuvres de Fermat, Tannery, tome 1, 1891.djvu/8290-358

OBSERVATIONES DOMINI PETRI DE FERMAT.

I (p. 54).
(Ad definitionem VI Cl. Gasparis Bacheti Porismatum Libr. III.)

A duobus quibuscumque numeris formari dicitur triangulum rectangulum, quum ex aggregato et ex intervallo quadratorum ab ipsis et ex duplo plani sub ipsis numeris contenti constant latera trianguli.

A tribus numeris in proportione arithmetica possumus formare triangulum, si secundum hanc definitionem sextam formemus illud a medio et differentia. Nam solidum sub tribus ductum in differentiam faciet aream dicti trianguli, atque ideo, si differentia sit unitas, solidum sub tribus erit area trianguli.

II (p. 61).
(Ad quæstion. VIII Diophanti Alexandrini Arithmeticorum Libr. II.)

Propositum quadratur dividere in duos quadratos.

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere : cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

III (p. 65).
(Ad quæstion. X Libr. II.)

Datum numerum, qui ex duobus componitur quadratis, in alios < duos > quadratos partiri.

Num verò numerum ex duobus cubis compositum dividere poterimus in alios duos cubos ? Hæc quæstio difficilis sane nec Bacheto aut Vietæ cognita, fortasse nec ipsi Diophanto ; ejus tamen solutionem dedimus infra in notatis^[1] ad quæstionem secundam Libri IV.

IV (p. 107).
(Ad quæstion. X Libr. III.)

Dato aliquo numero, invenire tres alios, ut compositus ex binis quibuslibet adsumpto dato numero faciat quadratum, sed et summa trium dato numero adjecto faciat quadratum.

Quomodo inveniendi sint quatuor numeri ut compositus ex binis quibuslibet adsumpto dato numero conficiat quadratum, invenimus ad propositionem 30 Libri V.

V (p. 108).
(Ad quæstion. XI Libr. III.)

Dato aliquo numero, invenire tres alios, ut compositus ex duobus quibuslibet dempto dato numero faciat quadratum, sed et trium summa detracto dato numero faciat quadratum.

Quæ notavimus ad 31^am Libri V, docebunt quomodo invneniendi sint quatuor numeri, quorum bini quilibet sumpti dempto dato numero conficiant quadratum.

VI (p. 118).
(Ad quæstion. XVII Libr. III.)

Invenire tres numeros ut productus ex binorum multiplicatione, adsumpta eorumdem summa, quadratum faciat.

Exstat hujus quæstionis Diophanti problema^[2] in Libro V quæstione 5. Num verò problema sequens ipse Diophantus sciens prætermisit, an potius in aliquo tredecim librorum constructum erat, nescimus : Invenire tres quadratos ut productus ex binorum multiplicatione, adsumptâ eorumdem summâ, quadratum faciat.

Hujus tamen quæstionis infinitas solutiones dare possumus. En, verbi gratia, sequentem solutionem : satisfaciunt nempe problemati tres quadrati sequentes

${\frac {3~504~384}{203~401}},$	${\frac {2~019~241}{203~401}},$	$4.$
Primus quadratus,	Secundus quadratus,	Tertius quadratus.

Imo et ulterius progredi et Diophanteam quæstionem promovere nihil vetat. Sequens enim problema generaliter et infinitis modis construximus :

Invenire quatuor numeros sub quibus binis quod fit planum, adscitâ amborum summâ, faciat quadratum.

Inveniantur, per 5^am propositionem Libri V, tres quadrati ut quem bini faciunt planum adsciscens amborum summam faciat quadratum, et sunto illi numeri quadrati

{\frac {25}{9}},\ {\frac {64}{9}},\ {\frac {196}{9}}

Sunt ergo tres isti quadrati tres primi nostræ quæstionis. Ponatur quartus 1N ; fient tria producta unà cum summis æqualia

${\frac {34}{9}}\mathrm {N} +{\frac {25}{9}},$	${\frac {73}{9}}\mathrm {N} +{\frac {64}{9}},$	${\frac {205}{9}}\mathrm {N} +{\frac {196}{9}}$
Primum,	Secundum,	Tertium.

Hæc igitur tria æquanda quadrato, et oritur triplicata æqualitas, cujus explicationem dedimus ad quæstionem 24 Libri VI.

div id="VII">VII (p. 127-128).
Ad commentarium (in quæstion. XXII Libr. III), præcipue ad locum illum :
Adverte tertio etc.^[3].

Numerus primus, qui superat unitate quaternarii multiplicem, semel tantum est hypotenusa trianguli rectanguli, ejus quadratus bis, cubus ter, quadratoquadratus quater, etc. in infinitum.

Idem numerus primus et ipsius quadratus componuntur semel ex duobus quadratis ; ejus cubus et quadratoquadratus, bis ; quadratocubus et cubocubus ter ; etc. in infinitum.

Si numerus primus ex duobus quadratis compositus ducatur in alium primum etiam ex duobus compositum quadratis, productum componetur bis ex duobus quadratis ; si ducatur in quadratum ejusdem primi, productum componetur ter ex duobus quadratis ; si ducatur in cubum ejusdem primi, productum componetur quater ex duobus quadratis ; et sic in infinitum.

Hinc facile est determinare quoties numerus datus sit hypotenusa trianguli rectanguli.

Sumantur omnes primi, quaternarii multiplicem unitate superantes, qui datum numerum metiuntur : verbi gratia, 5, 13, 17.

Quod si potestates dictorum primorum metiantur datum numerum, disponantur unà cum reliquis loco laterum : verbi gratia, metiantur datum numerum

5 per cubum, 13 per quadratum, et 17 per latus simpliciter.

Sumantur exponentes omnium divisorum : nempe numeri 5 exponens est 3 propter cubum ; numeri 13 exponens est 2 propter quadratum et numeri 17 unitas tantum.

Ordinentur igitur, ut volueris, dicti omnes exponentes : ut, si velis, 3.2.1.

Ducatur primus in secundum bis et producto adjiciendo summam primi et secundi, fit 17. Ducatur jam 17 in tertium bis et producto adjiciendo summam 17 et tertii, fit 52. Datus igitur numerus erit hypotenusa 52 triangulorum rectangulorum ; nec est dissimilis in quotcumque divisoribus et ipsorum potestatibus methodus.

Reliqui numeri primi qui quaternarii multiplicem unitate non superant, nihil aut addunt quæstioni aut detrahunt neque ipsorum potestates.

Invenire numerum qui quoties quis velit sit hypotenusa.

Quæratur numerus qui sit septies hypotenusa.

Numerus 7 datus dupletur : fit 14. Adjice unitatem : fit 15. Sume omnes primos qui mensurant 15 : sunt hi 3 et 5. Ab unoquoque demptâ unitate, sume reliqui dimidium : fiunt 1 et 2. Quærantur tot primi diversi quot hîc sunt numeri, nempe duo, et secundum exponentes 1 et 2 inter se multiplicentur, nempe unus in quadratum alterius ; in hoc casu satisfiet quæstioni, modò primi quos sumis superent quaternarium^[4] unitate.

Ex his constat facile posse inveniri numerum minimum qui quoties quis velit sit hypotenusa.

Invenire numerum qui quoties quis velit componatur ex duobus quadratis.

Sit datus numerus 10. Ejus duplumn 20, cujus omnes partes primæ sumantur : 2.2.5. Ab unaquaque tolle unitatem : fiunt 1.1.4. Sumantur igitur tres numeri primi, qui nempe unitate superent quaternarium^[4] : verbi gratia, 5, 13, 17 ; et quadratoquadratus unius, propter exponentem 4, ducatur in reliquos duos, fiet numerus quæsitus.

Ex his facile potest inveniri minimus numerus qui quoties quis velit componatur ex duobus quadratis^[5].

Ut autem dignoscatur quoties datus numerus ex duobus quadratis componitur :

Sit datus numerus 325. Numeri primi qui eum componunt, nempe quaternarium^[4] unitate superantes, sunt : 5, 13, hic semel, ille per quadratum. Exponentes disponantur : 2.1. Productumr multiplicatione jungatur summæ : fit 5, cui adjunctâ unitate, fit 6, cujus dimidium 3. Toties igitur numerus datus componitur ex duobus quadratis. Si essent tres exponentes, ut 2.2.1, ita procedendum : Productum sub prioribus adjunctum summæ facit 8. Ducatur 8 in tertium et jungatur productum summæ : fit 17, cui junge unitatem : fit 18, cujus dimidium dat 9. Toties iste secundus numerus componetur ex duobus quadratis.

Si ultimus numerus bifariam dividendus esset impar, tune, demptâ unitate, reliqui dimidium sumi debet.

Sed proponatur, si placet, sequens quæstio : Invenire numerum in integris qui adsumpto dato numero conficiat quadratum et sit hypotenusa quotlibet triangulorum rectangulorum.

Hæc quæstio ardua est. Proponatur, verbi gratia, inveniendus numerus qui sit bis hypotenusa et adsumpto binario conficiat quadratum.

Erit quæsitus numerus 2023, et sunt alii infiniti idem præstantes, ut 3362, etc.

VIII (p. 133).
(Ad commentarium in quæstion. II Libr. IV.)

Quæstio Diophanti : Invenire duos numeros, ut illorum intervallum datum faciat numerum et cuborum quoque ab ipsis ortorum sit quod præscribitur intervallum.

Quæstio prima Bacheti : Datis duobus cubis, invenire duos alios, quorum summa æqualis sit datorum intervallo. Oportet autem duplum minoris cubi non superare majorem.

Canon : Utrumque datorum cuborum ducito ter in latus alterius, productos divide per summam cuborum, a majore quotiente aufer minus latus, et minorem quotientem aufer a majore latere ; relinquentur cuborum quæsitorum latera.

Determinationem operationis iteratione facillime tollimus et generaliter turn hanc quæstionem, turn sequentes quæstiones construimus, quod nec Bachetus nec ipse Vieta^[6] expedire potuit.

Sint dati cubi 64 et 125, inveniendi alii duo quorum summa æqualis sit datorum intervallo. Ex quæstione tertia, folio sequenti^[7], quærantur duo alii cubi quorum differentia æquet differentiam datorum. Illos Bachetus invenit et sunt

{\frac {15~252~992}{250~047}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {125}{250~047}}

Isti duo cubi ex constructione habent intervallum æquale intervallo datorum ; sed isti duo cubi, inventi per quæstionis tertiæ operationem, possuntjam transferri ad quæstionem primam, quum duplum minoris non superet majorem. Datis itaque his duobus cubis quærantur alii duo quorum summa æquetur intervallo datorum ; id quidem licet per determinationem hujus quæstionis primæ. At intervallum datorum horum cuborum est per quæstionem tertiam æquale intervallo cuborum prius sumptorum 64 et 125 ; igitur construere nihil vetat duos cubos quorum summa æqualis sit intervallo datorum 64 et 125, quod sane miraretur ipse Bachetus.

Imo, si tres istæ quæstiones eant in circulum et iterentur in infinitum, dabuntur duo cubi in infinitum idem præstantes ; ex inventis enim ultimo duobus cubis quorum summa æquet differentiam datorum, per quæstionis secundæ operationem quæremus duos alios quorum differentia æquet summam ultimorum, hoc est intervallum priorum, et ex hac differentia rursum quæremus summam et sic in infinitum.

IX (p. 135).
(Ad eumdem commentarium.)

Quæstio secunda Bacheti : Datis duobus cubis, invenire duos alios, quorum differentia æquet summam datorum.

Canon : Utrumque datorum cuborum ducito ter in latus alterius, productos divide per intervallum cuborum, et minori quotienti adde majus latus, atque a majore quotiente aufer minus latus ; summa et residuum exhibebunt quæsitorum latera cuborum.

Quæstio tertia Bacheti : Datis duobus cubis, invenire alios duos, quorum differentia æquet datorum differentiam. Oportet autem duplum minoris excedere majorem.

Canon : Productum ex utroque cubo ter in latus alterius divide per summam cuborum : a majore quotiente aufer minus latus, a minore quotiente aufer majus latus, relinquentur latera qunsitorum cuborum.

Hujus qutestionis determinationem non esse legitimam, simili qua usi in prima quSestione sumus operatione, aperiemus.

Imo ex supradictis qutestionem, quam Bachetus ignoravit, feliciter construemus :

Datum numerum ex duobus cubis compositum in duos alios cubos dividere,

idque infinitis modis per operationum continuatam, ut supra monnuimus, iterationem.

Sint duo cubi quibus alii duo wequales inveniendi 8 et i. Primiim ex qutestione secunda quserantur duo cubi quorum differentia æquet summam datorum, eruntque

{\frac {8000}{343}}

et

{\frac {4913}{343}}

Quia duplum miinoris excedit majorem, res deducitur ad tertiam qumestionem, qum demum reducetur ad primam, et constabit propositio.

Si velis secundam solutionem, rursus qu'estio redibit ad secundatm etc.

Ut autem pateat quæstionis tertise deterviniationem non esse legitimam, datis duobus cubis 8 et 1, inveniendi alii duo quorum differentia equet differentiam datorum.

Sane Bachetus impossibilem hanc quTstionem pronuntiaret; cubi tamen duo per nostram methodum inventi sunt sequentes quorum nempe differentia aquatur 7, differentire 8 et i. Cubi autem illi duo sunt

{\frac {2024284625}{6128487}}

et

{\frac {1981385216}{6128487}}

latera ipsorum

{\frac {1965}{183}}

et

{\frac {1256}{183}}

X (p. 146).
(Ad commentarium in question. XI Libr. IV.)

Quæstio Diophanti: Invenire duos cubos suis æquales lateribus.

Quæstio Bacheti: Invenire duos cubos quorum summa ad summam laterum sit in data ratione, dummodo denominator rationis sit quadratus vel triens quadrati.

Eadem addenda huic determinationi que in notis sequenti ^[8] addidimus, et miror Bachetum non quod methodum generalem, quas sane est difficilis, non viderit, sed quod saltem non admonuerit lectorem hanc qute ab ipso traditur non esse generalem.

XI (p. 148).
(Ad quæstion. XII Libr. IV.)

Invenire duos cubos quorum intervallum æquale sit intervallo laterum ipsorum.

Utrum vero invenire liceat duos quadratoquadratos quorum intervallum cequale sit intercallo laterum ipsorum, de hoc inquiratur et tentetur artificium nostræ methodi, quod haud dubie succedet.

Quærantur enim duo quadratoquadrati ita ut differentia laterum sit i, et differentia quadratoquadratorum sit cubus. Erunt latera, per primam operationem,

-{\frac {9}{22}}

et

-{\frac {13}{22}}

Sed, quia primus numerus notatur signo -, iteretur operatio juxta nostram methodum et ponatur primum latus 1N -9/22; secundum erit 1N + 13/22

et incidetur in novam operationem quse in veris numeris questioni satisfaciet.

XII (p. 148).
(Ad commentarium in eamdem qusestionem.)

Quaestio Bacheti: Invenire duos cubos, quorum intervallum ad intervallum laterum datam habeat rationem, dummodo denominator rationis sit quadratus vel triens quadrati.

Determinatio est illegitima, quia non generalis. Addendum igitur ( vel multiplex per numeros primos qui superant unitate ternarii multiplices aut ab ipsis compositos,,, ut 7, i3, 19, 37, etc., vel 21, 91, etc. Demonstratio et constructio ex nostra methodo petende.

XIII (p. 154).
(Ad quæstion. XVII Libr. IV.)

Invenire tres numeros æquales quadrato, ita ut quadratus cujuslibet ipsorum adscito sequento numero faciat quadratum.

Elegantius fortasse ita solvetur hæc quæstio.

Ponatur primus numerus N,

secundus 2N +- i, ut cum quadrato primi conticiat quadratum; ponatur tertius quilibet unitatum et numerorum numerus, ea conditione ut additus quadrato secundi conficiat quadratum; verbi gratia, sit 4N +3. Ita igitur duabus propositi partibus fit satis; superest ut summa trium, sed et quadratus tertii una cum primo, conficiat quadratum. Summa trium est 4 + 7N; summa vero quadrati tertii et primi est 9 - 25N -+- i6Q, oriturque duplicata aequalitas, cujus solutio in promptu si unitates quadratas ad eumdem numerum quadraturn in utrovis numero quadrato adæquando revoces.

Eâdemque viâ facillime extendetur quæstio ad quatuor numneros et infinitos ; cavendum enim solummodo erit ut summa unitatum, quae in singulis numeris ponuntur, conficiat quadratun : quod quider facillimum est.

XIV (p. 156).
(Ad quæstion. XVIII Libr. IV.)

Invenire tres numeros æquales quadrato, ut cujusvis ipsorum quadratus, dempto qui eum ordine sequitur, faciat quadratum.

Eodem quo in superiore questione usi sumus ratiocinio, hanc quoque solvemus et ad quotlibet numeros extendemus.

XV (p. 159).
(Ad quæstion. XX Libr. IV.)

Invenire tres numeros indefinite, ut quem bini producunt mutua multiplicatione, adscita unitate, faciat quadratum.

Proponatur invenire tres numeros ut quem bini producunt mutua multiplicatione, adscita unitate, faciat quadratum, et præterea unusquisque trium, adscita unitate, faciat quadratum.

Hujus quaestionis solutionem subjungenus et jam confecta est^[9]. Ita fiat solutio indefinita præsentis quaestionis^[10] ut unitates primi et tertii numeri, addita unitate, conficiant quadratos : verbi gratia, sint tres numeri indefinite

primus....	${\frac {169}{5184}}N+{\frac {13}{36}}$ ,
secundus...	1N,
tertius......	${\frac {7225}{5184}}N+{\frac {85}{36}}$ ,

Patet solutionem hanc indefinitam satisfacere conditionibus hujus quæstionis vigesimwe; superes t ut singuli ex illis numeris, adscitA unitate, conficiant quadratos et orietur triplicata eaqualitas, cujus solutio erit in promptu ex nostra methodo, quum numerus unitatum in quolibet ex istis numeris unitate auctis sit quadratus.

XVI (p. 161).
(Ad quæstion. XXI Libr. IV.)

Invenire quatuor numeros, ut qui fit ex binorum mutua multiplicalione, adscita unitate, faciat quadratum ^[11].

Inveniantur tres numeri quilibet ut qui fit binorum mutui multiplicatione, adscita unitate, faciat quadratum: verbi gratia, sint illi numeri 3, 1, 8.

Quœratur jam quartus ea conditione ut qui fit sub tribus inventis sigillatim in quartum, adscita unitate, sit quadratus. Ponatur inveniendus esse i N; ergo

3N +1, item 1N+1, item 8N+1

aquantur quadrato et oritur triplicata equalitas cujus solutio inventioni nostrat debetur. Vide quæ adnotavimus ad quaestionem 24 Libri VI.

XVII (p. 165).
(Ad question. XXIII Libr. IV.)

Invenire tres numeros, ut solidus sub ipsis contentus adscito quolibet ipsorum faciat quadratum.

Non solum absque lemmate Diophanti^[12], sed etiam absque duplicata æqualitate^[13], solvetur quœstio.

Ponatur solidum sub tribus 1Q-2N, primus numerorum sit unitas, secundus 2N.

Ita namque duobus partibus propositionis satisfit.

Pro tertio, dividatur solidum sub tribus, 1Q - 2N, per rectangulum sub primo et secundo, quod est 2N; orietur ex hac divisione tertius, 1/2N-1, quo addito ad solidurn sub tribus fit

1Q-{\frac {3}{2}}N-1

, quod equari debet quadrato.

Oportet autem valorem numeri majorem esse binario, propter positiones jam factas; æquetur igitur quadrato cujus latus 1N - aliquo unitatum numero binario majori. Omnia constabunt.

XVIII (p. 180).
(Ad commentarium in qumstion. XXXI Libr. IV.)

Quaestio: Invenire quatuor numeros quadratos, quorum summa, cum summa laterum conjuncta, numerum imperatum faciat^[14].

Imo propositionem pulcherrimam et maxime generalem nos primi deteximus: nempe omnem numerum vel esse triangulum vel ex duobus aut tribus triangulis compositum; esse quadratum vel ex duobus aut tribus aut quatuor quadratis compositum; esse pentagonurn vel ex duobus, tribus, quatuor aut quinque pentagonis compositurn; et sic deinceps in infinitum, in hexagonis, heptagonis et polygonis quibuslibet, enuntiandh videlicet pro numero angulorum generali et mirabili propositione.

Ejus autem demonstrationem, que ex multis variis et abstrusissimis numerorum mysteriis derivatur, hic apponere non licet: opus enim et librum integrum huic operi destinare decrevimus et Arithmeticen hac in parte ultra veteres et notos terminos mirum in modum promovere.

XIX (p. 188).
(Ad quæstion. XXXV Libr. IV.)

Datum numerum dividere in tres numeros, ut qui fit primo in secundum ducto, sive addito tertio, sive detracto, quadratum faciat. Esto datus 6.

Ita facilius fiet operatio: Datus numerus 6 utcumque dividatur, verbi gratia in 5 et i. Productus dempta unitate, hoc est 4, per 6, datum numerum, dividatur: eveniet 2. Quem si turn a 5, tum ab 1 abstuleris, duo residua 13/3 et 1/3 erunt duae priores partes numeri dividendi; tertia igitur erit 4/3 ^[15].

XX (p. 203).
(Ad commentarium in quæstion. XLIV Libr. IV.)

Quaestio. - Invenire tres numeros, ut compositus ex tribus multiplicatus in primum faciat triangulum, in secundum faciat quadratum, in tertium faciat cubum.

Bachetus. -... Adverte postremo, in fingendo latere ultimi quadrati, talem adhibendam esse cautionem, ut valor Numeri reperiatur in integris numeris, quum numerus triangulus non posset esse nisi integer. Id autem semper succedet operando modo a Diophanto tradito, si quadrati latus fingatur a tot Numeris qui sint latus quadratorum in numero quadrato æquando contentorum -. Cæterum vix aliter id fieri posse, satis experiendo deprehendes ^[16].

Experientiam non satis exactam fecit Bachetus. Sumatur quilibet cubus, verbi gratia, cujus latus multiplici ternarii superaddat unitatern. Erunt, verbi gratia, 2Q - 344- equanda triangulo ergo i6Q - 27a1 equabuntur quadrato, cujus latus finges, si libet, 4N -- 3. Etc.; nihil enim vetat quominus generali methodo, loco etiam ipsius 3,reliquos in infinitum impares usurpemus, variando cubos.

XXI (p. 209).
(Ad commentarium in qusestion. XLV Libr. IV.)

Quaestio Diophanti. - Invenire tres numeros, ut intervallum majoris et medii ad intervallum medii et minoris datam habeat rationem, sed et bini sumpti quadratum conficiant.

Bachetus. -...Quemadmodum ergo in hac quæstione Diophantus docet modum quo duo numeri simul aequentur quadrato, quum uterque componitur ex Numeris et unitatibus, et numeri Numerorum sunt inæquales, nec habent rationem quadrati ad quadratum, numeri autem unitatum sunt inæquales et quadrati: sic aio modum dari posse resolvendi duplicatam enqualitatem, quum uterque propositorum numerorum quadrato æquandorum componitur ex Numeris et unitatibus, et numeri Numerorum sunt inequales, nec habent rationem quadrati ad quadratum, sed et numeri unitatum inæquales sunt, sive quadrati sint, sive non. Id autem prastabimus in duplici casu.

Primus casus est, quum numerorum quadrato aequandorum intervallum tale est ut, eo per aliquem unitatum numerum multiplicato vel diviso, et producto vel quotiente a minore propositorum numerorum detracto, supersit unitatum numerus solus quadratus....

Secundus casus est, quum numerorum quadrato equandorum intervallum tale est ut, eo per aliquem unitatum numerum multiplicato vel diviso, et producto vel quotiente a minore propositorum numerorum detracto, deficiat unitatum numerus solus, qui ad multiplicatorem vel divisorem rationem habeat quadrati ad quadratum....

Sed proponatur, si placet, htec duplicata sequalitas, nempe

2N -4- 5 et 6N + 3 cequandi quadrato. Quadratus quandus 2N + 5 erit i6,

et

quadratus aequandus 6N+3 erit 36,

et invenientur alii in infinitum quaestioni satisfacientes. Nec difficile est regulam generalem ad hujusmodi questionum solutionem proponere, ut vix limitatio ista Bacheti sit tanto viro digna, quum ad infinitos casus extendi quod in duobus tantum adinvenit, facillime possit, imo et ad casus omnes possibiles.

XXII (p. 215).
(Ad quæstion. III Libr. V.)

Dato numero apponere tres numeros, ut quilibet ipsorum et qui a binis producitur quibusvis, datum adsumens numerum, faciat quadratum.

Ex hac propositione facile deducetur sequens questio:

Invenire quatuor numeros ea conditione ut quod sub binis producatur, adscito dato numero, faciat quadratum.

Inveniantur tres quæstioni satisfacientes ita ut singuli dato numero aucti conficiant quadratos juxta hanc propositionem. Ponatur quartus inveniendus esse 1N+1. Orietur triplicata æqualitas cujus solutio nostræ methodi beneficio erit in promptu. Vide adnotata ad 24^am quæstionem Libri VI.

Solvetur itaque quæstio, quam proposuit Bachetus^[17] ad quæstionem 12 Libri III, per hanc methodum quæ, quum multo sit generalior, hoc præterea amplius habet quam methodus Bacheti, quod tres priores numeri aucti dato numero conficiant quadratos in nostra solutione.

An vero ita solvi possit quæstio ut etiam quartus auctus dato numero conficiat quadratum, hoc sane hactenus ignoramus : inquiratur itaque ulterius^[18].

XXIII (p. 220).
(Ad quæstion. VIII Libr. V.)

Invenire tria triangula rectangula quorum areæ sint æquales.

Num vero inveniri possunt quatuor aut etiam plura in infinitum triangula aequalis areæ, nihil videtur obstare quominus quæstio sit possibilis : inquiratur itaque ulterius.

Nos hoc problema construximus, imo et data qualibet trianguli area infinita triangula ejusdem areæ exhibemus : verbi gratia, data area 6 trianguli 3.4.5., en aliud triangulum ejusdem areæ

{\frac {7}{10}},{\frac {120}{7}},{\frac {1201}{70}}

aut, si placet eadem denominatio,

{\frac {49}{70}},{\frac {1200}{70}},{\frac {1201}{70}}

Perpetua et constans methodus hæc est : Exponatur quodlibet triangulum, cujus hypotenusa Z, basis B, perpendiculum D. Ab eo sic formatur aliud triangulum dissimile ejusdem areæ : nempe formetur abs Z quadrato et B in D bis, et planoplana lateribus similia applicentur Z in B quadratum bis – Z in D quadratum bis. Hoc novum triangulum habebit aream æqualem areæ præcedentis.

Ad hoc secundo eadem methodo formetur tertium, a tertio quartum, a quarto quintum, et fient triangula in infinitum dissimilia ejusdem areæ.

Et ne dubites plura tribus dari posse, inventis tribus Diophanti

40.42.58., 24.70.74., et 15.112.113.,

quartum adjungimus dissimile ejusdem tamen areæ :

${\frac {1412881}{1189}}$	hypotenusa,
${\frac {1412880}{1189}}$	basis,
${\frac {1681}{1189}}$	perpendiculum,

et, omnibus in eumdem denominatorem ductis, fient quatuor triangula in integris aequalis areae quae sequuntur :

Primum.....	47 560	49 938.	68 962.
Secundum....	28 536.	83 230.	87 986.
Tertium......	17 835.	133 168.	134 357.
Quartum......	1 681.	1 412 880.	1 412 881

eademque methodo invenientur triangula ejusdem arete in infinitum et quastio sequens ultra Diophanteos limites progredietur.

En etiam alia methodo ^[19] triangulum cujus area facit sextuplum quadrati, sicut 3.4.5.; nempe

2 896 804. 7 216 803. 7 776 485.

XXIV (p. 221).
(Ad question. IX Libr. V.)

Invenire tres numeros ut uniuscujusque quadratus, summa trium sive addita sive detracta, faciat quadratum.

Ex supradictis patet posse nos construere generaliter problema

Invenlire quotcumque numeros ut uniuscujusque quadratus, summd omnium sive addita sive detractd, quadratum faciat^[20].

Hanc qusestionem forte Bachetus ignoravit: Diophantum quippe promovisset, ut supra 31a quæstione Libri IV et aliis in locis, si quwestionis hujus solutionem detexisset.

XXV (p. 224).
(Ad commentarium in quæstion. XII Libr. V.)

QUÆSTIO DIOPHANTI. - Unitatem dividere in duas partes, et utrique segmento datum numerum adjicere et facere quadratum. Oportet autem datum neque imparem esse * neque hujus vero quadrati latus est

{\frac {~~851}{1~551}}.

Per quod si dividas singula latera trianguli mox reperti, habebis triangulum quæsitum

{\frac {12~061~328~235}{~2~047~166~451}}.\quad {\frac {4~492~943~004}{2~047~166~451}}.\quad {\frac {4~653}{~~851}},

cujus area est 6. »

« Adverte nos invenisse hoc triangulum per illud quod datum fuit 3.4.5, ac per inventum inveniri posse tertium; per tertium invenietur quartum, et sic in infinitum. »

duplum ejus N. unitas majorem habere quadrantem quam est numerus, quo ipsum metitur primus numerus *^[21].

BACHETUS..... Reliqua verò verba « neque duplum ejus, etc. » adeo vitiata sunt ut nullam commode recipere possint explicationem. Non dubito quidem Diophantum respexisse ad aliquam numerorum non vulgarem proprietatem, qua definitur quis numerus par deligendus sit, ut duplum ejus unitate auctum sit quadratus numerus vel compositus ex duobus quadratis. Sed quid sibi velit in tanta verborum caligine divinare non possum; id oneris relinquam illi qui in codicem aliquem emendatiorem inciderit.... Sane quod ait Xilander, verba illa corrupta videri velle, debere eum qui datur esse duplum numeri primi, id utique futile est et nulli fundamento nixum, quodque ipscâ statim experientiâ refelli potest : nam, si datus sit 10, is est duplus numeri primi 5 et tamen quæstioni solvendæ minime reperitur idoneus, nam oporteret dividere in duos quadratos numerum 21. Quod quidem impossibile est, ut reor, quum is neque quadratus sit, neque suapte natura compositus ex duobus quadratis.

Numerus 21 non potest dividi in duos quadratos in fractis. Hoc autem facillime demonstrare possumus, et generalius omnis numerus cujus triens non habet trientem non potest dividi in duos quadratos neque in integris neque in fractis.

XXVI (p. 225).
(Ad idem commentarium.)

BACHETUS. - Aliquando mihi venit in mentem Diophantum voluisse duplum dati numeri paris unitate auctum esse numerum primum, quandoquidem omnes fere hujusmodi numeri componuntur ex duobus quadratis, quales sunt 5, 13, 17, 29, 41, aliique primi numeri qui sublata unitate relinquunt numerum pariter parem. Verumtamen neque hæc explicatio sustineri potest. Nam primum hac ratione per hujusmodi conditionem excluderentur omnes numeri, quorum duplum unitate auctum est quadratus numerus..... Deinde excluderentur etiam multi numeri, quorum duplum unitate auctum componitur ex duobus quadratis, quales sunt 22, 58, 62 et alii innumerabiles. Nam dupli horum unitate aucti sunt 45, 117, 125, quorum nullus est primus numerus, quum quilibet multos habeat metientes ; unusquisque tamen e duobus quadratis conflatur, primus scilicet ex quadratis 36 et 9, secundus ex quadratis 81 et 36, tertius ex quadratis 100 et 25.

Vera limitatio hæc est, generalis nempe et omnes numeros inutiles excludens :

Oportet datum numerum non esse imparem, neque duplum ejus unitate auctum, per maximum quadratum ex quo mensuratur divisum, dividi a quovis numero primo unitate minori quam multiplex quaternarii.

XXVII (p. 232).
(Ad commentarium in quæstion. XIV Libr. V.)

Quæstio Diophanti. - Unitatem dividere in tres numeros et cuilibet addere datum eumdem numerum et ita quemlibet quadratum facere. Oportet autem datum neque binarium esse neque aliquem eorum qui fit addito binario ad octonarii multiplicem.

Bachetus..... Ingeniosa est et autore digna hujusmodi limitatio. Cæterum quamvis, ut ostensum est, hæc conditio sit necessaria, non est tamen sufficiens, nam non solum numeri omnes hac limitatione comprehensi solvendæ quæstioni sunt inutiles, sed præterea numerus 9 et omnes alii qui fiunt addito 9 ad 32 vel ad aliquem ejus multiplicem, quales sunt 41, 73, 105, etc. ; nam horum triplum addita unitate neque quadratus est neque numerus e duobus vel tribus quadratis compositus....

Cæterum an hæ duæ limitationes simul sufficientes sint, ita ut per utramque simul excludantur omnes omnino numeri quorum triplum unitate auctum non est quadratus nec e duobus vel tribus quadratis compositus, non ausim temere affirmare. Equidem vix adducor ut aliter sentiam, quum in omnibus numeris ab unitate usque ad 325 id sim expertus.

Limitatio ipsa Bacheti est insufficiens, imo nec ipsius experientia satis fuit accurata, nam 37 numerus cadit in limitationem, non autem in regulam.

Vera limitatio sic concipi debet :

Exponantur duæ progressiones quadruplæ altera ab unitate, altera ab octonario, et una alteri superponatur sic :

1,	4,	16,	64,	256,	1024,	4096,	etc.,
8,	32,	128,	512,	2048,	8192,	32768,	etc.

et considerando primo terminum primum secundæ qui est 8, oportet datum numerum non esse duplum unitatis, quia ipsi superponatur unitas, neque superare duplo unitatis multiplicem 8.

Deinde, considerando secundum terminum secundæ progressionis, qui est 32, sumatur duplum numeri superpositi qui est 4 : fit 8, cui si addas omnes in eadem progressione superiori proxime antecedentes (in hoc exemplo invenietur sola unitas), fit 9.

Sumptis igitur duobus numeris 32 et 9, oportet datum numerum neque esse 9 neque superare dicto numero 9 multiplicem 32.

Consideretur mox tertius progressionis secundæ terminus, qui est 128 : sumatur duplum numeri superpositi, qui est 16 : fit 32, cui si addas omnes in eadem progressione superiori proxime antecedentes, qui jam sunt 1 et 4, fit 37. Sumptis igitur duobus numeris 128 et 37, oportet datum numerum neque esse 37, neque superare dicto 37 multiplicem 128.

Considerato deinde quarto progressionis secundæ termino, fient ex methodo numeri 512 et 149. Oportebit itaque numerum neque esse 149, neque superare dicto 149 multiplicem 512.

Et est uniformis et perpetua in infinitum methodus, quam neque Diophantus generaliter indicavit, nec Bachetus ipse detexit, cujus vel ipsa experientia fallit, ut jam præmonuimus, non solum in numero 37 qui est intra limites experientiæ de qua fidem facit, sed etiam in numero 149 et aliis.

XXVIII (p. 241).
(Ad quæstion. XIX Libr. V.)

Invenire tres numeros, ut cubus summæ eorum, quovis ipsorum detracto, faciat cubum. Ponatur rursus trium summa 1N. et ipsi $\scriptstyle {\frac {7}{8}}$ C, $\scriptstyle {\frac {26}{27}}$ C, $\scriptstyle {\frac {63}{64}}$ C. Superest ut tres conjuncti æquentur 1N. fit ergo $\scriptstyle {\frac {4877}{1728}}$ C æquale 1N. et omnia per numerum dividantur, fit $\scriptstyle {\frac {4877}{1728}}$ Q aquale 1. est autem 1 quadratus. Oportebat ergo et numerum quadratorum esse quadratum : unde autem is natus est ? Quod a ternario subducti sunt tres cubi,

Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς, ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος λείψας ἕκαστον ποιῇ κύβον. τετάχθωσαν πάλιν οἱ τρεῖς ς^ο̅υ̅α̅. καὶ αὐτῶν ὁ μὲν κύβων ζ̅^ηʹ, ὁ δὲ κύβων κς^κζʹ, ὁ δὲ κύβων ξ̅γ̅^ξδʹ. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι ς^ῳ α̅. γίνεται κυβικὸν δ̅ͅω̅ο̅ζ̅^ᾳψκηʹ. ἴσον ς^ῳ α̅. πάντα παρὰ ἀριθμὸν, καὶ γίνεται δυναμοστὸν δ̅ͅω̅ο̅ζ̅^ᾳψκηʹ. ἴσον μ^ο α̅. καὶ ἔστιν ἡ μονὰς τετράγωνος. δεήσει ἄρα καὶ τὰς δυνάμεις εἶναι τετράγωνον. πόθέν

quorum quilibet minor est unitate. Eo itaque res redit, ut inveniantur tres cubi, quorum quilibet sit minor unitate, summa autem ipsorum a ternario sublata, faciat quadratum. Et quia volumus cuborum quemque minorem esse unitate, si statuamus tres numeros simul unitate minores, multo minores singuli erunt unitate. Sic autem quadratum qui relinquetur oportebit majorem esse binario. Statuatur quadratus qui relinquitur 2¼. Oportet igitur ¾ dividere in tres cubos et horum multiplicia secundum aliquos cubos divisa. Esto secundum 216. Oportet igitur ut dividamus 162 in tres cubos. At 162 componitur ex cubo 125 et intervallo duorum cuborum, 64 et 27. Habemus autem in porismatis, omnium duorum cuborum intervallum componi ex duobus cubis. Recurramus ad propositum initio et sumamus unumquemque cuborum inventorum, et quolibet ab unitate subtracto, residua statuamus pro quæsitis numeris et sit summa 1N. Ita fiet ut cubus summæ, quovis ipsorum detracto, cubum faciat. Restat ut tres simul æquentur 1N. fit autem trium summa 2¼C. Hoc ergo æquatur 1N. unde fiet 1N, ⅔. Ad positiones.

ἐστι τὸ πλῆθος τῶν δ^υ̅ ἐκ τοῦ ἀπὸ τϱιάδος ἀφαιρεῖσθαι τρεῖς κύβους, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων ἔστι μονάδος μιᾶς. καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρεῖς κύβους, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων ᾖ μ^ο α̅. τὸ δὲ σύνθεμα αὐτών ἀρθὲν ἀπὸ τριάδος ποιῇ τετράγωνον. καὶ ἐπεὶ ζητοῦμεν ἕκαστον αὐτῶν κύβον ἐλάσσονα εἶναι μονάδος μιᾶς, ἐὰν ἄρα κατασκευάσωμεν τοὺς τρεῖς ἀριθμοὺς ἐλάσσονας μονάδος α̅. πολλῷ ἕκαστος αὐτών ἐλάσσων μονάδος α̅. ὥστε ὀφείλει ὁ καταλειπόμενος τετράγωνος μείζων εἶναι δυάδος. τετάχθω καταλειπόμενος τετράγωνος μ^ο β̅. α̅^δʹ. δεῖ οὖν τὰ γ̅^δʹ διελεῖν εἰς τρεῖς κύβους. καὶ κατὰ τούτων πολλαπλάσια κατὰ τινῶν κύβων διαιρεθέντων. ἔστω δὲ κατὰ τὸν σ̅ι̅ς̅. ὀφείλομεν οὖν τὀν ρ̅ξ̅β̅ διελεῖν εἰς τρεῖς κύβους. σύγκειται δὲ ὁ ρ̅ξ̅β̅ ἔκτε κύβου τοῦ ρ̅κ̅ε̅ καὶ δύο κύβων ὑπεροχῆς τοῦτε ξ̅δ̅ καὶ τοῦ κ̅ζ̅. ἔχομεν δὲ ἐν τοῖς πορίσμασιν * ὅτι πάντων δύο κύβων ἡ ὑπεροχὴ κ̅^υ *. ἀνατρέχομεν εἰς τὸ ἐξ αρχῆς, καὶ τάσσομεν ἕκαστον κύβων εὑρεθέντων. τοὺς δὲ τρεῖς ἀριθμὸν α̅. καὶ συμβήσεται τὸν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβον λείψαντα ἕκαστον, ποιεῖν κύβον. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι ς^ῳ α̅. γίνονται δὲ οἱ τρεῖς κ^υ β̅ α̅^δʹ. ταῦτα ἴσα ς^ῳ α̅. ὅθεν γίνεται ὁ ς^ὸ μ^ο β̅^γʹ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

Solutionis modum Diophantus non exprimit aut græca corrupta sunt. Bachetus^[22] casu adjutum Diophantum arbitratur, quod tamen non admittimus, quum Diophanteam methodum non difficilem inventu existimemus.

Inveniendus quadratus binario major, ternario minor, qui a ternario subtractus relinquat numerum in tres cubos dividendum. Ponatur quesiti quadrati latus esse quemlibet numerorum numerum - unitate: verbi gratia

1N-1;

ipsius quadratus a ternario subtractus relinquit

2-1Q - 2N,

cui inveniendi tres cubi 'equales qui sic effingendi ut sequalitas tandem consistat inter duas tantum species proximas.

Id quidem innumeris modis construi potest: Sit unius ex cubis latus

1 - 1/3 N;

alterius (ut numerus numerorum in ambobus cubis conficiat 2N) sit

1 + 1N;

tertii latus in numeris dumtaxat fingendum, qui etiam, ne valor IN quœsitos terminos evadat, debent notari signo defectus, nec est operosum eum numerum numerorum sumere cujus valor æquationem ad præstitutos redigat terminos.

Hoc peracto, patet primurn ex cubis esse minorem unitate, ut quirebamus; quum igitur secundus sit major et tertius signo defectfis notetur, patet differentiam secundi et tertii æquandam esse duobus cubis, quam ob rationem ad secundam operationenm et Diophantus et nos devolvimur.

« Habemus autem, » inquit « in porismatibus omnium duorum cuborum intervallum componi ex duobus cubis. »

Hæret iterum Bachetus ^[23] et, destitutus porismatibus Diophanteis, hanc quæstionem secundam determinatione indigere contendit: duorum quippe cuborum intervallum ea tantum conditione in duos cubos dividere docet, dummodo major datorum cuborum excelat duplum minoris. Nam quomodo omnium duorum cuborum intervallum dividatur in duos cubos ignotum sibi ingenue profitetur. Nos supra ad quæstionem Libri IV secundam et lhanc et reliquas hujus materise quæstiones generaliter construendi modum feliciter deteximus.

XXIX (p. 249).

(Ad quæstion. XXIV Libr. V.)

Invenire tres quadratos, ut solidus sub ipsis contentus, quovis ipsorum adscito, quadratum faciat. Ponatur solidus ille iQ. et quærantur tres quadrati quorum quilibet adscitâ unitate faciat quadratum. Hoc autem peti potest a quovis triangulo rectangulo. Expono tria triangula rectangula, et accipiens quadratum unius laterum circa rectum, divido eum per quadratum alterius laterum circa rectum, et invenio quadratos, unum $\scriptstyle {\frac {9}{16}}$ Q, alterum $\scriptstyle {\frac {25}{144}}$ Q, tertium $\scriptstyle {\frac {64}{225}}$ Q, et quilibet ipsorum cum iQ facit quadratum. Restat ut solidus sub tribus contentus equetur iQ. Est autem solidus ille $\scriptstyle {\frac {14400}{2518400}}$ CC. hoc aquatur iQ. et omnia ad eumdem denominatorem reducendo, et dividendo per iQ, fiunt $\scriptstyle {\frac {14400}{2518400}}$ QQ æqualia i. et latus lateri æquatur, fitque $\scriptstyle {\frac {120}{720}}$ æquale i. Est autem unitas quadratus. Quod si etiam $\scriptstyle {\frac {120}{720}}$ Q quadratus esset, soluta fuisset qusestio. Non est autem. Eo igitur redactus sum, ut inveniam tria triangula rectangula, tit solidus sub perpendiculis ductus in solidum sub basibus faciat quadratum * cujus latus sit numerus multiplicatione ortus laterum circa rectum unius triangulorum. Et si omnia diviserimus per productum ex lateribus circa rectum inventi rectanguli, orietur qui fit ex producto laterum circa rectum secundi in productum laterum circa rectum alterius triangulorum. Et si unum ipsorum statuanius 3. 4. 5. eo deventum est ut inveniantur duo triangula rectangula ut productus ex lateribus circa rectum producti ex lateribus circa

Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸς προσλαβὼν ἕϰαστον ποιῇ τετράγωνον. τετάχθω ὁ ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸς δ^υ <α>. ϰαὶ ζητοῦμεν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ἕϰαστος αὐτῶν μετὰ μονάδος <α> ποιῇ τετράγωνον. τοῦτο δὲ ἀπὸ πάντος ὀρθογωνίου τριγώνον. ἐϰτίθεμαι τὰ τρία τρίγωνα ὀρθογώνια, ϰαὶ λαβὼν τὸν ἀπὸ μιᾶς τῶν [περὶ τὴν ὀρθὴν τετράγωνον] μερίζω εἰς τὸν ἀπὸ τῆς λοιπῆς τῶν [περὶ τὴν] ὀρθὴν. ϰαὶ εὑρήσομεν τοὺς τετραγώνους. ἕνα μὲν δ^υ <θ>^ις’. τὸν δὲ ἕτερον δ^υ <ϰε>^ρμδ’. τὸν δὲ τρίτον δ^υ <ξδ>^σϰι’. ϰαὶ μένει ἔϰαστος αὐτῶν μετὰ δ^υ <α> ποιῶν τετράγωνον. λοιπόν ἐστι τὸν ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸν ἰσῶσαι δ^υ <α>. γίνεται δὲ ὁ ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸς ϰυ ϰυ <α>. <δυ>^να.ῃυ ταῦτα ἴσα δ^υ <α>. ϰαὶ πάντα εἰς τὸ αὐτὸ μόριον, ϰαὶ παρὰ δύναμιν γίνεται δ^υ δ^υ <α>. <δυ>^να.ῃυ ἴσα μυ <α>. ϰαὶ ἡ πλευρὰ τῇ πλευρᾷ. γίνεται δυ <ρϰ>^ψϰ ἴσα μυ α. ϰαὶ ἔστιν ἡ μονὰς τετράγωνος. εἰ ἦν τετράγωνος ϰαὶ τὰ δ^υ <ρϰ>ψϰ. λελυμένον ἄν ἦν τὸ ζητούμενον. οὐϰ ἔστιν δέ. ἀπάγεται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν τρία τρίγωνα ὀρθογώνια, ὅπως ἐϰ τῶν τριῶν ϰαθέτων αὐτῶν στερεὸς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ἐϰ τῶν βάσεων αὐτῶν στερεὸν ποιῇ τετράγωνον. * πλευρὰν ἔχοντα τὸν ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἑνὸς τῶν ὀρθογωνίων. ϰαὶ ἐὰν πάτα παραϐάλοωμεν παρὰ τὸν ὐπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ εὑρημένου ὀρθογωνίου γενήσεται ὁ ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ <α> <δ> ἐπὶ τὸν περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ ἑτέρου τῶν τριγώνοων, ϰαὶ ἐὰν τάξωμεν ἓν αὐτῶν <γ>. <δ>. <ε>. ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν δύο τρίγωνα ὀρθογώνια, ὅπως ὁ ὑπὸ τῶν περὶ τήν ὀρθὴν τοῦ ὑπὸ τῶν περὶ

rectum sit 12N. Proinde et area areæ 12. Si autem 12 et 3. Hoc autem facile est et est simile huic 9. 40. 41. Alterum * 5. 12. 13. (* legendum est 8. 15. 17). Habentes ergo tria triangula rectangula, revertamur ad initio propositum. Et statuamus trium quasitorum quadratorum, alterum 9, alterum 25, tertium 81, et si solidum ex his æquemus 1Q, fiet N rationalis. Ad positiones. *

τὴν ὀρθὴν ᾖ ςς ιβ. ὥστε ϰαὶ ἔμϐαδον ἐμϐάδου ιβ. εἰ δὲ ιβ ϰαὶ γ. τοῦτο δὲ ῥάδιον ϰαὶ ἔστιν ὅμοιον τῷ οθ (θ) μ. μα. τὸ δὲ ἕτερον <ε>. τβ. ιγ. ἔχοντες οὖν τα τρία τρίγωνα ὀρθογώνια ἐρχόμεθα εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς. τάσσομεν τῶν ζητουμένων τριῶν τετραγώνων, ὃν μὲν θ, ὃν δὲ ϰε, ὃν δὲ πα. ϰαὶ ἐὰν τὸν ἐϰ τῶν δ. ε στερεὸν ἰσώσωμεν δ^υ α. γενήσεται ὁ ς^δ ῥητός. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. *

Methodum Diophanti, quam non percepit Bachetus^[24], ita restituo et explico.

Quoniam primum triangulum est : 3, 4, 5, et rectangulum sub lateribus : 2, eo cleventum est, inquit Diophantus, ut inveniantur duo triangula ut productus ex lateribus circa rectum prodacti ex lateribus circa rectum sit duodecuplus ; et ratio est quia tune productus ex lateribus unius in productum ex lateribus alterius producet numerum qui erit planus similis 12, atque ideo eorum mutua multiplicatione fiet quadratus, quod vult propositio.

Sequitur Diophantus : Proinde et area areœ 12^[25], quod per se clarum est. Deinde : Si autem 12, et 3, quia, dividendo 12 per quadratunm 4, fit 3, et semper in multiplicatione oritur quadratum ; nam quadratum, divisum per quadratum, facit quadratum.

Reliqua Diophanti non priestant propositum, sed ita restituemus. In hoc casu ^[26], fingatur triangulum abs 7 et 2, alterum vero abs 5 et 2; et primum triangulorum erit triplum ad secundum, et duo proposito satisfacient. Regula autem generalis inveniendi duo trianlgula rectangaula in ratione data haec est:

Sit data ratio R ad S, majoris ad minus. Majus triangulum formabitur abs

R bis+S et R-S;

minus vero abs

R + S bis et R -S.

Aliter.

Formetur primum triangulum abs R bis-S et R +S, secundum abs S his - R et R+ S.

Aliter. Formetur primum triangulum abs R sexies et Rbis -S, secundum abs Rquater -+ S et R quater - Sbis. Aliter. Formetur primum triangulum abs R + S quater et R bis - S quater, secuncum abs S sexies et R - S his.

Ex jam dictis deduci potest methodus inveniendi tria triangula rectangula in proportione triam datorur nuhmerorum, modò duo dati numeri reliqui sint quadrupli.

Sint, verbi gratia, dati tres numeri R, S, T, et sint ipsi R, T simul quadrupli S. Formabuntur sic tria triangula:

primum abs R -- S quater et R bis - S quater, secundum abs S sexies et R - S is, tertium abs S quater -i T et S quater - T bis. Sumpsimus autem R esse majorem T. Hine etiam elicietur modus inveniendi tria triangula rectangula numero, quorum arece constituant triangulum rectangulum.

Eo enim deducetur qusestio ut inveniatur triangulum cujus basis et hypotenusa sint quadruple perpendiculi. Hoc autem est facile et eril triangulum simile huic :

17, 15, 8.

Tria vero triangula sic formabuntur :

primum	abs	49	et	2,
secundum	abs	47	et	2,
tertium	abs	48	et	1.

Hinc etiam elicietur modus inveniendi tria triangula quorum arece sint in ratlone trium quadratorum datolrum, quorum duo sint quadrlpli reliqui, ac proinde poterunt eadem via izeniri tria triangula ejasdem areæ^[27]; imo et infinitis modis possumus construere duo triangula rectangulca ui data ratione, ducendo unum ex terminis aut utrumque in quadrata data, etc.

XXX (p. 251).

(Ad quæstion. XXV Libr. V.)

Invenire tres quadratos, ut solidus sub ipsis contentus, quolibet ipsorum detracto, faciat quadratum. Ponatur solidus sub ipsis contentus 1Q, et rursus quadrati qui quæruntur, sumantur ex triangulis rectangulis, unus

\scriptstyle {\frac {16}{25}}

, alter a

\scriptstyle {\frac {25}{169}}

, tertius a

\scriptstyle {\frac {64}{289}}

; statuo eos in quadratis, et manet 1Q, quolibet ipsorum detracto, faciens quadratum. Superest ut solidus sub tribus contentus æquetur 1Q: est autem solidus ille

\scriptstyle {\frac {25600}{1221025}}

CC ; hoc ergo equatur 1Q, et omnia per 1Q dividantur, fiunt

\scriptstyle {\frac {25600}{1221025}}

æqualia 1. Est autem unitas quadratus, latus habens quadratum. Ergo oportebat etiam

\scriptstyle {\frac {25600}{1221025}}

QQ esse

Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους, ὅπως ὁ ἐϰ τούτων στερεὸς λείψας ἕϰαστον αὐτῶν ποιῇ τετράγωνον. τετάχθω ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς δ^υ α. ϰαὶ πάλιν οἱ ζητούμενοι τετράγωνοι ἀπὸ τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων, ἑνὸς μὲν ις^[illisible], τοῦ δὲ ου ϰε^ρξθ’, τοῦ ξδ^σπθ’. τάσσω αὐτούς ἐν δυνάμει, ϰαὶ μένει ἡ δ^υ α λείψει ἑϰάστου αὐτῶν ποιοῦσα τετράγωνον. λοιπόν ἐστι τὸν ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸν ἰσῶσαι δυνάμει α. ϰαὶ ἔστιν ὁ ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸς ϰυϐοϰύϐων β. εχ, ἐν μορίῳ ρϰβ. ᾳϰε, ἴσα μ° α. ϰαὶ ἔστιν ἡ μονὰς τετράγωνος πλευρὰν ἔχουσα

quadratum latus habentem quadratum. Rursus itaque res eo est reducta ut inveniantur tria triangula rectangula, ut solidus sub perpendiculis ductus in solidum sub hypotenusis faciat quadratum, qui latus habeat quadratum. * Et si omnia dividamus per productum ex hypotenusa in perpendiculum unius rectangulorum, oportet oriatur qui fit ex producto hypotenusæ in perpendiculum, alicujus rectanguli, in productum ex hypotenusa in perpendiculum alterius, esto unum rectangulorum 3. 4. 5. Eo itaque deventum est, ut inveniantur duo triangula rectangula, ut numerus hypotenusæ et perpendiculi, numeri hypotenusæ et perpendiculi sit 20. Si autem 20 et 5. et est facile, quippe majus est 5. 12. 13. minus 3. 4. 5. Ab his ergo quærenda sunt alia duo, ut numerus hypotenusæ et perpendiculi sit 6. est autem majoris hypotenusa 6

\scriptstyle {\frac {1}{2}}

, perpendiculum 60. Minoris autem hypotenusa 2

\scriptstyle {\frac {1}{2}}

qui vero in uno rectangulorum 12. et accipientes minima similium, recurrimus ad propositum initio, et ponimus solidum sub tribus contentum 1Q. ipsorum autem quadratorum alterum 16Q. alterum 576Q. tertium

\scriptstyle {\frac {1}{28561}}

Q. Superest ut solidus sub tribus æquetur 1Q. et omnia in 1Q. latusque lateri æquetur, et invenietur 1N.65. Ad positiones. *

τετράγωνον. δεήσει ἄρα καὶ δ^υ δ^υ β. εχ, ἐν μορίῳ ρκβ. ᾳκε, εἶναι τετράγωνον πλευρὰν ἔχοντα τετράγωνον. ϰαὶ πάλιν ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρία τρίγωνα ὀρθογώνια, ὅπως ὁ ἐϰ τῶν ϰαθετῶν στερεὸς πολλαπασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ἐϰ τῶν ὑποτεινουσῶν στερεὸν, ποιῇ τετράγωνον πλευρὰν ἔχοντα τετράγωνον, * ϰαὶ ἐὰν πάντα παραϐάλωμεν παρὰ τὸν τῆς ὐποτεινούσης ϰαὶ ϰαθέτου ἐνος τῶν ὀρθογωνίων, δεήσει τοῦ ὑποτενουσῶν ϰαι ϰάθετον τοῦ ὑποτεινούσης, ϰαὶ ϰαθέτου πολλαπλασιασθέντα ϰατὰ τὸν ὑποτεινούσης ϰαὶ ϰαθέτου ὀρθογώνων γ. δ. ε. ἀπάγεται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ὅπως ὁ ὑποτενούσης, ϰαὶ ϰαθέτου ᾖ ϰ. εἰ δὲ ϰ. ϰαὶ ε. ϰαὶ ἔστι ῥάδιον, ϰαὶ ἔστι τὸ μὲν μεῖζον ε. ιβ. ιγ. τὸ δὲ ἔλαττον γ. δ. ε. ζητητέον οὖν ἀπὸ τούτων ἕτερα δύο, ὄπως ὁ ὑποτεινούσης ϰαὶ ϰαθέτου ᾖ μ° ς. ἔστι δὲ τοῦ μὲν μείζονος ὑποτείνουσα μ^η ς. α^β’. ἡ δὲ ϰάθετος ξ. τοῦ δὲ ἐλάσσονος ὁ μὲν ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ μ^α β. α^β’ ὁ δὲ ἐν τῇ α τῶν ὀρθογώνων ιβ. ϰαὶ λαϐόντες τὰ ἐλάχιστα τῶν ὁμοίων ἀνατρέχομεν εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς, ϰαὶ τάσσομεν τὸν ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸν δ^υ α. αὐτῶν δὲ τῶν τετραγώνων, ὃν μὲν δ^υ ις, ὃν δὲ δ^υ φος, ὃν δὲ δ^υ α ἐν μορίῳ β. ῃφξα. λοιπόν ἐστι τὸν ἐϰ τῶν τριῶν στερεὸν ἰσωσαι δ^υ α. ϰαὶ πάντα παρὰ δύναμιν ϰαὶ ἡ πλευρὰ τῇ πλευρᾷ. ϰαὶ εὑρισϰεται ὁ ς^δ ξε. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. *

Ad elucidationem et explicationem quæstionis 25 juxta methodum Diophanti, quam Bachetus similiter prætermisit^[28], quœrenda sunt duo triangula rectangula ut productus sub hypotenusa et perpendiculo unius ad productumn sub hypotenusa et pelpendiculo alterius habeat rationem datam.

Quæ sane quæstio diu nos torsit et vere difficillimam quilibet tentando experietur, sed tandem patuit generalis ad ipsius solutionem methodus. Quserantur duo triangula ut rectangulum sub hypotenusa unius et perpendiculo rectanguli sub hypotenusa alterius et perpendiculo sit duplum.

Fingatur unum ex triangulis ab A et B, alterum ab A et D. Rectangulum sub hypotenusa prioris et perpendiculo erit B inA cubum bis - B cubo in Abis; rectangulum vero sub hypotenusa posterioris et perpendiculo erit D in c. bis -- D c. in A bis. Quum igitur B inAc. is - Bc. in A bis sit duplum rectanguli D in Ac. bis + Dc. in A bis, ergo B in Ac. +- Bc. in A wequabitur D in Ac. bis 4- Dc. in A bis, et, omnibus abs A divisis, fiet B in Aq. - Be. æquale D in Aq. bis -+ Dc. bis, et, per antithesin, Dc. bis-Bc. C equabitur B in Aq. - D in Aq. bis. Si igitur Dc.bis- Be., divisum per B- Dbis, tequetur quadrato, soluta erit qucestio. Quserendi igitur duo numeri, loco ipsorum B et D, ea conditione ut duplum cubi unius, minus alio, divisum vel multiplicatum (eodemn enim res recidit) per duplum posterioris minus primo, faciat quadratum^[29]. Ponatur unus esse i N -+, alter r. Cubus duplus prioris minus cubo a posteriore facit +-6N -6Q -+ C. Duplus autem posterioris minus priore facit I - iN.,zD3 â B3 Ergo, si ducas - iN in + 6N + 6Q 4- 2C, fiet qualdratus. Prodluctum illud æquatur

1 + 5N -4C - 2Q, quod qequandlum quadrato ab 5/2N - 1 - 25/8 Q

et omnia statim constabunt.

Propositio autem ad omnes rationes extendetur si, loco unius ex quarendis numeris, ponatur iN plus excessu majoris rationis termini supra minorem et, loco alterius, ille ipse excessus, ut jam a nobis in ratione dupla est factum. Hac quippe ratione semper unitatum numnerus evadet quadratus et æquatio erit proclivis; hoc peracto invenientur duo numeri qui ipsos B et D reprtesentabunt, et ad primam questionem tiel reditus.

Retractanti quæ hucusque ad 25^am quæstionem scripsimus, visutr erat statim omnia delere quia abductio ad problema quod perfecimus non convenit quæstioni nostræ: quia tamen quTstionem aliam, ad quam male prasens problema adduxeramus, recte construximus, non tam operam perdidimus quam male collocavimus, et ideo maneat scriptura marginalis intacta.

Quæstionem ipsam Diophanteam novo iterum examini subjicientes et methodum nostram sedulo consulentes, tandem generaliter solvimus: exemplum tantum subjiciemus, confisi numeros ipsos satis indicatuiros non sorti, sed arti solutionem deberi.

In propositione Diophanti quserenda duo triangula rectangula ea conditione ut productum sub hypotenusa unius et perpendiculo ad productum sub hypotenusa et perpendiculo alterius habeat ratioinem quam 5 ad i.

En duo illa triangula,

pritnum, cujus	hypotenusa	48 543 669 Iog,
	basis	36 083 779 309,
	perpendiculum	32 472 275 580,
secundum, cujus	hypotenusa	42 636 752 938,
	basis	41 990 695 480,
	perpendiculum	7394 200 38.

XXXI (p. 253).
(Ad quaestion. XXX Libr. V.)

Dato numero tres adinvenire quadratos quorum bini sumpti, adscitoque dato numero, faciant quadraturn.

Hujus qusestionis beneficio, sequentis quaestionis solutioneml dabimus quæ alioquin difficillima sane videretur:

Dato numero, quatuor invenire numeros quorum bini sumpti adscitoque dalo numero faciant quadratum.

Sit datus numerus 15 et primim, per hanc quaestionem, reperiantur tres quadrati quorum bini sumpti adscitoque dato numero faciant quadratum; et sint illi tres quadrati ^[30]

9,{\frac {1}{100}},{\frac {529}{225}}

Ponatur prinmus quatuor numerorum quaesitorum	1 Q - 5,
secundus	6N +9
(quia 9 est unus ex quadratis, 6N autem est duplum lateris in N),
tertius eadem ratione ponatur	5 N -o4- 0
quartus denique	I 6N 4 2'

Ita quippe institutis positionibus, tribus propositi partibus satisfit; quilibet enim numerorum una cum primo, adscito i5, facit quadratum.

Superest ut secundus et tertius addito i5, item tertius et quartus addito 15, denique secundus et quartus, eodem addito 5, faciant quadratum; et oritur triplicata tequalitas cujus solutio in promptu, quum ex constructione, cujus artificium ab hac qusestione desumpsimus, in quolibet termino æquando reperiantur unitates tantum quadratæ et numeri. Recurrendum igitur ad ea quwe diximus ad qusestionem 24 Libri VI.

XXXII (p. 257).
(Ad question. XXXI Libr. V.)

Dato numero tres adinvenire quadratos, quorum bini sumpti detracto dato numero faciant quadratum.

Quo artificio in superiore quæstione usi sumus, ut quatuor numeros inveniremus quorum bini sumpti adscito dato numero conficerent qua: dratum, simili in hac qutstione uti possumus, ut inveniantur quatuor numneri quorum bini sumpti detracto dato numero conficiant quadratum.

Ponendus enim: primus 1Q + numero dato; secundus quadratus primus ex inventis in hac quæstione una cum duplo ab ipsius latere in N; et reliqua patent.

XXXIII (p. 258).
(Ad quæstion. XXXII Libr. V.)

Invenire tres quadratos, ut compositus ex ipsorum quadratis faciat quadratum.

Cur autem non quœrat duo quadratoquadratos quorum summa sit quadratus? Sane hæc quæstio est impossibilis, ut nostra demonstrandi methodus potest haud dubie expedire.

XXXIV (p. 287).
(Ad commentarium in quæstion. III Libr. VI.)

Quæstio Diophanti. - Invenire triangulum rectangulum, ut areæ ejus numerus, adsumens datum numerum, faciat quadratum. Esto datus 5.

Bachetus..... Quoniam vero hinc forte venit in mentem Francisco Viete ^[31] quæstionem

applicari posse solis numeris qui e duobus quadratis componuntur, quia Diophantus in sua hypothesi sumpserat 5, e, duobus quadratis compositum; quamvis ex ipso ductu analyseos Diophanteæ satis constet ad quemlibet numerum extendi problema, ne quis tamen supersit dubitandi locus, placet id etiam experientia comprobare....

Error Vietæ inde haud dubie oritur. Supposuit vir clarissimnus differentiam duorum quadratoquadratorum, ut i QQ- i, tequari area, cui adjiciendo quintuplum quadrati, fiat quadratus.

Si 5, numerus datus, dividatur in duos quadratos, poterit inveniri quintuplum quadrati a quo, dempta unitate, supersit quadratus. Ponatur igitur latus quadrati quintuplicandi esse iN -1- I, aut alius quivis iumerorum numerus -4- i. Quintuplum quadrati illius erit

5Q + ioN + 5,

cui, si adjicias aream, i QQ -, fiet

i Q + 5Q + ioN - + 4,

quæ summa debet sequari quadrato. Hoc autem non est operosum, quum numerus unitatum, ex hypothesi adjecta problemati, sit quadratus.

Non vidit Vieta qutestionem perinde resolvi posse si, loco I QQ- -, sumpsisset pro area - QQ: eo enim deducenda statirn quTstio ut datus numerus, 5 vel 6 vel alius quilibet, in quadraturm ductus, adjectA unitate, conficiat quadratum; quod generaliter est facillimnum, quum unitas sit quadratus. Nos peculiari methodo ^[32] quæstionem hanc et duas proximas ^[33] resolvimus, cujus beneficio, dum quverimus triangulum cujus area, una cum 5, verbi gratia, conficiat quadratum, triangulum in minimis ^[34] exhibemus

9 40 4I 3' 3 3'

cujus area 20, addito 5, facit quadratum 25. Sed de ratione et usu nostrm hujus methodi non est hujus loci plura addere; non sufficeret sane marginis exiguitas, multa enim habemus huc referenda.

XXXV (p. 289).
(Ad quastion. VI Libr. VI.)

Invenire triangulum rectangulum ut numerus arewe, adsumens unum laterum circa rectum, faciat datum numerum.

Hæc propositio et sequentes aliter fieri possunt ^[35]:

Fingatur triangulam, in hac propositione, abs dato numero et unitate, et plana laterilus similia applicentur ad summam unitatis et numeri dati, orietur quwesitus triangulus.

XXXVI (p. 290).
(Ad quæstion. VII Libr. VI.)

Invenire triangulum rectangulum, ut numerus areæ, multatus uno laterum circa rectum, faciat datum numerum.

Fingatur triangulum abs dato numero et unitate, et plana lateribus similia applicentur ad differentiam dati numeri et unitatis ^[36].

Hæc questio ^[37], per viam qua hujusmodi duplicatas œqualitates infinitis modis resolvimus, infinitas recipit solutiones; modum autem quo utimur tetigimus et explicavimus infra ad qusestionem 24.

Imo et solutiones illt infinitse aptantur quatuor sequentibus qutstionibus ^[38], quod nec Diophantus nec Bachetus animadvertit. Cur autem neque Diophantus neque Bachetus sequenterm questionein addiderunt?

Invenire triangulum rectangulum ut unum ex lateribus ared multatum faciat datum numerum.

Certe hanc videntur ignorasse, quia non statim se prodit in resolutione duplicata sequalitatis; veruim ex nostra methodo facile potest inveniri.

Similiter in sequentibus questionibus tertius hic casus suppleri potest ^[39].

XXXVII (p. 292).
(Ad quæstiones VIII et IX Libri VI.)

Addi potest ex nostra methodo sequens qusestio: Invenire triangoulum rectangoulum ut sumnma laterum mulatat aresa cozficiat datum numerum..

XXXVIII (p. 294).
(Ad quætiones X et XI Libri VI.)

Addi potest ex nostra methodo sequens quæstio:

Invenire triangulum rectangulum ut summa Ihypotenusæ et alterius lateris circa rectum, multata area, faciat datum numerum.

Imo et sequens addi potest Bacheti commentariis ^[40]: Invenire triangulum < rectangulum > ut hypotenusa detracta area faciat datum numerum.

XXXIX (p. 298).
(Ad quæstion. XIII Libr. VI.)

Invenire triangulum rectangulum ut numerus arœa, adsumens alterutrum laterum circa rectum, faciat quadratum.

Unius tantum speciei triangula Diophantus exhibet propositum adimplentia; sed ex nostra methodo suppetunt infinita diverse speciei triangula quae ex Diophanteo per ordinem derivantur.

Sit igitur inventum triangulum 3.4.5, cujus hwec est proprietas « ut qui fit mutuo ductu laterum circa rectum, adscito solido sub majore laterum circa rectum, intervallo eorumdem, et area contento, faciat quadratum ^[41] ». Ab eo deducendum aliud ejusdem proprietatis.

Sit majus ex lateribus circa rectum trianguli qustsiti 4; minus vero 3 + 1 N. Rectangulum sub lateribus circa rectum, adscito solido sub majore laterum circa rectum, intervallo eorumdem, et areat contento, facit

36 - 12N - 8Q, quae ideo debent aequari quadrato.

Quum autem latera, 4 et 3+1N, sint latera circa rectum trianguli rectanguli, debent etiam eorum quadrata juncta æquari quadrato; quadrata illa juncta faciunt

25 + 6N +1Q, quae idcirco etiam equanda quadrato.

Et oritur duplicata wequalitas, nam

36-12N-8Q et etiam 25+6N+1Q

debent æquari quadrato. Ejus aequalitatis duplicatae solutio est in prompto.

XL (p. 302).
(Ad quæstion. XIV Libr. VI.)

Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, multatus alterutro laterum circa rectum, faciat quadratum.

Ex nostra methodo solvetur sequens quaestio, alioquin difficillima :

Invenire triangulumr rectangoulunm ut alterutrum laterum circa rectum, multatum ared, facial quadratum.

XLI (p. 307).
(Ad quæstiones XV et XVII Libri VI.)

13. Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, tam hypotenusa quam altero laterum circa rectum detracto, faciat quadratum.

17. Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, tam hypotenusæ quam alterius laterum circa rectum numero adscito, facial quadratum. Tentetur beneficio nostrae methodi sequens quæstio, alioquin difficillima: Inverire triangulum rectangulum ut tam hypotenusa quam unum ex lateribus, detractc area, faciant quadratum.

XLII (p. 320).
(Ad quæstion. XIX Libr. VI.)

Invenire triangulum rectangulum ut area numerus cum hypotenusæ numero faciat quadratum, at circumferentiæ numerus sit cubus....

...Oportet itaque invenire quadratum aliquem, qui, binario adjecto, cubum faciat... est igitur quadrati latus 5, cubi vero 3; ipse quadratus 95, cubus 27... An autem alius in integris quadratus, prater ipsum 25, inveniatur qui adsumpto binario cubum faciat, id sane difficilis primo obtutu videtur disquisitionis. Certissima tamen demonstratione probare possum nullum alium quadratum, praeter 25, in integris adjecto binario facere cubum. In fractis ex methodo Bacheti ^[42] suppetunt infiniti, sed doctrinam de numeris integris, quæ sane pulcherrima et subtilissima est, nec Bachetus, nee alius quivis cujus scripta ad me pervenerint, hactenus calluit.

XLIII (p. 329).
(Ad commentarium in quæstion. XXIV Libr. VI.)

Quaestio Diophanti. - Invenire triangulum roctangulum ut numerus circumferentiae sit cubus, et adscito arete numero, faciat quadratum.

Bachetus..... Quoniam vero in his libris Diophantus diversimode utitur duplicata æqualitale, non abs re me facturumn arbitror, si omnes quos usurpat modos sigillatim recenseamn et unum in locum quæ sparsim a nobis adnotata sunt, collecta conjiciam, ut sic tota duplicatæ cequalitatis doctrina discentium animis firmius inhæreat. Nec solas Diophanti hypotheses afferemus, sed et alias plerumque exhibebimus, quibus varia hujusmodi æquationum symptomata declarentur, novamque insuper quam excogitavimus œquationis rationem, quaamque ad quadragesimam quintam quarti explicavimus, aliis adjiciemus.

Ubi non suficiunt duplicatae æqualitates vel διπλοισότητες, recurrendum ad τριπλοισότητας sue triplicatas aequalitates, qus est nostra inventio, ad plurima problemata pulcherrima praeviam facem praeferens.

Æquentur videlicet quadrato

1N+4,
2N+4,
5N+4,

oritur triplicata aequalitas cujus solutio per medium duplicate tequalitatis est in promptu.

Si ponatur, loco iN, numerus una cum 4 quadratum conficiens, verbi gratia, Q + 4N, fiet

primus numerorum wequandorum quadrato i Q + 4N - 4; secundus igitur erit 2Q - 8N -+4, terlius 5Q -+- 2N -- 4. Primus autem, ex constructione, est quadratus: ergo debent sequari quadrato

2Q-8N+4 et 5Q-+-2oN+4,

et oritur duplicata aequalitas que unicam certe exhibebit solutionem ^[43], sed eai exhibita prodibit rursum nova, et a secundci tertia deducetur, et in infinitum.

Quod opus ita procedet ut, invento valore iN, rursus ponatulr 1N esse 1N + numero qui primurnm ipsi iN inventus est sequalis. Hac enim via infinitæ prioribus solutionibus solutiones accedent et postrema semper derivabitur a proxime antecedenti.

Hujus inventionis beneficio infinita triangula ejusdem areæ possumus exhibere ^[44], quod ipsum videtur latuisse Diophantum, ut patet ex quæstione octava Libri V, in qua tria tantum triangula qqualis arcæ investigat ut sequentem qucastionem in tribus numeris construat, qut ad infinitos, ex iis quse nos primi deteximus, recipit extensionem.

XLIV (p. 333).
(Ad idem commentarium.)

Huic de duplicatis æqualitatibus tractatui multa possemus adjungere quse nec veteres nec novi detexerunt. Sufficit nunc, ut methodi nostras dignitatem et usum asseramus, ut quæstionem sequentem, que sane difficillima est, resolvamus.

Invenire triangulum rectangulum numero, cujus hypotenusa sit quadratus, et pariter summa laterum circa rectum ^[45].

Triangulum quasitum repræsentant tres numeri sequentes:

4 687 298 610 289, 4 565 486 027 76, 1 061 652 293 520.

Formatur autem a duobus numeris sequentibus:

2150905, 246792.

Alià autem methodo sequentis quacstionis solutionem deteximnus:

Invenire triangulum rectangulum numero ea conditione ut quadratum a differentia laterum circa rectum minus duplo quadrati a minore latere conficiat quadraturn.

Unum ex triangulis quæ huic quæstioni aptantur est id quod sequitur:

1525, 1517, 156;

formatur a numeris 39 et 2.

Imo confidenter adjungimus duo triangula rectangula quat jam exposuimus ad solutionem duarum propositarum quastionum esse minima omnium in integris qusestionem adimplentium.

Methodus nostra hæc est: Quaratur qusestio proposita secundum methodum vulgarem. Si non succedat solutio post absolutam operationem, quia nempe valor numeri nota defectus insignitur et ideo minor esse nihilo intelligitur, non tamen despondendum animum confidenter pronuntiamus (quse oscitantia, ut loquitur Vieta ^[46], fuit et ipsius et veterum analystarum), sed iterum qusestionem tentemus et pro valore radicis ponamus N - numero quem sub signo defectus æquari radici incognitL in prima operatione invenimus, prodibit nova haud dubie equatio que per veros numeros solutionem quæstionis representabit.

Et hac via superiores duas quæstiones alioquin difficillimas resolvinus; demonstravimus pariter et construximus numerum ex duobus cubis compositum in duos alios cubos dividi posse ^[47], sed hoc per iteratam ter aliquando operationem: ssepius enim contingit ut veritas quæsita ad multiplices operationum iterationes solertem et industrium necessario adigat analystam, ut facillime experiendo deprehendes.

APPENDIX ^[48].

Proposuit feliciter satis plerosque duplicate æqualitatis et modos et casus subtilis ille et doctissimus analysta Bachetus ad questionem 24am Libri VI Diophanti, sed integram sane non demessuit segetem: quæ enim questisones unica tantur, aut ad summum duplici solutione circumscribit, ad infinitas porrigere et promovere nihil vetat, imo proclivi id exsequi operatione est in promptu.

Proponatur sextus modus quem ipse satis prolixe explicat pag. 439 et 44o ^[49]casus omnes ab ipso enumerati, ex nostra quam mox exhi bituri sumus methodo, infinitas admittunt solutiones, qute a prima per iteratas analyses gradatim in infinitum derivantur.

Methodus hwec est: Queratur solutio questionis propositS secundum methodum vulgarem, hoc est secundum methodum Bacheti aut Diophanteam, prodibit statim valor numeri sive radicis ignote; quo peracto, iteretur analysis, et, pro valore novæ investigandwe radicis, ponatur una radix plus numero unitatum prioris radicis. Reducetur quæstio ad novam equalitatem duplicatam, in qua unitates utrimque reperientur quadrate, propter priorem solutionem; ideoque differentia æquationum ex numeris tantum et quadratis, quæ sunt proxima inter se species, constabit: quare resolvetur, ex Diophanto et Bacheto, nova hæc duplicata tequalitas. Ex qua, pari artificio, tertia, et ex tertia quarta, et sic in infinitum, deducentur.

Quod non advertisse aut Diophantum, aut Bachetumn, imo et Vietam, dispendium hucusque Analyseos maximum fuit. Sed precipuum inventionis nostre artificium in iis se prodit qusestionibus, in quibus primigenia analysis, pro valore incognitte radicis, exhibet numeruin notadefectus insignitum, qui ideo minor esse nihilo intelligitur. Methodus autem nostra in hoc casu, non solum in problematis quwe per duplicatas æqualitates solvuntur locum habet, sed generaliter in aliis quibuscumque, ut experienti notumi fiet.

Sic igitur procedit: Quæratur etc. (vide supra, p. 337, 1. To, usque ad reprsesentabit, p. 338, 1. 5) ^[50].

XLV (p. 338-339).
(Ad problema XX commentarii in ultimam quaestionem Arithmeticorum Diophanti.)

Bachetus: Invenire triangulum rectangulum, cujus area sit datus numerus. Oportet autem ut quadratus areæ duplicate, additus alicui quadratoquadrato, faciat quadratum.

Area trianguli rectanguli in numeris non potest esse quadratus.

Hujus theorematis a nobis inventi demonstrationem, quam et ipsi tandem non sine operosa et laboriosa meditatione deteximus, subjungemus. Ioc nempe demonstrandi genus miros in Arithmeticis suppeditabit progressus.

Si area trianguli esset quadratus, darentur duo quadratoquadrati quorum differentia esset quadratus; unde sequitur dari duo quadratos quorum et summa et differentia esset quadratus datur itaque numerus, comipositus ex quadrato et duplo quadrati, æqualis quadrato, ea conditione ut quadrati eum componentes faciant quadratum. Sed, si numerus quadratus componitur ex quadrato et duplo alterius quadrati, ejus latus similiter componitur ex quadrato et duplo quadrati, ut facillime possumus demonstrare; unde concludetur latus illud esse summam laterum circa rectum trianguli rectanguli, et unum ex quadratis illud componentibus efficere basem, et duplum quadratum æquari perpendiculo.

Illud itaque triangulum rectangulum conficietur a duobus quadratis quorum summa et differentia erunt quadrati. At isti duo quadrati minores probabuntur primis quadratis primo suppositis, quorum tam summa quam differentia faciunt quadratum: ergo, si dentur duo quadrati quorum summa et differentia faciant quadratum, dabitur in integris sunmma duorum quadratorum ejusdem nature, priore minor.

Eodem ratiocinio dabitur et minor ista inventa per viam prioris, et semper in infinitum minores invenientur numeri in integris idem prastantes. Quod impossibile est, quia, dato numero quovis integro, non possunt dari infiniti in integris illo minores. Demonstrationem integram et fusius explicatam inserere margini vetat ipsius exiguitas.

Hac ratione deprelendimus et demonstratione confirmavimus nullum numerum triangulum, præter unitatem, cequari quadratoquacdrato.

XLVI (p. 162).
(Ad commentarium in proposition. IX Diophanti De multangulis numeris.)

Bachetus: Dato latere invenire polygonum.... Dato polygono invenire latus.

Propositionem pulcherrimam et mirabilem, quam nos invenimus, hoc in loco sine demonstratione apponemus:

In progressione naturali, quae ab unitate sumit exordiun, quilibet numerus in proxime majorem facit triplum sui trianguli; in triangulum proxime majoris, fatit triplum suae pyramindis; in pyramidem proxime majoris, facit quadruplum sui triangulotrianguli; et sic uniformi et genrerali in infinitum methodo.

Nec existimo pulchrius aut generalius in numeris posse dari theorema. Cujus demonstrationem margini inserere nec vacat, nec licet.

XLVII (p. 402).
(Ad proposition. XXVII Bacheti Appendicis de numeris polygonis Libr. II.)

Unitas primum cubum; duo sequentes impares conjuncti, secundlum cubum; tres sequentes, tertium cubum; quatuor succedentes, quartum; semperque uno plures sequentem deinceps in infinitum cubum aggregati impares constituunt.

Hanc propositionem ita constituo magis universalem. Unitas primam columnam ^[51] in quacumque polygonorum progressione constituit; duo sequentes numeri, mulctati primo triangulo toties sumpto quot sunt anguli polygoni quaternario mulctati, secundam columnam; tres sequentes, mulctati secundo triangulo toties sumpto quot sunt anguli polygoni quaternario mulctati, tertiam columnam; et sic eodem in infinitum progressu.

XLVIII (p. 412).
(Ad proposition. XXXI Bacheti Appendicis Libr. II.)

In hac progressione [nempe arithmetica, in qua minimus terminus equatur differentia], productus ex cubo minimi in quadratum trianguli numeri terminoram mquatur aggregato cuborum a singulis.

Hinc sequitur cubum maximi, toties sumptum quot sunt numeri terminorum, ad aggregatum cuborum habere minorem rationern quam quadruplam.

APPENDICE

I.
DÉDICACE DU DIOPHANTE DE 1670.

ILLVSTRISSIMO VIRO D. D. IOANNI BAPTISTAE COLBERTO, REGI AB INTIMIS CONSILIIS ET A SECRETIS, AERARIJ CENSORI GENERALI, SVMMO REGIORVM AEDIFICIORVM, NAVIGATIONIS ET COMMERCII PRAEFECTO, REGNI ADMINISTRO, ETC.

Prodit in lucem tuis auspicijs, Vir Illustrissime, Diophantus varijs auctus parentis mei obseruationibus; Illas mole quidem exiguas, secl pondere, ni fallor, maiores, quel tua est summa humanitas, forsitan non aspernaberis, præsertim cum ad numeros pertineant qui radicis instar ac velut in centro Matheseos positi, diffunduntur in omnes illius circuli partes. Cur enimn Geometria, et quidquid ei affine est, alium quam te ambiat Patronum, qui terrarum orbem animo metiris, vt in extremis Regionibus in quibus olim emoriens natura defecisse videbah tur, prweclara Regis maximi facta celebrentur, et Barbarorum pectora liberalibus imbuta disciplinis mitescant. Cuml vero illas fere omnes aut earum semina Mathesis contineat, menti inperio natæ et membris famulitio aptis opitulatur, pacisque ac belli temporibus idonea, non tanturm Regijs ledibus magnifice extruendis, sed etiam vrbibus luto propugnandis vtilem se prebet. Huius doctrins non immeritb captus illecebris Parens meus, quem adhuc lugeo, illam succisiuis horis in medio forensium negotiorum strepitu, absque vllo tamen Iurisprudentiæ, et Senatorij muneris dispendio non infeliciter excoluit. An autem hæ, quas tibi, Vir Illustrissime, offero lucubrationes, pondere, vt dixi, majores sint quam mole, si satis otij suppeteret, tu facillime indicares, qui Lyncea sagacitate in abdita quseque penetrans, veritatem ab errore non mnius quam veramr virtutem a fucata secernis, et eorum qui operam nauant terario puras manus eque dignoscis, ac puritatem auri se probare posse Matheseos quondam ille genius Archimedes celeberrimo circa coronam Hieronis experimento demonstrauit. Sed te alib vocant multa magnaque, in quibus ita versaris, vt te pluribus parem, et adhuc majorihus dignum ostendens, inuicti Principis famam, illiusque subditonrui leuamen, tibi laborum metam proponas. Id abunde testantur commnercij reparatte, et Piratarum repressca vires qui Herculem.Gallicunm Herculeas coluimnas transeuntem et vtrumque mare committentem vident e latebris tanquam e Caci spelunca et pertirnescunt; idem quoque testantur portus bellicis instructi nauibus quæ peregrinis non indigent armamentis, et hostibus terrorern incutiunt vt pateat qui mari potitur, eum rerum potiri; testantur denique hinc restaurate tuis curis Artes, nobilique consortio, vt egregiorum æmulatione opificum certatim atgerli ac perfici possint, tua industria sociatæ, illinc scientiarum arcana in tuis ipsis penatibus miruni in modum illustrata. Quæ satis fiden faciunt quantum tibi cordi sit non solum vt Regni, sed etiam vt Reipublice litterarie fines promoueantur et vt quidquid ex nouo illius orbe aduehitur, aspirante tui fauoris aura obli uionis et inuidie scopulos vitare possit; nunquam illos metuet hoc tui nominis prasidio munitum opus, si benigna manu, vt enixe rogo, suscipias istud sterni n monimentum obsequij, quod tibi voveo,

Addictissimus

S. FERMAT

II.
PREFACE DU DIOPHANTE DE 1670.

Lectori Beneuolo.

DIOPHANTVM hic habes, et varias quibus auctus est obseruationes, paucas illas quidem et breues, non tamen contemnendas; nec enim me latet hujusmodi opera ponderari potius quam numerari à peritis sestimatoribus, quibus vnica demonstratio, imó interdum vnicum Problema magni voluminis instar est; in Mathematicis nimirum disciplinis, noua Laconico licet more exhibita veritas pluris fieri solet, quam verbosa quorumdam tautologia; Doctis tantum quibus pauca sufficiunt, haruml obseruationum auctor scribebat, vel potius ipse sibi scribens, his studijs exerceri malebat quam gloriari; adeo autem ille ab omni ostentatione alienus erat, vt nec lucubrationes suas typis mandari curauerit, et suorum quandoque responsorum autographa nullo servato exemplari petentibus vltro miserit; norunt seilicet plerique celeberrimorum huis sœculi Geometrarum, quaim libenter ille et quanta humanitate, sua ijs inventa patefecerit; Quamobrem superstites quosdam Ipsius amicos, ssepe hortatus sum sœpiusque hortabor, vt si quos illius ingenij partus blanda manu susceperint, illos in musei vmbnra diutius delitescere non patiantur; dum autem plura quæ breui, vt spero, prodibunt, colligo, tibi non iniucundam fore duxi, novam horum Diophanti operum, istarumque simul obseruationum editione: Illas Parens meus quasi aliud agens et ad altiora festinans margini variis in locis apposuit, præsetim ad quatuor vltimos libros; cutn enim ardua sectaretur ille, faciliora et vulgo Logistarum nota quse duobus primis libris continentur, aut vt ipsius Diophanti verbis vtar, τὰ ἐν ἀρχῇ fere omnino pretermisit; Qualis autem Quantusque in Arithmeticis fuerit Diophantus, sat sciunt qui primis, vt dicitur, labris puram Logisticam gustauerunt; tredecim ille scripserat Arithmeticorum libros, quorum sex tantum extant, vnusque de numeris multangulis, reliqui vel temporis iniuria perierunt, aut alicubi forsan Thesauri instar ita seruantur, vt nullius videantur esse, dum publici juris fieri non possunt; meminit Diophanti Suidas in voce IHypathia, et Lucillius libro secundo Anthologi e capite vigesimo secundo Diophanti Astrologi recordatur; an vero Suidas et Lucillius de hoc eodemque loquantur, nihil comperti habemus; eum multi circa Neronis tempora vixisse putant, nec deest qui Antonino pio imperante eum floruisse leuibus fretus coniecturis suspicetur; illud audacter asserere licet, hoc Auctore nullum antiquiorem hactenus innotuisse, qui hane instaurauerit doctrinam, quam a Gr-ecis acceptam Arabes cum ipso Algebrœ nomine ad nos transmisisse existimantur; eximia vero Problemata quæ hoc opus complectitur, adeo humane mentis captum videntur superare, vt ad eorum explanationem indefesso Xylandri labore et miranda Bacheti sagacitate opus fuerit; duo illi fuere doctissimi horum librorum interpretes, nam vix eo nomine dignus est Gr'ecus Scholiastes; Bombellius verb in Algebra quam Italico sermone vulgauit, Diophanti questionibus suas permiscens, fidi interpretis partes non sustinuit; neque eo functus est munere subtilissimus Vieta qui peragrans auia Logistice loca, nec alterius inherens vestigiis, sua maluit in lucem proferre inuenta quam facem prœferre Diophanteis; quantum autem Analyticam vltra veteres terminos promouerit Parens meus, tuum erit, Erudite Lector, judicium; vtinam ipsius cœptis non obstitissent angustiæ temporis, et plura parantem mors heu nimium immatura nobis ilium non prseripuisset! plura procul dubio ex eodem fonte manassent, nec suis quedam istorum problematum demonstrationibus carerent; quin vero ipse eas penes se, et in scrinio, vt ita loquar, pectoris habuerit, turn aliæ lucubrationes, turn illius animi candor et modestia dubitare non sinunt; licet autem a tot tantisque viris laudatus Parens, a liberis absque inuidia laudari possit, nec illud ingenti luctui solatium, vel potius irritamentumn denegari debeat, magis tamen libenter, ni fallor, illius encomium perleges quod in diario Doctorum elegantissimo, et in plerisque clarissimorum scriptorum libris occurrit; horum nonnulli magnifice jamdudum mentionem fecere variorum ipsius operum, que licet inedita non tamen latuerunt, vt abunde testantur qubedam excerpta qute adjicere non piget, et doctrine Analyticæ inuentum nouum, collecturm ex varijs illius epistolis h R. P. lacobo de Billy Societatis Iesu Sacerdote, cujus perspicacissimum ingenium et eruditio commendatione non egent, cum in ipsius operibus satis eluceant; cæterum quidquid in hoc erratum fuerit, id Typographorum incuriæ tribuas, et æqui bonique consulas quæso. Vale.

III.

Dédicace des Varia Opera.

celsissimo s. r. i. principi ferdinando episcopo paderbornensi, coadivtori monasteriensi, comiti pyrmontano, lib. baroni de furstenberg. samvel de fermat s. p.

Si munus quod tibi, Celsissime Princeps, offero non respuas, grati simul animi et obsequii quodam erga te, ac pietatis officio erga Parentem fungi videbor : dum in illius operum Mathematicorum limine nomen statuo, quod injurias temporum et invidiæ morsus arcere possit. Quis enim unquam credat improbari quod tu semel probaveris, quem Arctoi syderis instar intuentur quicumque scientiarum pelagus sulcare cupiunt, mox tutius et tranquillius futurum, cùm fluctus omnino sedaverit lenior pacis aura quæ tandem spirare cœpit ? Sic autem per omnes orbis literarii partes lucem spargis, ut te cuncti suspiciant et neminem despicias ; ita multorum errorem Magnatun damnas qui veluti quodam summæ dignitatis privilegio sibi concessum existimant, ut non tantùm impune, verùm etiam splendidè possint esse indocti ; et se contemnendos putent nisi Musas spernere audeant. Sed abundè tua probat authoritas nulli magis utiles esse literas, quàm ei qui, ùt decet, Pastor populorum esse velit, nulli plus gloriæ afferre : quia rarò conveniunt imperii comes sollicitudo, et aptus colendæ menti secessus. Idem profectò centrum ferè nunquam habent civilium curarum et sublimium disciplinarum circuli : in tanto negotiorum circuitu rectà ad doctrinæ culmen ascendere non minùs forsan difficile Politico videatur, quàm Geometræ curvas rectis æquare, cujus rei specimen exhibet hic edita dissertatio. Superavit tamen omnes obices tua Celsitudo, tibique fidum in mediis tempestatibus portum condere potuisti, et egregiis plerisque scriptoribus quos tuarum fama virtutum ad Paderæ fontes allicit, ubi venam quovis latice puriorem nanciscuntur, ubi te præeunte citiùs discunt quò properandum sit, quàm si studiis in umbra educatis anxiè semotos calles investigarent. Longum scilicet iter est per præcepta, breve per exempla, brevissimum per exempla Principis viri, quem etiam avia peragrantem loca plurimi libenter sequi conantur ; sed paucissimi sunt qui tuis inhærere vestigiis queant ; et dum optas

Voce ciere viros, Phœbumque accendere cantu,

vocis tuæ suavitas tuis non mediocriter votis obstat. Deterret nimirum qui sic hortatur ; silere docet, qui tam doctè loquitur. Id ego experior quoties opera tua pervolvo, quæ mihi licet ignoto et immerenti mittere voluisti : illa semper, adulationis expers, cujus causas procul habeo, mirari simul et laudare gaudeo quæ vix quisquam imitari posse confidat. Monumentis enim Paderbornensibus, quæ tam munificè restaurans tam eleganter celebras, monumentum longè perennius exegisti : si Quinctilii Vari, cujus cladem cedro dignis carminibus memoras, Legiones Romæ reddi nequeunt, at saltem tui sermonis illecebris et venustate Vari vel Augusti sæculum ei reddere videris, Virgiliumque simul et Horatium ac utriusque præsidium et decus referre. Augurabatur olim lepidus Vates non defuturos Marones, quandiu sint Mæcenates, sed quidquid præclarum in Mæcenate et Marone fuit, in eodem pectore reperiri posse nemo speraverat, sive quòd nimia copia Poëtas inopes et steriles plerunque reddit (unde Theocritus^[52] Diophanto fatetur artes excitari paupertate, quamn laboris magistram vocat) sive quòd alienis carminibus ei non opus est qui suis satis oblectari potest, ut adoptivos liberos quærere non solet cui natura legitimam sobolem dedit. Verùm in te, Celsissime Princeps, collecta non sine stupore cernimus, quæ divisa tam illustres alios effecerunt ; et tua singularis humanitas, quæ tot eximias dotes connectens, cœlestes gemmas auro inserere videtur, spondet à te benignè excipiendum, tuoque in sinu fovendum hunc ingenii paterni partum, qui suo defensore orbatus, ùt posthumus, tuo patrocinio indiget, quod venerabundus exposco.

de celsissimo principe ferdinando furstenbergio, episcopo paderbornensi, etc.

ob avrevm nvmisma, in qvo

illius imago conspicitur, missum.

Pierio quam culmine mittis imago
Quæ nostros ingressa lares fulgore replevit
Immeritamque manum, Phœbi ipsa referre videtur
Ora, solo qui cuncta fovet, nec florea tantum
Rura super lætus rutilat glebasque feraces,
Cernere sed sterilem non dedignatur arenam ;
Sic hilares oculos simul et cum fronte serena
Innocuos mores insignis vultus adumbrat ;
Sit tamen ars quamvis spectanda numismatis, illam
Effigiem superavit opus quodcunque Camænis
Sponte tuis fluxit dulci de fonte leporum :
Scilicet Aonij meliùs te vertice montis
Spirantem ostendunt Musæ, dum natus Olympo
Doctrinam pietate auges, castasque sorores
Ad superos tollens, dignoscis quam sit inane
Ornari ingenium, nimioque calescere motu,
Si vacuum æthereo pectus non uritur igne.
Luminibus quantis et quot virtutibus omnes
Suaviter^[53] alliciens animos, validique catenis

Eloquij blandus victor trahis ! his ego sensi
Me placidè captum jampridem, nec tibi possim
Hoc magis addici, qui me devincit, honore.
At quas nunc grates referam ? Te principe Vatum
Munera digna mihi Romanaque carmina desunt ;
Carmina Mæcenas sed tu par ipse Maroni
Nostra nec expectas, nec vilia munera quæris.
Non eget exiguâ sublimis arundine laurus,
Et raucæ non vocis eget tua fama susurro
Sat nitidis Latio quibus aurea redditur ætas
Eximias scriptis potuisti pandere dotes,
Purior illimi ceu splendens flumine solus,
Ut decet, ipse suis radijs se pingit Apollo.

de principis eivsdem præclaro

Monumentorum Paderbornensium opere.

Dum Paderse fontes æterno carmine Princeps
Aonij celebrat spes columenque chori,
Ut superat quæ sic ponit monumenta, suisque
Altius ipse aliud tollit ad astra modis !
Hujus Cana fides ornat pia pectora, mentem
Lux Sophiæ, Latij priscus et ora lepor.
Amissas^[54] his olim Aquilas quæ flevit in arvis,
Delicias illinc Roma decusque trahit.
Fernandi eloquium Tiberis miratur, et ævi
Immemor, Augusti sæcla redire putat.

de eodem principe qui mirandis

ingenii doctrinæque dotibus stemmatis ac digitatum splendorem augens,
pacem omnibus morum et facundiæ suavitate persuadere possit.

Ode.

Nunc corda mulcens ô utinam Sacer
Notos recursans per fluvios Olor
Mox cogat infensos canorâ
Voce potens lituos silere ;
Hic prima Pindi gloria cui favet
Phœbus, nitentem Lilia quem tegunt,
Quas ore non compescat iras
Pieriâ modulatus arte ?
Ut cum querelis dulcisonis nemus
Vox blanda latè lusciniæ replet,
Discordis oblitæ susurri
Mille solent volucres tacere ;
Non ille frustra sit patriæ datus
A quo feroces flecti animi queunt ;
Martis nec incassum per arua
Threicius cecinit Sacerdos :
Orpheus parentem Calliopen colens
Lenire plectro quot didicit feras !
Sermone sic præstat domare
Pectora, quam superare ferro.

IV.
PRÉFACE DES VARIA OPERA.

Erudito Lectori,

Non te latet, Erudite Lector, opera Mathematica prSefatione vix indigere: nam ut Paralogismi culpam frustr'a longo sermone Geometra deprecari vellet, aut pro vera demonstratione falsain obtrudere; ita non opus est assensum solidæ rationis viribus debitum suppliciter efflagitare, quem adversarius videns sciensque, licet valde reluctans, denegare non possit. Praetereà supervacaneum foret laudes Mathetatum fuse celebrare, ciim hanc spartam tot egregij scriptores adornandam jampridem susceperint. Quis enim nescit Geometriam et uberes illius fructus ad cœlum evelii a Platone, qui non solinm eain livinitus humanw menti insitailm, sed etiam ab ipso numine excoli putavit? nonne meritb Mathesis a Philone vocata fuit liberalium artium metropolis, quas, ubi desit illa, luminibus, et veluti manibus orbatas esse liquet? Unde a vero non aberrat qui ut manum instrumentum ante instrumenta, sic et Mathesin dici posse credit artem ante alias artes, cum illius terra marique, et bello ut pace, tam evidens utilitas sit; quod unus instar omniumr docuit olim Archimedes, dum infirmus corpore sed invictus ingenio senex, obsidioni's Syracusane pars maxima, patria vis summa fuit, Briareus et Centimanus a Romanis appellatus: quamobrem admiratione perculsum Marcellum licet hostem ab eo tot damnis affecturn ei tamen inimicum esse noluisse Livius tradit, sed propinquis inquisitis honori præsidioque nomen, ac memoriam tanti viri fuisse. Mathematicas deinde disciplinas ansas Philosophia videri quis diffiteatur? cum Philosophus quamvis abunde Logicæ versutijs et argutijs instructus, si lux mathematica non affulgeat in Physica comparari possit Polyphemo in spelunca occrecato, et munneris, quo frui potuit, usum nescienti, vini scilicet, cui prseclarus non ita pridern Philosophus Geometrianm similem dici posse arbitratus est, quod recens inflat, vetus oblectat et vires auget. At non istorum operum Authorem inflavit unquam Mathesis, et tot demonstrationes, dum ab ipso non sunt editse, quibuslibet argumentis melihs demlonstrant eum ab ostentatione laudisque cupidine alienurn fuisse. Quod autem de illarum sorte sollicitus non fuit, fere semper autographa nullo servato responsorum exemplari mittere solitus, parum abfuit quin hec, quse fortei non interitura credes, omninb extincta fuerint, antequam in publicamn lucem prodirent. Hinc fit ut quia hsec sparsim disjecta colligere facile non fuit, fato posthumorum operum serb, pauciora, et minus culta typis edantur. Hinc etiam contingere poterit ut onnia qune hic occurrent tibi non videantur nova: sed quamvis alij de quibusdam rebus, quas hic invenies, scripserint et lucubrationes suas priusvulgaverint, non ideb minus hæc inventa istorum operum Authori debentur, qui adeb fastfis, et invidiac expers fuit, ut aliena suis sat aliunde notis immiscuisse credi non possit, qui sua vix sibi tribuebat. Ab eo, exempli causa, libri duo Apollonij Pergei de locis planis procul dubio restituti sunt, licet Franciscus Schooten Academiæ Lugduno BataveT Professor illos a se restitutos asserat; nam sua typis mandavit Franciscus Schooten anno i657. sed libros duos, qui hic extant, Apollonij Pergæi de locis planis se vidisse Lutetiæ manuscriptos, nec non ad locos planos et solidos Isagogen, testis omni exceptione major Herigonius asserit tomo 6. cursus Mathematici editi anno 1634 ^[55]. Credere tamen, vt dixi, malim Batavum Professorem eadem de re scripsisse, quam ab eo, vel a quovis alio aliquid perpetratum esse suspicari quod ingenuum animum dedeceat, vel inverecundiam plagij probare possit. Verum in istis, ni fallor, operibus, de quibus te non ex parva mole judicaturum sat scio, occurret tibi non injucunda varietas, ut et in epistolis, qut vel ab Authore, vel ad ipsum i plerisque doctissimis viris scriptse fuerunt. Has inter sunt nonnulla Pascalij in quibus ingenij non minus tersi quam perspicacis radios agnosces, quos ejusdem alie lucubrationes, et ipste satis exhibent Pascalij cogitationum reliqui: illud enim opus in quo pendent opera interrupta, multis eximium Matheseos circa res sacras specimen videtur, æqataque machina cœlo. Quis autem ignorat qualis quantusque Geometra et quam insignis in Academia Parisiensi Professor fuerit Robervallius, cujus hic aliquot epistolas legere poteris, et perlegisse gaudebis? Eduntur hic quoque nonnullac Gallice vel Italice scripte 'a Kenelmo Digbto, qui prTeter generis nobilitatem et honores gestos, non solium ingenio doctrinaque, sed etiam pietate conspicuus fuit, ac ver e Religionis cultu, quam ut gladio, sic et calamo tueri conatus est, ut fidem facit aureus illius liber de veritate Catholicœ Religionis Anglice scriptus. Illis epistolis additur una aut altera Frenicli, cujus miram Arithmetica problemata solvendi facilitatem a multis prledicatam, et ejusdem responsis confirmatam Analystse norunt. Quas verb non adjecimus circa Cartesianam Dioptricam epistolas legere poteris in tertio volurnine epistolarum Cartesij cujus stupendæ sagacitatis circa Geometriam admiratione se captumn fatetur is etiam qui nonnunquam ab eo dissentit. Ut autem in varijs istis operibus, sic et in epistolis multa reperies quæ ad Geometriam, vel Analyticen pertinent aut numerorum arcana, de quibus si plura videre cupias, habes observationes ad Diophantum, cujus opera typis mandari curavi anno 1670. et Doctrinæ Analyticœ inventum novum collectum e variis epistolis D. Petri de Fermat ab insigni Geometra R. P. Jacobo de Billy S. J. Sacerdote. Est hic prweterea nonnihil 'circa Mechanicam et Geostaticam, nec non Dioptricam ac Physicam, circa quam v. g. non contemnendam fore confido epistolam de proportione qua gravia decidentia accelerantur, ad Gassendum, quse ipsi Gassendo viro exquisite eruditionis, et candore ac moribus qui Christianum Philosophum decent, prtedito non displicuit, ut ejus responso, licet brevi, satis patet. Sic etiam celebris Itali Geometre Abbatis Bened. Castelli epistola probat ei non displicuisse quwe hic scripta sunt circa motumn gravium aut centrum gravitatis. Cseterimi in his Parentis mei operibus et epistolis quxe multas disputationes circa quæstiones arduas continent, et quibus duas addidimus criticis olservationibus non spernendis refer(as, nullam vocem qune sit acerbior, nulluin pervicacis controversia' vel amarulentse contentionis occurrere vestigium, poteris observare. Id innatam mansuetudinem Authoris arguit, qui nulla contradicendi I ibidine veritatem quoarens, illam ab alijs inveniri gaudebat et gratulabatur: qui secus agunt earn ut juvenes proci colere videntur, dum sibi dumtaxat affulgere vellent quod diligunt; sed qui veritatem divino, ut par est, amore prosequuntur, ipsam omnibus innotescere cupiunt, suabnque felicitatem augeri putant, cum ejusdem plurimi fiunt participes. Epistolas verb ad Authorem scriptas, quwe hic extant, ut nactus sum, edendas ingenue existimavi, nullomodb minuere sed augere cupiens tantorum virorum famam, quorum alia responsa, nondum pr lo commissa, si mihi suppeterent, ut harum disputationum seriem edere non pigeret. Ex istis auterm operibus, Erudite Lector, fructus, ni fallor, et voluptatis non parum percipere poteris et si quid incuria Typographorum erratum sit, illud suppleas aut ignoscas quæso.

Scllemata suis locis in toto opere, ut in illius parte, reperirentur, nisi defuisset sculptor ligni notis Geometricis incidendi peritus; sed figure ^[56] quæ cum textu edita non fuerunt, ad libri calcem sunt rejecta, numeris paginarum, ad quas referuntur, apposilis, quod semel monuisse sufficiat.

↑ Voir ci-après l’observation IX.
↑ Dioph., p. 216 : « Invenire tres quadratos, ut quem bini faciunt planum, sive adsciscat amborum summam, sive reliquum, faciat quadratum. »
↑ Ce renvoi, indiqué par Samuel Fermat, n’est pas exact ; l’observation de Fermat porte surtout sur la fin du commentaire de Bachet, à partir de « Cæterum animadversione quoque dignum est, etc. (p. 127, l. 7) ». En fait, le problème de Diophante consiste à trouver quatre nombres tels que la somme de leurs carrés, augmentée ou diminuée de chacun de ces nombres, fasse toujours un carré. Dans son commentaire, Bachet remarque : 1º Comment Diophante ramène ce problème à celui de trouver quatre triangles rectangles en nombres ayant une même hypoténuse ; 2º Comment ce nouveau problème se résout en nombres entiers par le choix de deux triangles rectangles non semblables, et en multipliant les côtés de chacun d’eux par l’hypotenuse de l’autre. C’est-à-dire que si l’on a $\scriptstyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad {\text{et}}\quad a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=c_{1}^{2}$ on aura (1) $\scriptstyle {\overline {cc}}_{1}^{2}={\overline {ac}}_{1}^{2}+{\overline {bc}}_{1}^{2}={\overline {a_{1}c}}^{2}+{\overline {b_{1}c}}^{2}$ .
3º Si d’ailleurs les hypoténuses sont, chacune respectivement, somme de deux carrés, leur produit peut être décomposé en deux carrés de deux manières differentes.
Si l’on a
$\scriptstyle c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}\quad {\text{et}}\quad c_{1}=\alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2},$
on aura
(2) $\scriptstyle {\begin{cases}cc_{1}=(\alpha ^{2}+\beta ^{2})(\alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2})&=(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1})^{2}+(\alpha \beta _{1}-\alpha _{1}\beta )^{2}\\&=(\alpha \alpha _{1}-\beta \beta _{1})^{2}+(\alpha \beta _{1}+\alpha _{1}\beta )^{2}\end{cases}}$ .
Bachet ajoute que, toutefois, les deux carrés composant chaque hypoténuse doivent être inégaux, et qu’il ne doit pas y avoir de proportion entre les quatre.
4º Comme maintenant, si un nombre est décomposé en deux carrés (soit p² et q²), on en déduit qu’il est l’hypoténuse d’un triangle rectangle en nombres, car
$\scriptstyle (p^{2}+q^{2})^{2}=(p^{2}-q^{2})^{2}+(2pq)^{2}$ ,on aura ainsi le moyen de construire deux nouveaux triangles rectangles ayant cc₁ pour hypoténuse, et le problème sera résolu, sous la reserve que les opérations ne seront pas illusoires, comme cela arriverait si, dans la double décomposition (2), on tombait sur une somme de deux carrés égaux ; on doit en conséquence exclure le cas où $\scriptstyle {\frac {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}={\frac {\alpha +\beta }{\alpha -\beta }}$ .
5º Bachet indique les corrections qu’il a apportées au texte grec.
6º II montre comment le procédé de Diophante peut être généralisé, en prenant deux nombres sommes de deux plans semblables ; le produit de ces nombres peut en effet, s’il n’y a pas proportion entre les composants, être divisé en deux carrés de quatre manières différentes.
Enfin, il soulève la question que Fermat a complètement résolue dans son observation, à savoir de trouver un nombre décomposable en deux carrés de tant de manières que l’on voudra. Si, dit-il, on multiplie un nombre qui est 1 fois seulement somme de deux carrés par un nombre jouissant de la même propriété, le produit sera somme de deux carrés 2 fois seulement. Un tel nombre, multiplié par un autre décomposable 1 seule fois, donnera un produit décomposable 3 ou 4 fois seulement (3 fois si le multiplicateur a un facteur commun avec le multiplicande, 4 fois dans le cas contraire). Un nonmbre décomposable 3 fois seulement, multiplie par un qui ne l’est que 1 fois seulement, donnera (en excluant le cas de facteurs communs) un produit décomposable 6 fois seulement.
On peut continuer ainsi indéfiniment : Un nombre décomposable 4 fois et un qui l’est 1 fois, ou bien deux décomposables 2 fois seulement donneront un produit 8 fois décomposable. Un nombre 6 fois décomposable par un 2 fois décomposable donnera un produit 24 fois décomposable. Bachet donne des exemples sans démonstration.
↑ ^a^,^b^et^c Lisez « quaternarii multiplicem ».
↑ Dans l’édition de Samuel Fermat, le texte de cet alinéa se trouve apres celui des trois suivants.
↑ Viète avait déjà traité comme Bachet les trois questions sur lesquelles portent cette observation de Fermat et la suivante. Voir Zetetic. IV, 18, 19, 20 (pages 74-75 de l’édition de Schooten).
↑ Voir l’observation suivante.
↑ Voir Observation XII. Soit à résoudre ${\frac {x^{3}+y^{3}}{x+y}}=a$
le procédé de Bachet revient a éliminer y en posant x+y=z. On a alors
$3x^{2}-3xz+z^{2}=a,$
équation qui se traite facilement par les méthodes de Diophante, si a est carre ou triple d'un carré.
↑ Diophante (V, 3) a donné une solution de ce problème dans le cas général où le nombre à ajouter (ici l'unité) est quelconque.
↑ La solution ἐν ἀορίστῳ de Diophante peut être représentée par les trois nombres m²N + 2m, N, (m+1)²N +2 (m+1).
↑ Fermat donne de ce problème une solution différente de celle de Diophante.
↑ Soient x1, x2, X3 les trois nombres cherches. La solution de Diophante revient à poser $x_{1}=1,\ x_{1}x_{2}x_{3}=x^{2}+2x,\ x_{1}x_{2}x_{3}+x_{2}=(x+m)^{2}\ ;$

d'où
$x_{2}=2(m-1)x+m^{2},\ et\ {\frac {x^{2}+2x}{2(m-1)x+m^{2}}}$
II reste ainsi à satisfaire à une dernière condition, à savoir que $x_{1}x_{2}x_{3}+x3$ soit carré. Le lemme employé par Diophante consiste de fait à déterminer m en sorte que x_3 soit linéaire en x, c'est-à-dire à satisfaire à la relation
$2(m-1)={\frac {1}{2}}m^{2}\ ;$

d'où
$m=2\ et\ x_{2}={\frac {1}{2}}x,\ avec\ x_{2}=2x+4,$

et enfin
$x_{1}x_{2}x_{3}+x_{3}=x^{2}+{\frac {5}{2}}x,$ expression qu'il est facile de rendre carrée. Il est aisé de voir que la solution de Fermat est au fond la même ; car on la retrouve, si l'on change x en N - 2.
↑ L'emploi de la double équation tait indiqué par Bachet, d'apres la marche suivie par Diophante lui-même dans le problème suivant, qui ne diffère de celui-ci que parce que chacun des nombres cherchés doit être non pas ajouté, mais retranché du produit des trois, pour former les expressions à égaler à des carrés. Ici Bachet posait de fait $x_{1}=x,\ x_{2}=1,\ x_{3}=x-1,$

et il ramenait le problème à la double équation
$x^{2}-x+1=\alpha ^{2},\ x^{2}-1=\beta ^{2}.$
↑ Ce problème, comme le remarque Bachet, se ramene facilement a d6composer un nombre donn6 en quatre carres, question que Diophante n'a soumise a aucune règle, mais qu'il semble considerer comme toujours possible. Bachet affirme qu'en effet tout nombre entier doit être ou carré ou somme de 2, 3, ou 4 carrés entiers; il n'en a pas la démonstration, mais il s'en réfère à l'induction, donne le Tableau de la composition pour tous les nombres de 1 à 120, et ajoute qu'il a poussé l'expérience jusqu'a 325.
↑ La solution de Fermat, fondée sur une identité facile à reconnaître, est essentiellement différente de celle de Diophante.
↑ La solution de Diophante, avec les g6neralisations de Bachet, peut se representer comme suit. Soient x1, x2, X3 les trois nombres cherch6s. Posons X;1 + X2 ~ X3 =;X2 et 2(X + 1) B2 (3 XI - _ - X2 x3 X2 X' X2 il vient X- 2, -+ - q- Y3 Posons maintenant on a Z( 2 2- Z - d'ou l'on posera (2 +- I)2 ou I6Z2x2 â 82 -8 Y3 i =I- (4zX - )2 et 834-; 8^31 82-I 8z3 Mais il faut que x soit entier et, par consequent, que 8z --- 5 - ) le soit. Si l'on prend 8 =, comme la fait Diophante, et commo Bachet l'a cru n6cessaire, on peut prendre tout a fait arbitrairement les entiers z et y. Fermat prend z =, comme l'avait fait Diophante; il fait d'ailleurs, dans l'exemple qu'il choisit, Y=7, g=3.
↑ Page 110. - Soient xi, x2, X3, x. les quatre nombres cherchés, et a le nombre donné. La solution de Bachet revient à poser t2- a 2 - a X - x =, x3= 2(X + X2) - ( -- ), ce qui satisfait aux conditions pour trois nombres. Si, pour le quatrième, on pose x₄ = v – u,
on n'aura évidemment qu'à satisfaire en outre à la condition bien facile que
x₃x₄ – a ou (v – u)² – 3a
soit un carré indéterminé. Bachet l'a résolue, en fait, de deux façons différentes : 1° par rapport à v – u, en se donnant u ; 2° par rapport a u, en se donnant v – u, qu'il suppose inutilement devoir être un carré.
↑ Dans l'Observation XVI, Fermat a donné une solution pour le cas où le nombre à ajouter est l'unité.
↑ J. de Billy (Doctrinae analyticae inventum novumn, I, 38, p. 11): « Diophantus L. V, q. 8 tradit artem inveniendi tria triangula rectangula quwe sint æqualia quoad aream. Qui vero plura ab ipso expetet, nunquam obtinebit; praterea nunquam tradidit Diophantus methodum inveniendi triangulum dato triangulo æquale quoad aream. Fermatius utrumque mox atque eadem operatione præstabit. » « Sit verbi gratia inveniendum triangulum cujus area sit 6, qualis est area trianguli rectanguli 3.4.5. » « Esto unum latus cujuspiam trianguli rectanguli 3, et aliud latus sit iN + 4. Horum quadrata simul sumpta exhibent 25 + IQ + 8N
pro quadrato hypotenuse: quare iste numerus æquatur quadrato.
» Deinde area istius trianguli, 3 N 4- 6, debet esse sextupla alicujus quadrati (quia postulatur areamn esse 6): ergo ejus area sextans quadratus est, ac proinde ille ducttus in 36 efficiet quadratum. Efficit autem
9N + 36:
igitur hic numerus æquandus est quadrato. « En igitur duos terminos duplicatme equalitatis:
9N- 36 et 25 - IQ -- +8N.
In his autem unitatum numerus quadratus est: ergo valor radicis facile reperietur, eritque 60 530 4oo 21 650 409g ac proinde a 896 804 iN -â 4 erit 96 8 2 405 6oi Aliud autem latus circa rectum est 3. Igitur horum quadrata simul sumpta faciunt quadratum cujus latus 7 776 485 2 405 60o erit hypotenusa. Ergo habes triangulum rectangulum 7 776 485 2 896 So4 2 405 601 2 405 60 cujus area est sextupla cujuspiam quadrati, nempe 724 2o0 2 405 601o
↑ La question V; 9 de Diophante se r6sout en effet par une application immediate de la solution du probleme pr6c6dent. Soient al, a2,..., a, les hypotenuses de a triangles rectangles ayant une m6me aire A, comme a+, 4A est carre, les nombres 4A satisferont a la question pos6e par Fermat.
↑ Le texte grec correspondant à ce passage incompréhensible de la version latine est le suivant dans l'édition de Bachet (leçon du manuscrit fonds grec n° 2379 de la Bibliothèque Nationale) :
[J'T~ 6 St ),CG's%, v cU'ro (i [p ~. U4lOVa LIOt [ [lS.O-; 0. r; Tr'1T'!,x O zoU.~0'.;'",
et, d'après Bachet, dans un Vaticanus græcus (probablement le n° 304) :
SJLTv 6 O:r),Ca(.'ov c'rTO jOp.0I.Jv [lovOcc a. uai(ova 1^/. [lipo, Trapcrv,i][jJS1 zpCt. O7 5U70 TOU 0'oapi t0oUO.
Ces deux leçons reviennent à la même, et tous les manuscrits connus de Diophante sont corrompus de la même façon.
↑ Il est aisé de voir que la solution particulière donnée par Diophante ne peut être obtenue avec les positions de Fermat, et l’on a dès lors le droit de répéter avec Bachet : « Quamobrem casu factum videtur ut sumpserit autor 2¼, quo de 3 sublato relinquitur ¾ ex tribus cubis compositus. »
↑ Voir Observation VIII.

↑ Il s’agit de trouver trois triangles rectangles en nombres

(a_{1}b_{1},c_{1}),(a_{2},b_{2},c_{2}),(a_{3},b_{3},c_{3})

tels que l’on ait,

a_{1},a_{2},a_{3}

étant les hypoténuses,

{\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{c_{1}c_{2}c_{3}}}

dans un rapport carré.

Prenant arbitrairement le triangle $(a_{1},b_{1},c_{1})$ , soit (5, 4, 3) dans l’exemple choisi, Bachet forme les triangles suivants, respectivement des nombres $a_{1},b_{1}$ et $a_{1},c_{1}$ , c’est-à-dire il pose de fait :

$a_{2}=a_{1}^{2}+b_{1}^{2},$	$b_{2}=a_{1}^{2}-b_{1}^{2}=c_{1}^{2},$	$c_{2}=2a_{1}b_{1},$
$a_{3}=a_{1}^{2}+c_{1}^{2},$	$b_{3}=a_{1}^{2}-c_{1}^{2}=b_{1}^{2},$	$c_{3}=2a_{1}c_{1},$

${\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{c_{1}c_{2}c_{3}}}$ =

\left({\frac {b_{1}}{2a_{1}}}\right)^{2}

.

Les deux triangles ainsi construits sont (41, 9, 40) et (34, 16, 30). Au lieu du second, il prend le semblable (17, 8, 15), le rapport restant le meme.

↑ Entendez duodecupla, et à la ligne suivante : Si autem duodecupla, et tripla.
↑ Les triangles de Diophante ou de Bachet s'obtiennent par la seconde solution de Fermat, c'est-a-dire avec les couples generateurs 5, 4 et 4, i. Diophante avait probablement traite, dans un problème perdu, la construction de deux triangles rectangles dont l'aire soit dans un rapport donné.
↑ Voir Observation XXIII.

↑ Bachet se propose de trouver trois triangles rectangles

(a_{1},b_{1},c_{1}),(a_{2},b_{2},c_{2}),(a_{3},b_{3},c_{3})

tels que le rapport

{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{c_{1}c_{2}c_{3}}}

soit carré. À cet effet, il prend arbitrairement le premier triangle, en sorte toutefois que

2c_{1}>b_{1}

; il forme le second un posant

a_{2}={\frac {4c_{1}^{2}+b_{1}^{2}}{b_{1}}},

b_{2}={\frac {4c_{1}^{2}-b_{1}^{2}}{b_{1}}},

c_{2}=4c_{1},

et le troisième en prenant

a_{3}=a_{1}a_{2},

b_{3}=b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1},

c_{3}=c_{1}c_{2}-b_{1}b_{2}.

On a alors, d’une part,

a_{1}a_{2}a_{3}=(a_{1}a_{2})^{2}

;

de l’autre,

c_{1}c_{2}c_{3}=(2b_{1}c_{1})^{2}

;

Fermat a bien reconnu que Diophante, se donnant arbitrairement, par exemple, le troisième triangle (5, 3, 4), cherche les deux autres en sorte que ${\frac {a_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}}$ , soit dans un rapport donné, à savoir 5. Mais il n’a pas deviné le procédé de l’auteur grec, qui a été restitué par Otto Schulz (Diophantus von Alexandria arithmetische Aufgaben nebst dessen Schrift über die Polygon-Zahlen, au dem Grieschischen übersetzt und mit Anmerkungen begleitet. Berlin, 1822, p. 546-551) d’après le texte donné par Bachet.

Diophante prend d’abord deux triangles auxiliaires $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$ , tels que $\beta _{1}\gamma _{1}$ soit à $\beta _{2}\gamma _{2}$ , dans le rapport donné. Ces deux triangles, obtenus comme dans le problème précédent V, 24, sont d’ailleurs (13, 12, 5) et (5, 4, 3).

D’autre part, ayant un triangle ( $\alpha ,\beta ,\gamma$ ), Diophante sait construire un triangle $a,b,c$ tel que $ac={\frac {\beta \gamma }{2}}$ . Il prend à cet effet

a={\frac {1}{2}}\alpha ,

b={\frac {\beta _{2}-\gamma _{2}}{2\alpha }},

c={\frac {\beta \gamma }{\alpha }}.

Du triangle (13, 12, 5) il déduit de cette façon le triangle $\left(6{\frac {1}{2}},{\frac {119}{26}},{\frac {60}{13}}\right)$ , et du triangle (5, 4, 3), le triangle $\left(2{\frac {1}{2}},{\frac {7}{10}},{\frac {12}{5}}\right)$ . Les deux triangles ainsi formés satisfont évidemment à la condition imposée.

Pour achever le problème primitif, Diophante prend pour les trois carrés cherchés

\left({\frac {c_{1}}{a_{1}}}x\right)^{2}

,

\left({\frac {c_{2}}{a_{2}}}x\right)^{2}

,

\left({\frac {c_{3}}{a_{3}}}x\right)^{2}

,

c’est-à-dire

{\frac {14400}{28561}}x^{2}

,

{\frac {576}{625}}x^{2}

,

{\frac {16}{25}}x^{2}

et, égalant leur produit à $x^{2}$ , il tire pour $x$ la valeur ${\frac {65}{48}}$ .

↑ On voit qu'au lieu de determiner B et D en sorte que -BD soit carre, Fermat qu - '2D zD, -- B3 va les chercher, par erreur, en sorte que D â B soit carre. Plus loin, apres avoir 2B - l) reconnu la faute de calcul qu'il a commise, il laisse subsister sa solution comme s'appliquant en tout cas a un probleme digne d'int6ert.
↑ Ces nombres sont ceux de Diophante. Les racines de ces carrés peuvent se représenter en général par 7r(z2 + a) pz r(z2+ a)_ qz 4pz P' 4qz r en supposant p2 + q2= r2. Diophante a pris en fait, pour a = 5, z = 3, p = 4, q - 3,,~ _r.
↑ Viète, Zeteticum V, 9 (édition Schooten, p. 79): Invenire numero triangulum rectangulum, cujus area adjuncta dato piano ex duobus quadratis composito, conficiat quadratum. Sit datum planum Z, planum compositum ex B quadrato et D quadrato. Effingatur triangulum rectangulum abs quadrato adgrcgali laterum B, D, et quadrato differentie eorumden. Hypotenusa igitur similis erit B quad. quad. 2 -+ B quad. in D quad. 12 - D quad. quad. 2. Basis B in D in Z planum 8. Perpendiculum B + D quadrato in B - D quadratum 2. Adplic ntur omnia ad B 1-+ D in B - D quad. 2, fiet area similis Z pano in B in D. Adde Z plaB_ - U quad. num; quoniam JB - D quad. -4- B in D2, xquatur B quadrato + D quadrato, id est equaZ planoplanurll Z plani tur Z piano, summna erit Z pla-n quadratum a radice Z pl B - U quad. B- D Sit Z planum 5, Di, B2. Triangulum rectangulum erit hujusmodi: â i - - rea i es. Ade 5 S a fit 5, radix et 5. 720 Area , id est:zo. Adde 5. Summa fit a25, cujus radix est 5 -
↑ La methode de Diophante peut se repr6senter comme suit: soient a le nombre donn6, et X2J2 X ) (X 2 2y' xa-4- ) y, x-*^ y, y le triangle cherche, on devra rendre carr6 (x2- )y-1 a-. En egalant cette expression?.2 a a x -- )2, on arrive a tirer rationnellement, en fonction d'arbitraires m et I/, a(4 a2'nm - j) -- /12 ax x == -â, ---- et r -- 4 ar/i 2 za x -t- i
↑ DIOPHANTE. VI, 4: IwenZire triatzulum rectanczgtnm ut arece numzerus nzultatuts dato znumero faciat quadratutm. DIOPHANTE, VI, 5: Invemire trian nzltm rectangulhum ut aunmerzu arece detractus a dato itunero faciat quadratnum. La m6thode de Diophante, pour ces deux problemes, est analogue a celle qu'il a suivie pour VI, 3.
↑ De fait, ces nombres reviennent a ceux de Viete. Comparez au reste JACQUES DEI BILLY (Doctrinac analyticce inventaum inovun, I, 37, p. Jo): ( Vieta, L. V Zetet. 9, infeliciter solvit quæstionem tertiamlibri sexti Diophanti; quum enim iste proponat invenire triangulum rectangulum cujus area assumens datum numerum faciat quadratum, coarctavit Vieta qumstionem ad datum numerum ex duobus quadratis compositum. At Fermatius innumeris modis solvit problema de dato quocumque numero: si enim detur 3, numeri sequentes exhibent triangulum quæsitum: 1 44I 889 i 397 825 34 416 i6o' 46 i6o' 40
↑ Soit a le nombre donné; la solution de Diophante revient à prendre, pour le triangle, ${\frac {a^{2}+1}{a+1}},a-1,{\frac {2a+1}{a+1}}$ L'aire, plus le dernier côté, est identiquement a.
La solution de Fermat est pr6ecis6ment la meme; seulement il la pose directement, au lieu de suivre les longs d6tours de Diophante, qui masquent la construction effective du triangle.
↑ Cette solution est encore, de fait, la même que celle de Diophante, comme pour le problème précédent.
↑ II faut entendre ici h la fois les problemes VI, 6 et 7 de Diophante.
↑ VI, 8: I/wvenire trianguluinz rectalinglaum ut area, acldsacnes utrulmque latermaz circa rectum, faciat datum zminmerum. VI, 9: I/lcenire tria/nglzdum rectanzgzlutn, uzt numeruts arece, m7ltatts sizmmnd latereri circa recctunm, faciat datum nuzmeletumzz. VI, Io: Iovenzire trian-lbutm rectanOgultnm lzt arece nulmerul, aclsuzitmenl s.umiram hIjypotenus.c et alteriu.s laterwmz circa rectium, faciat clatum wnuzerunm. VI, 1: Invenire triangulum rectanlium lit numerus arece, multatus stnTmd hypotenusce et alterius lateruzm circa rectlun, faciat datltm nzumerunm. Pour tous ces problemes, comme pour les deux précédents, Diophante arrive à une double equation, dont son procédé ne tire qu'une solution unique.
↑ Voir les Observations XXXVII, XXXVIII, XL, XLI.
↑ Dans son commentaire sur VI, i, Bachet avait traité la question: Invenire triazngulum rectangulum tit area, dcetractd hypotenusca, faciat datlumi numerum.
↑ Cette condition est empruntee au texte latin du probleme. Le proced6 do Diophante revient en effet h prendre comme triangle cherche: cz, bz, c.; puis ' poser (supposant b 1b > c) z = ---- II arrive ainsi a avoir a rendre carre 2 -bcx2- b(b- c)b =- y2. Or, si le triangle (a, b, c) est tel que b -+- b(b - c) p, Diophante sait construire une infinit6 de valeurs de x -- done de z. ais q2- be tous les triangles ainsi obtenus sent semblables; Fermat cherche done a determiner un autre triangle (a, b, c) que celui trouv6 par Diophante (5, 4, 3).
↑ D'après cette méthode (p. 321), si l'on a une solution x₁, y₁ de l'équation indéterminée x²+a = y³et que l'on pose x = x₁ - z, y = y₁ - 2x₁/3y₁²on peut tirer z rationnel: $z={\frac {36x_{1}^{2}-27y_{1}^{3}}{8x_{1}^{3}}}$
↑ D'apres les procedes de Diophante, cette solution s'obtient comme suit: Soit la double 6quation atx2 - bx -- c2 = â lt- X2 x- b'x -- c2 = p2, on en conclut ( - a' )x2 --- (b - b')x = t12 -v2 On satisfera a cette relation en posant a -â a' b-b 2 c -â t- ' X +2 C = +, ---- x = It- V. 2elb' ~2C t~,' 2C De ces deux equations on tirera la valeur de u ou de v, et, en substituant dans une des deux premieres, on obtiendra pour x une valeur rationnelle determinee.
↑ Voir Observation XXIII. Fermat renvoie d'ailleurs a la pr6sente Observation XLIII dans les suivantes: VI, XVI, XXII, XXXI.
↑ BILLY (Doctrinæ analyticæ inventum novum, I, 25, p. 7): Quæratur, verbi gratia, triangulum rectangulum cujus tam hypotenusa quam summa laterum circa rectum sit numerus quadratus. Formetur triangulum ab obviis numeris i N I et I N; ergo tria latera erunt: 2Q + I + 2N, i -- 2N, 2N - 2Q. Igitur hypotenusa, 2Q - 1 +- 2N, et summa laterum circa rectum, aQ + I + 4N, æquantur quadrato, et fit, per methodum conmmunem, valor radicis - --, unde duo numeri, a quibus formatum est triangulum, erunt -5/7 et -12/7, seu in integris, accipiendo solos numeratores -5, -12. Triangulum autem inde formatum est: 169, 119, 120. Unde infero ad solutionem problematis inveniendum esse aliquod triangulum rectangulum cujus hypotenusa sit quadratus, et differentia laterum circa rectum sit quadratus, atque hæc conclusio elicitur vi analyseos priecedentis; istud autem triangulum est I69, 119, 120, quod formatur vel ab - 5 et - 2, vel a -- 5 et -- 2. Quare itero operationem et formo triangulum qulesitum ab iN - -5 et I2, et pervenio tandem ad mequalitatern duplicatam quæ non dabit amplius numeros fictos, sed veros, beneficio trianguli illius primitivi, ut distinctius videbitur infra num. 45.... (Ibid. 45, p. I3): Iizceni.e cduos nuneros qluoluitl suzmma faciat qlualdlatttu et quorumL quadrata sinzl juncta facia/ t quad/ratoquadlratum. Istud problema idem plane est cum superiori quo quærebatur triangulum rectangulum cujus hypotenusa et summa laterum sit quadratus, aliasque fuit propositum plerisque doctissimis Mathematicis a Fermatio nostro sine solutione. Utere igitur triangulo primitivo supra invento (num. 25) 1i69 g, 19, Io, quod formatur ab 5 et I2, et forma triangulum ab N -+ 5 et 12. Latera erunt: Q -- I69 -- ioN, iQ - [19 +- oN 24N+ I20. Igitur hypotenusa, iQ + I69 +- toN, et summa laterum circa rectum, -+- Q -4- 34N, equantur quadrato; due summam istam laterum in I69; ergo productus, 169Q â 5746N -- 69, cum hypotenusa, IQ 4-+ 69 - ioN, æquantur quadratis. Ergo (per ca quæ dicta sunt.o48o75 num. 22) valor radicis est " 8 I7 et, juxta positiones, duo numeri a quibus nascetur 20566 triangulum qusesitum, 4687 298610o 89, 4565486027 761, i o6 652 293 520. Nam et hypotenusa est quadratus et summa laterum, et quadrata laterum æquantur quadrato hypotenusm; proindeque duo latera circa rectum sunt duo numeri quæsiti, turn quia illorum summa quadratus est, turn quia horum quadrata simul junclta faciunt quadratoquadratum.... (Ibid., 22, p. 7): Iterum sit solvenda aqualitas duplicata: 69Q 4- 5746N -- 169, et i Q +ioNn tl69. Tripliciter ista wequalitas solvi potest: Priino accipiendo differentiam terminorum illorum, quæ est i68Q 4-5736N, et eligendo duos producentes in quorum uno sit 26, duplum videlicet lateris quadrati I69; atque hæc est methodus communis. Secundo, solvi potest revocando diversos quadratorum numeros ad e.umdem, quod fieret ducendo singulas particulas numeri posterioris in I69, ut explicatum est num. 4. Tertio, T 868 solvetur eadem equalitas eligendo producentes i4N et i2N +- --; ita enim summa radicum erit 26N, duplum lateris quadrati I69Q; atque hæc est methodus Fermatiana qua? 2048075 dat pro valore radicis ao- 07 2o266 La premiere methode indiquee par Jacques de Billy donnerait la valeur / 694 65o 324oo5465o' la seconzde est illusoire, car elle donne pour valeur zero.
↑ Viète (In artern analyticen Isagoge, cap. I, 6d. Schooten, p. i, 1. 23-25): Forma autem Zetesin ineundi ex arte propria est, non jam in numeris suain Logicamn exercente, quæ fitt oscitanttia veterumn Azalystarum,
↑ Voir Observation IX.
↑ Ce fragment est tire du preambule du Doctrince analyticce invenitum nœmrn de Jacques de Billy (p. a), ou il suit le passage ci-apres: ( Quis ex primitivis radicibus elicuit derivativas, turn primi gradus, turn secundi, turn tertii et sic deinceps in infinitum? nemo plane: uni Fermatio debetur hoc inventum; unus ille hæc omnia non ex alienis cumulavit operibus, quod rhapsodi quidam facere consueverunt, sed proprio marte cudit et ex suis ipse fontibus hausit: hoc ille quum mihi amicissime communicasset per literas, judicavi dignissimum quod typis mandaretur, et ne ab ejus mente ullatenus recedam, exscribendum mihi videtur in primis compendium quoddam totius methodi, cui nomen debit Appenclicis acl dissertationzem Claudii Gasparis Bacheti de duplicatis apud Diophanztum cequalitatibus. En ipsissima illius verba.,
↑ Pages 332-333 de l'edition de Samuel Fermat. ( Sextus modus est quando propositi numeri diversimode componuntur ex Quadratis, Numeris et Unitatibus,....,) Primo ergo accidit utrumque propositorum numerorum componi ex tribus speciebus supra dictis et eorum intervallum unica tantum constare specie...., Secundo accidit utrumque propositorum numerorum ex duabus componi speciebus, alterum scilicet ex Quadratis et Unitatibus, alterum ex Numeris et Unitatibus, intervallum autem illorum constare ex Quadratis et Numeris.... ) Tertio accidit alterum propositorunumumerorum componi ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, alterum ex Quadratis et Numeris.... ) Quarto accidit alterurn propositorum numerorum componi ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, alterum ex Quadratis et Unitatibus...., Quinto denique accidit alterum propositorum numerorum componi ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, alterum vero ex Numeris et Unitatibus....
↑ Billy ajoute: « Hactenus Fermatius ». Les différences, pour cet alinéa, entre le texte de l' Observatio publié par Samuel Fermat (S) et le texte de l' Inventum novum (B) sont les suivantes: P. 337, l. 12 notâ defectûs insignitur S habet notam defectûs B; 13. intelligitur S deprehenditur B; 14, ut loquitur Vieta S ut verbis Vietae utar B.
↑ Fermat a voulu généraliser, pour les différentes sortes de nombres polygones, la notion de cube (produit par z du carré de côté n), et il a appelé colonne le produit par n du polygone de côté n. Cette expression technique, qu'il semble avoir forgée lui-même est généralement restée incomprise.
↑ Idyl. 16.
↑ Illustrissimi Principis tessera suaviter et fortifer.
↑ Natus est Illustris. Princeps in ea Germaniæ parte in qua cæsæ fuerunt Quinctilii Vari Legiones.
↑ Voir la note I de la page 171, où est retablie la veritable date de la mention faite par Herigone.
↑ Ce mot figuræ, qui rend la phrase incorrecte, doit y avoir été ajouté après coup. Dans l'edition des Varia opera, les figures sont insér"es dans le texte jusqu'a la page 103. Il y a à la fin du Volume cinq Planches contenant les figures des pages 104 à 167, plus une qui manque à la page 91. Pages 201 et 2o3, reparaissent dans le texte trois autres figures relativement simples.

[1] Voir ci-après l’observation IX.

[2] Dioph., p. 216 : « Invenire tres quadratos, ut quem bini faciunt planum, sive adsciscat amborum summam, sive reliquum, faciat quadratum. »

[p293-3] Ce renvoi, indiqué par Samuel Fermat, n’est pas exact ; l’observation de Fermat porte surtout sur la fin du commentaire de Bachet, à partir de « Cæterum animadversione quoque dignum est, etc. (p. 127, l. 7) ». En fait, le problème de Diophante consiste à trouver quatre nombres tels que la somme de leurs carrés, augmentée ou diminuée de chacun de ces nombres, fasse toujours un carré. Dans son commentaire, Bachet remarque : 1º Comment Diophante ramène ce problème à celui de trouver quatre triangles rectangles en nombres ayant une même hypoténuse ; 2º Comment ce nouveau problème se résout en nombres entiers par le choix de deux triangles rectangles non semblables, et en multipliant les côtés de chacun d’eux par l’hypotenuse de l’autre. C’est-à-dire que si l’on a $\scriptstyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad {\text{et}}\quad a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=c_{1}^{2}$ on aura (1) $\scriptstyle {\overline {cc}}_{1}^{2}={\overline {ac}}_{1}^{2}+{\overline {bc}}_{1}^{2}={\overline {a_{1}c}}^{2}+{\overline {b_{1}c}}^{2}$ .
3º Si d’ailleurs les hypoténuses sont, chacune respectivement, somme de deux carrés, leur produit peut être décomposé en deux carrés de deux manières differentes.
Si l’on a
$\scriptstyle c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}\quad {\text{et}}\quad c_{1}=\alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2},$
on aura
(2) $\scriptstyle {\begin{cases}cc_{1}=(\alpha ^{2}+\beta ^{2})(\alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2})&=(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1})^{2}+(\alpha \beta _{1}-\alpha _{1}\beta )^{2}\\&=(\alpha \alpha _{1}-\beta \beta _{1})^{2}+(\alpha \beta _{1}+\alpha _{1}\beta )^{2}\end{cases}}$ .
Bachet ajoute que, toutefois, les deux carrés composant chaque hypoténuse doivent être inégaux, et qu’il ne doit pas y avoir de proportion entre les quatre.
4º Comme maintenant, si un nombre est décomposé en deux carrés (soit p² et q²), on en déduit qu’il est l’hypoténuse d’un triangle rectangle en nombres, car
$\scriptstyle (p^{2}+q^{2})^{2}=(p^{2}-q^{2})^{2}+(2pq)^{2}$ ,on aura ainsi le moyen de construire deux nouveaux triangles rectangles ayant cc₁ pour hypoténuse, et le problème sera résolu, sous la reserve que les opérations ne seront pas illusoires, comme cela arriverait si, dans la double décomposition (2), on tombait sur une somme de deux carrés égaux ; on doit en conséquence exclure le cas où $\scriptstyle {\frac {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}={\frac {\alpha +\beta }{\alpha -\beta }}$ .
5º Bachet indique les corrections qu’il a apportées au texte grec.
6º II montre comment le procédé de Diophante peut être généralisé, en prenant deux nombres sommes de deux plans semblables ; le produit de ces nombres peut en effet, s’il n’y a pas proportion entre les composants, être divisé en deux carrés de quatre manières différentes.
Enfin, il soulève la question que Fermat a complètement résolue dans son observation, à savoir de trouver un nombre décomposable en deux carrés de tant de manières que l’on voudra. Si, dit-il, on multiplie un nombre qui est 1 fois seulement somme de deux carrés par un nombre jouissant de la même propriété, le produit sera somme de deux carrés 2 fois seulement. Un tel nombre, multiplié par un autre décomposable 1 seule fois, donnera un produit décomposable 3 ou 4 fois seulement (3 fois si le multiplicateur a un facteur commun avec le multiplicande, 4 fois dans le cas contraire). Un nonmbre décomposable 3 fois seulement, multiplie par un qui ne l’est que 1 fois seulement, donnera (en excluant le cas de facteurs communs) un produit décomposable 6 fois seulement.
On peut continuer ainsi indéfiniment : Un nombre décomposable 4 fois et un qui l’est 1 fois, ou bien deux décomposables 2 fois seulement donneront un produit 8 fois décomposable. Un nombre 6 fois décomposable par un 2 fois décomposable donnera un produit 24 fois décomposable. Bachet donne des exemples sans démonstration.

[p296n1-4] ,^b^et^c Lisez « quaternarii multiplicem ».

[5] Dans l’édition de Samuel Fermat, le texte de cet alinéa se trouve apres celui des trois suivants.

[6] Viète avait déjà traité comme Bachet les trois questions sur lesquelles portent cette observation de Fermat et la suivante. Voir Zetetic. IV, 18, 19, 20 (pages 74-75 de l’édition de Schooten).

[7] Voir l’observation suivante.

[8] Voir Observation XII. Soit à résoudre ${\frac {x^{3}+y^{3}}{x+y}}=a$
le procédé de Bachet revient a éliminer y en posant x+y=z. On a alors
$3x^{2}-3xz+z^{2}=a,$
équation qui se traite facilement par les méthodes de Diophante, si a est carre ou triple d'un carré.

[9] Diophante (V, 3) a donné une solution de ce problème dans le cas général où le nombre à ajouter (ici l'unité) est quelconque.

[10] La solution ἐν ἀορίστῳ de Diophante peut être représentée par les trois nombres m²N + 2m, N, (m+1)²N +2 (m+1).

[11] Fermat donne de ce problème une solution différente de celle de Diophante.

[12] Soient x1, x2, X3 les trois nombres cherches. La solution de Diophante revient à poser $x_{1}=1,\ x_{1}x_{2}x_{3}=x^{2}+2x,\ x_{1}x_{2}x_{3}+x_{2}=(x+m)^{2}\ ;$

d'où
$x_{2}=2(m-1)x+m^{2},\ et\ {\frac {x^{2}+2x}{2(m-1)x+m^{2}}}$
II reste ainsi à satisfaire à une dernière condition, à savoir que $x_{1}x_{2}x_{3}+x3$ soit carré. Le lemme employé par Diophante consiste de fait à déterminer m en sorte que x_3 soit linéaire en x, c'est-à-dire à satisfaire à la relation
$2(m-1)={\frac {1}{2}}m^{2}\ ;$

d'où
$m=2\ et\ x_{2}={\frac {1}{2}}x,\ avec\ x_{2}=2x+4,$

et enfin
$x_{1}x_{2}x_{3}+x_{3}=x^{2}+{\frac {5}{2}}x,$ expression qu'il est facile de rendre carrée. Il est aisé de voir que la solution de Fermat est au fond la même ; car on la retrouve, si l'on change x en N - 2.

[13] L'emploi de la double équation tait indiqué par Bachet, d'apres la marche suivie par Diophante lui-même dans le problème suivant, qui ne diffère de celui-ci que parce que chacun des nombres cherchés doit être non pas ajouté, mais retranché du produit des trois, pour former les expressions à égaler à des carrés. Ici Bachet posait de fait $x_{1}=x,\ x_{2}=1,\ x_{3}=x-1,$

et il ramenait le problème à la double équation
$x^{2}-x+1=\alpha ^{2},\ x^{2}-1=\beta ^{2}.$

[14] Ce problème, comme le remarque Bachet, se ramene facilement a d6composer un nombre donn6 en quatre carres, question que Diophante n'a soumise a aucune règle, mais qu'il semble considerer comme toujours possible. Bachet affirme qu'en effet tout nombre entier doit être ou carré ou somme de 2, 3, ou 4 carrés entiers; il n'en a pas la démonstration, mais il s'en réfère à l'induction, donne le Tableau de la composition pour tous les nombres de 1 à 120, et ajoute qu'il a poussé l'expérience jusqu'a 325.

[15] La solution de Fermat, fondée sur une identité facile à reconnaître, est essentiellement différente de celle de Diophante.

[16] La solution de Diophante, avec les g6neralisations de Bachet, peut se representer comme suit. Soient x1, x2, X3 les trois nombres cherch6s. Posons X;1 + X2 ~ X3 =;X2 et 2(X + 1) B2 (3 XI - _ - X2 x3 X2 X' X2 il vient X- 2, -+ - q- Y3 Posons maintenant on a Z( 2 2- Z - d'ou l'on posera (2 +- I)2 ou I6Z2x2 â 82 -8 Y3 i =I- (4zX - )2 et 834-; 8^31 82-I 8z3 Mais il faut que x soit entier et, par consequent, que 8z --- 5 - ) le soit. Si l'on prend 8 =, comme la fait Diophante, et commo Bachet l'a cru n6cessaire, on peut prendre tout a fait arbitrairement les entiers z et y. Fermat prend z =, comme l'avait fait Diophante; il fait d'ailleurs, dans l'exemple qu'il choisit, Y=7, g=3.

[17] Page 110. - Soient xi, x2, X3, x. les quatre nombres cherchés, et a le nombre donné. La solution de Bachet revient à poser t2- a 2 - a X - x =, x3= 2(X + X2) - ( -- ), ce qui satisfait aux conditions pour trois nombres. Si, pour le quatrième, on pose x₄ = v – u,
on n'aura évidemment qu'à satisfaire en outre à la condition bien facile que
x₃x₄ – a ou (v – u)² – 3a
soit un carré indéterminé. Bachet l'a résolue, en fait, de deux façons différentes : 1° par rapport à v – u, en se donnant u ; 2° par rapport a u, en se donnant v – u, qu'il suppose inutilement devoir être un carré.

[18] Dans l'Observation XVI, Fermat a donné une solution pour le cas où le nombre à ajouter est l'unité.

[19] J. de Billy (Doctrinae analyticae inventum novumn, I, 38, p. 11): « Diophantus L. V, q. 8 tradit artem inveniendi tria triangula rectangula quwe sint æqualia quoad aream. Qui vero plura ab ipso expetet, nunquam obtinebit; praterea nunquam tradidit Diophantus methodum inveniendi triangulum dato triangulo æquale quoad aream. Fermatius utrumque mox atque eadem operatione præstabit. » « Sit verbi gratia inveniendum triangulum cujus area sit 6, qualis est area trianguli rectanguli 3.4.5. » « Esto unum latus cujuspiam trianguli rectanguli 3, et aliud latus sit iN + 4. Horum quadrata simul sumpta exhibent 25 + IQ + 8N
pro quadrato hypotenuse: quare iste numerus æquatur quadrato.
» Deinde area istius trianguli, 3 N 4- 6, debet esse sextupla alicujus quadrati (quia postulatur areamn esse 6): ergo ejus area sextans quadratus est, ac proinde ille ducttus in 36 efficiet quadratum. Efficit autem
9N + 36:
igitur hic numerus æquandus est quadrato. « En igitur duos terminos duplicatme equalitatis:
9N- 36 et 25 - IQ -- +8N.
In his autem unitatum numerus quadratus est: ergo valor radicis facile reperietur, eritque 60 530 4oo 21 650 409g ac proinde a 896 804 iN -â 4 erit 96 8 2 405 6oi Aliud autem latus circa rectum est 3. Igitur horum quadrata simul sumpta faciunt quadratum cujus latus 7 776 485 2 405 60o erit hypotenusa. Ergo habes triangulum rectangulum 7 776 485 2 896 So4 2 405 601 2 405 60 cujus area est sextupla cujuspiam quadrati, nempe 724 2o0 2 405 601o

[20] La question V; 9 de Diophante se r6sout en effet par une application immediate de la solution du probleme pr6c6dent. Soient al, a2,..., a, les hypotenuses de a triangles rectangles ayant une m6me aire A, comme a+, 4A est carre, les nombres 4A satisferont a la question pos6e par Fermat.

[21] Le texte grec correspondant à ce passage incompréhensible de la version latine est le suivant dans l'édition de Bachet (leçon du manuscrit fonds grec n° 2379 de la Bibliothèque Nationale) :
[J'T~ 6 St ),CG's%, v cU'ro (i [p ~. U4lOVa LIOt [ [lS.O-; 0. r; Tr'1T'!,x O zoU.~0'.;'",
et, d'après Bachet, dans un Vaticanus græcus (probablement le n° 304) :
SJLTv 6 O:r),Ca(.'ov c'rTO jOp.0I.Jv [lovOcc a. uai(ova 1^/. [lipo, Trapcrv,i][jJS1 zpCt. O7 5U70 TOU 0'oapi t0oUO.
Ces deux leçons reviennent à la même, et tous les manuscrits connus de Diophante sont corrompus de la même façon.

[22] Il est aisé de voir que la solution particulière donnée par Diophante ne peut être obtenue avec les positions de Fermat, et l’on a dès lors le droit de répéter avec Bachet : « Quamobrem casu factum videtur ut sumpserit autor 2¼, quo de 3 sublato relinquitur ¾ ex tribus cubis compositus. »

[23] Voir Observation VIII.

[24] Il s’agit de trouver trois triangles rectangles en nombres $(a_{1}b_{1},c_{1}),(a_{2},b_{2},c_{2}),(a_{3},b_{3},c_{3})$ tels que l’on ait, $a_{1},a_{2},a_{3}$ étant les hypoténuses, ${\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{c_{1}c_{2}c_{3}}}$ dans un rapport carré.

Prenant arbitrairement le triangle $(a_{1},b_{1},c_{1})$ , soit (5, 4, 3) dans l’exemple choisi, Bachet forme les triangles suivants, respectivement des nombres $a_{1},b_{1}$ et $a_{1},c_{1}$ , c’est-à-dire il pose de fait :

$a_{2}=a_{1}^{2}+b_{1}^{2},$ $b_{2}=a_{1}^{2}-b_{1}^{2}=c_{1}^{2},$ $c_{2}=2a_{1}b_{1},$

$a_{3}=a_{1}^{2}+c_{1}^{2},$ $b_{3}=a_{1}^{2}-c_{1}^{2}=b_{1}^{2},$ $c_{3}=2a_{1}c_{1},$

${\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{c_{1}c_{2}c_{3}}}$ = $\left({\frac {b_{1}}{2a_{1}}}\right)^{2}$ .

Les deux triangles ainsi construits sont (41, 9, 40) et (34, 16, 30). Au lieu du second, il prend le semblable (17, 8, 15), le rapport restant le meme.

[25] Entendez duodecupla, et à la ligne suivante : Si autem duodecupla, et tripla.

[26] Les triangles de Diophante ou de Bachet s'obtiennent par la seconde solution de Fermat, c'est-a-dire avec les couples generateurs 5, 4 et 4, i. Diophante avait probablement traite, dans un problème perdu, la construction de deux triangles rectangles dont l'aire soit dans un rapport donné.

[27] Voir Observation XXIII.

[p371-28] Bachet se propose de trouver trois triangles rectangles $(a_{1},b_{1},c_{1}),(a_{2},b_{2},c_{2}),(a_{3},b_{3},c_{3})$ tels que le rapport ${\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{c_{1}c_{2}c_{3}}}$ soit carré. À cet effet, il prend arbitrairement le premier triangle, en sorte toutefois que $2c_{1}>b_{1}$ ; il forme le second un posant

$a_{2}={\frac {4c_{1}^{2}+b_{1}^{2}}{b_{1}}},$ $b_{2}={\frac {4c_{1}^{2}-b_{1}^{2}}{b_{1}}},$ $c_{2}=4c_{1},$

et le troisième en prenant

$a_{3}=a_{1}a_{2},$ $b_{3}=b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1},$ $c_{3}=c_{1}c_{2}-b_{1}b_{2}.$

On a alors, d’une part,

$a_{1}a_{2}a_{3}=(a_{1}a_{2})^{2}$ ;

de l’autre,

$c_{1}c_{2}c_{3}=(2b_{1}c_{1})^{2}$ ;

Fermat a bien reconnu que Diophante, se donnant arbitrairement, par exemple, le troisième triangle (5, 3, 4), cherche les deux autres en sorte que ${\frac {a_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}}$ , soit dans un rapport donné, à savoir 5. Mais il n’a pas deviné le procédé de l’auteur grec, qui a été restitué par Otto Schulz (Diophantus von Alexandria arithmetische Aufgaben nebst dessen Schrift über die Polygon-Zahlen, au dem Grieschischen übersetzt und mit Anmerkungen begleitet. Berlin, 1822, p. 546-551) d’après le texte donné par Bachet.
Diophante prend d’abord deux triangles auxiliaires $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$ , tels que $\beta _{1}\gamma _{1}$ soit à $\beta _{2}\gamma _{2}$ , dans le rapport donné. Ces deux triangles, obtenus comme dans le problème précédent V, 24, sont d’ailleurs (13, 12, 5) et (5, 4, 3).
D’autre part, ayant un triangle ( $\alpha ,\beta ,\gamma$ ), Diophante sait construire un triangle $a,b,c$ tel que $ac={\frac {\beta \gamma }{2}}$ . Il prend à cet effet

$a={\frac {1}{2}}\alpha ,$ $b={\frac {\beta _{2}-\gamma _{2}}{2\alpha }},$ $c={\frac {\beta \gamma }{\alpha }}.$

Du triangle (13, 12, 5) il déduit de cette façon le triangle $\left(6{\frac {1}{2}},{\frac {119}{26}},{\frac {60}{13}}\right)$ , et du triangle (5, 4, 3), le triangle $\left(2{\frac {1}{2}},{\frac {7}{10}},{\frac {12}{5}}\right)$ . Les deux triangles ainsi formés satisfont évidemment à la condition imposée.
Pour achever le problème primitif, Diophante prend pour les trois carrés cherchés

$\left({\frac {c_{1}}{a_{1}}}x\right)^{2}$ , $\left({\frac {c_{2}}{a_{2}}}x\right)^{2}$ , $\left({\frac {c_{3}}{a_{3}}}x\right)^{2}$ ,

c’est-à-dire

${\frac {14400}{28561}}x^{2}$ , ${\frac {576}{625}}x^{2}$ , ${\frac {16}{25}}x^{2}$

et, égalant leur produit à $x^{2}$ , il tire pour $x$ la valeur ${\frac {65}{48}}$ .

[29] On voit qu'au lieu de determiner B et D en sorte que -BD soit carre, Fermat qu - '2D zD, -- B3 va les chercher, par erreur, en sorte que D â B soit carre. Plus loin, apres avoir 2B - l) reconnu la faute de calcul qu'il a commise, il laisse subsister sa solution comme s'appliquant en tout cas a un probleme digne d'int6ert.

[30] Ces nombres sont ceux de Diophante. Les racines de ces carrés peuvent se représenter en général par 7r(z2 + a) pz r(z2+ a)_ qz 4pz P' 4qz r en supposant p2 + q2= r2. Diophante a pris en fait, pour a = 5, z = 3, p = 4, q - 3,,~ _r.

[31] Viète, Zeteticum V, 9 (édition Schooten, p. 79): Invenire numero triangulum rectangulum, cujus area adjuncta dato piano ex duobus quadratis composito, conficiat quadratum. Sit datum planum Z, planum compositum ex B quadrato et D quadrato. Effingatur triangulum rectangulum abs quadrato adgrcgali laterum B, D, et quadrato differentie eorumden. Hypotenusa igitur similis erit B quad. quad. 2 -+ B quad. in D quad. 12 - D quad. quad. 2. Basis B in D in Z planum 8. Perpendiculum B + D quadrato in B - D quadratum 2. Adplic ntur omnia ad B 1-+ D in B - D quad. 2, fiet area similis Z pano in B in D. Adde Z plaB_ - U quad. num; quoniam JB - D quad. -4- B in D2, xquatur B quadrato + D quadrato, id est equaZ planoplanurll Z plani tur Z piano, summna erit Z pla-n quadratum a radice Z pl B - U quad. B- D Sit Z planum 5, Di, B2. Triangulum rectangulum erit hujusmodi: â i - - rea i es. Ade 5 S a fit 5, radix et 5. 720 Area , id est:zo. Adde 5. Summa fit a25, cujus radix est 5 -

[32] La methode de Diophante peut se repr6senter comme suit: soient a le nombre donn6, et X2J2 X ) (X 2 2y' xa-4- ) y, x-*^ y, y le triangle cherche, on devra rendre carr6 (x2- )y-1 a-. En egalant cette expression?.2 a a x -- )2, on arrive a tirer rationnellement, en fonction d'arbitraires m et I/, a(4 a2'nm - j) -- /12 ax x == -â, ---- et r -- 4 ar/i 2 za x -t- i

[33] DIOPHANTE. VI, 4: IwenZire triatzulum rectanczgtnm ut arece numzerus nzultatuts dato znumero faciat quadratutm. DIOPHANTE, VI, 5: Invemire trian nzltm rectangulhum ut aunmerzu arece detractus a dato itunero faciat quadratnum. La m6thode de Diophante, pour ces deux problemes, est analogue a celle qu'il a suivie pour VI, 3.

[34] De fait, ces nombres reviennent a ceux de Viete. Comparez au reste JACQUES DEI BILLY (Doctrinac analyticce inventaum inovun, I, 37, p. Jo): ( Vieta, L. V Zetet. 9, infeliciter solvit quæstionem tertiamlibri sexti Diophanti; quum enim iste proponat invenire triangulum rectangulum cujus area assumens datum numerum faciat quadratum, coarctavit Vieta qumstionem ad datum numerum ex duobus quadratis compositum. At Fermatius innumeris modis solvit problema de dato quocumque numero: si enim detur 3, numeri sequentes exhibent triangulum quæsitum: 1 44I 889 i 397 825 34 416 i6o' 46 i6o' 40

[35] Soit a le nombre donné; la solution de Diophante revient à prendre, pour le triangle, ${\frac {a^{2}+1}{a+1}},a-1,{\frac {2a+1}{a+1}}$ L'aire, plus le dernier côté, est identiquement a.
La solution de Fermat est pr6ecis6ment la meme; seulement il la pose directement, au lieu de suivre les longs d6tours de Diophante, qui masquent la construction effective du triangle.

[36] Cette solution est encore, de fait, la même que celle de Diophante, comme pour le problème précédent.

[37] II faut entendre ici h la fois les problemes VI, 6 et 7 de Diophante.

[38] VI, 8: I/wvenire trianguluinz rectalinglaum ut area, acldsacnes utrulmque latermaz circa rectum, faciat datum zminmerum. VI, 9: I/lcenire tria/nglzdum rectanzgzlutn, uzt numeruts arece, m7ltatts sizmmnd latereri circa recctunm, faciat datum nuzmeletumzz. VI, Io: Iovenzire trian-lbutm rectanOgultnm lzt arece nulmerul, aclsuzitmenl s.umiram hIjypotenus.c et alteriu.s laterwmz circa rectium, faciat clatum wnuzerunm. VI, 1: Invenire triangulum rectanlium lit numerus arece, multatus stnTmd hypotenusce et alterius lateruzm circa rectlun, faciat datltm nzumerunm. Pour tous ces problemes, comme pour les deux précédents, Diophante arrive à une double equation, dont son procédé ne tire qu'une solution unique.

[39] Voir les Observations XXXVII, XXXVIII, XL, XLI.

[40] Dans son commentaire sur VI, i, Bachet avait traité la question: Invenire triazngulum rectangulum tit area, dcetractd hypotenusca, faciat datlumi numerum.

[41] Cette condition est empruntee au texte latin du probleme. Le proced6 do Diophante revient en effet h prendre comme triangle cherche: cz, bz, c.; puis ' poser (supposant b 1b > c) z = ---- II arrive ainsi a avoir a rendre carre 2 -bcx2- b(b- c)b =- y2. Or, si le triangle (a, b, c) est tel que b -+- b(b - c) p, Diophante sait construire une infinit6 de valeurs de x -- done de z. ais q2- be tous les triangles ainsi obtenus sent semblables; Fermat cherche done a determiner un autre triangle (a, b, c) que celui trouv6 par Diophante (5, 4, 3).

[42] D'après cette méthode (p. 321), si l'on a une solution x₁, y₁ de l'équation indéterminée x²+a = y³et que l'on pose x = x₁ - z, y = y₁ - 2x₁/3y₁²on peut tirer z rationnel: $z={\frac {36x_{1}^{2}-27y_{1}^{3}}{8x_{1}^{3}}}$

[43] D'apres les procedes de Diophante, cette solution s'obtient comme suit: Soit la double 6quation atx2 - bx -- c2 = â lt- X2 x- b'x -- c2 = p2, on en conclut ( - a' )x2 --- (b - b')x = t12 -v2 On satisfera a cette relation en posant a -â a' b-b 2 c -â t- ' X +2 C = +, ---- x = It- V. 2elb' ~2C t~,' 2C De ces deux equations on tirera la valeur de u ou de v, et, en substituant dans une des deux premieres, on obtiendra pour x une valeur rationnelle determinee.

[44] Voir Observation XXIII. Fermat renvoie d'ailleurs a la pr6sente Observation XLIII dans les suivantes: VI, XVI, XXII, XXXI.

[45] BILLY (Doctrinæ analyticæ inventum novum, I, 25, p. 7): Quæratur, verbi gratia, triangulum rectangulum cujus tam hypotenusa quam summa laterum circa rectum sit numerus quadratus. Formetur triangulum ab obviis numeris i N I et I N; ergo tria latera erunt: 2Q + I + 2N, i -- 2N, 2N - 2Q. Igitur hypotenusa, 2Q - 1 +- 2N, et summa laterum circa rectum, aQ + I + 4N, æquantur quadrato, et fit, per methodum conmmunem, valor radicis - --, unde duo numeri, a quibus formatum est triangulum, erunt -5/7 et -12/7, seu in integris, accipiendo solos numeratores -5, -12. Triangulum autem inde formatum est: 169, 119, 120. Unde infero ad solutionem problematis inveniendum esse aliquod triangulum rectangulum cujus hypotenusa sit quadratus, et differentia laterum circa rectum sit quadratus, atque hæc conclusio elicitur vi analyseos priecedentis; istud autem triangulum est I69, 119, 120, quod formatur vel ab - 5 et - 2, vel a -- 5 et -- 2. Quare itero operationem et formo triangulum qulesitum ab iN - -5 et I2, et pervenio tandem ad mequalitatern duplicatam quæ non dabit amplius numeros fictos, sed veros, beneficio trianguli illius primitivi, ut distinctius videbitur infra num. 45.... (Ibid. 45, p. I3): Iizceni.e cduos nuneros qluoluitl suzmma faciat qlualdlatttu et quorumL quadrata sinzl juncta facia/ t quad/ratoquadlratum. Istud problema idem plane est cum superiori quo quærebatur triangulum rectangulum cujus hypotenusa et summa laterum sit quadratus, aliasque fuit propositum plerisque doctissimis Mathematicis a Fermatio nostro sine solutione. Utere igitur triangulo primitivo supra invento (num. 25) 1i69 g, 19, Io, quod formatur ab 5 et I2, et forma triangulum ab N -+ 5 et 12. Latera erunt: Q -- I69 -- ioN, iQ - [19 +- oN 24N+ I20. Igitur hypotenusa, iQ + I69 +- toN, et summa laterum circa rectum, -+- Q -4- 34N, equantur quadrato; due summam istam laterum in I69; ergo productus, 169Q â 5746N -- 69, cum hypotenusa, IQ 4-+ 69 - ioN, æquantur quadratis. Ergo (per ca quæ dicta sunt.o48o75 num. 22) valor radicis est " 8 I7 et, juxta positiones, duo numeri a quibus nascetur 20566 triangulum qusesitum, 4687 298610o 89, 4565486027 761, i o6 652 293 520. Nam et hypotenusa est quadratus et summa laterum, et quadrata laterum æquantur quadrato hypotenusm; proindeque duo latera circa rectum sunt duo numeri quæsiti, turn quia illorum summa quadratus est, turn quia horum quadrata simul junclta faciunt quadratoquadratum.... (Ibid., 22, p. 7): Iterum sit solvenda aqualitas duplicata: 69Q 4- 5746N -- 169, et i Q +ioNn tl69. Tripliciter ista wequalitas solvi potest: Priino accipiendo differentiam terminorum illorum, quæ est i68Q 4-5736N, et eligendo duos producentes in quorum uno sit 26, duplum videlicet lateris quadrati I69; atque hæc est methodus communis. Secundo, solvi potest revocando diversos quadratorum numeros ad e.umdem, quod fieret ducendo singulas particulas numeri posterioris in I69, ut explicatum est num. 4. Tertio, T 868 solvetur eadem equalitas eligendo producentes i4N et i2N +- --; ita enim summa radicum erit 26N, duplum lateris quadrati I69Q; atque hæc est methodus Fermatiana qua? 2048075 dat pro valore radicis ao- 07 2o266 La premiere methode indiquee par Jacques de Billy donnerait la valeur / 694 65o 324oo5465o' la seconzde est illusoire, car elle donne pour valeur zero.

[46] Viète (In artern analyticen Isagoge, cap. I, 6d. Schooten, p. i, 1. 23-25): Forma autem Zetesin ineundi ex arte propria est, non jam in numeris suain Logicamn exercente, quæ fitt oscitanttia veterumn Azalystarum,

[47] Voir Observation IX.

[48] Ce fragment est tire du preambule du Doctrince analyticce invenitum nœmrn de Jacques de Billy (p. a), ou il suit le passage ci-apres: ( Quis ex primitivis radicibus elicuit derivativas, turn primi gradus, turn secundi, turn tertii et sic deinceps in infinitum? nemo plane: uni Fermatio debetur hoc inventum; unus ille hæc omnia non ex alienis cumulavit operibus, quod rhapsodi quidam facere consueverunt, sed proprio marte cudit et ex suis ipse fontibus hausit: hoc ille quum mihi amicissime communicasset per literas, judicavi dignissimum quod typis mandaretur, et ne ab ejus mente ullatenus recedam, exscribendum mihi videtur in primis compendium quoddam totius methodi, cui nomen debit Appenclicis acl dissertationzem Claudii Gasparis Bacheti de duplicatis apud Diophanztum cequalitatibus. En ipsissima illius verba.,

[49] Pages 332-333 de l'edition de Samuel Fermat. ( Sextus modus est quando propositi numeri diversimode componuntur ex Quadratis, Numeris et Unitatibus,....,) Primo ergo accidit utrumque propositorum numerorum componi ex tribus speciebus supra dictis et eorum intervallum unica tantum constare specie...., Secundo accidit utrumque propositorum numerorum ex duabus componi speciebus, alterum scilicet ex Quadratis et Unitatibus, alterum ex Numeris et Unitatibus, intervallum autem illorum constare ex Quadratis et Numeris.... ) Tertio accidit alterum propositorunumumerorum componi ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, alterum ex Quadratis et Numeris.... ) Quarto accidit alterurn propositorum numerorum componi ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, alterum ex Quadratis et Unitatibus...., Quinto denique accidit alterum propositorum numerorum componi ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, alterum vero ex Numeris et Unitatibus....

[50] Billy ajoute: « Hactenus Fermatius ». Les différences, pour cet alinéa, entre le texte de l' Observatio publié par Samuel Fermat (S) et le texte de l' Inventum novum (B) sont les suivantes: P. 337, l. 12 notâ defectûs insignitur S habet notam defectûs B; 13. intelligitur S deprehenditur B; 14, ut loquitur Vieta S ut verbis Vietae utar B.

[51] Fermat a voulu généraliser, pour les différentes sortes de nombres polygones, la notion de cube (produit par z du carré de côté n), et il a appelé colonne le produit par n du polygone de côté n. Cette expression technique, qu'il semble avoir forgée lui-même est généralement restée incomprise.

[52] Idyl. 16.

[53] Illustrissimi Principis tessera suaviter et fortifer.

[54] Natus est Illustris. Princeps in ea Germaniæ parte in qua cæsæ fuerunt Quinctilii Vari Legiones.

[55] Voir la note I de la page 171, où est retablie la veritable date de la mention faite par Herigone.

[56] Ce mot figuræ, qui rend la phrase incorrecte, doit y avoir été ajouté après coup. Dans l'edition des Varia opera, les figures sont insér"es dans le texte jusqu'a la page 103. Il y a à la fin du Volume cinq Planches contenant les figures des pages 104 à 167, plus une qui manque à la page 91. Pages 201 et 2o3, reparaissent dans le texte trois autres figures relativement simples.

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