Œuvres mathématiques/2

Évariste Galois

Œuvres mathématiques

Gauthier-Villars, 1897 (p. 9-10).

NOTES
sur
QUELQUES POINTS D’ANALYSE (^[1]).

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§ I. — Démonstration d’un théorème d’Analyse.

Théorème. — Soient $\textstyle \operatorname {F} x$ et $\textstyle \operatorname {f} x$ deux fonctions quelconques données ; on aura, quels que soient $x$ et $h$,

${\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=\varphi (k),$

$\varphi$ étant une fonction déterminée, et $k$ une quantité intermédiaire entre $x$ et $x+h$.

Démonstration. — Posons, en effet,

${\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=\mathrm {P} ;$

on en déduira

$\operatorname {F} (x+h)-\mathrm {P} \operatorname {f} (x+h)=\operatorname {F} x-\mathrm {P} \operatorname {f} x;$

d’où l’on voit que la fonction $\operatorname {F} x-\mathrm {P} \operatorname {f} x$ ne change pas quand on y change $x$ en $x+h$ ; d’où il suit qu’à moins qu’elle ne reste constante entre ces limites, ce qui ne pourrait avoir lieu que dans des cas particuliers, cette fonction aura, entre $x$ et $x+h$, un ou plusieurs maxima et minima. Soit $k$ la valeur de $x$ répondant à l’un d’eux ; on aura évidemment $k=\psi (\mathrm {P} )$, $\psi$ étant une fonction déterminée ; donc on doit avoir aussi $\mathrm {P} =\varphi (k)$, $\varphi$ étant une autre fonction également déterminée ; ce qui démontre le théorème.

De là on peut conclure, comme corollaire, que la quantité

$\operatorname {lim.} {\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=\varphi (x),$

pour $h=0$, est nécessairement une fonction de $x$, ce qui démontre, a priori, l’existence des fonctions dérivées.

§ II. — Rayon de courbure des courbes de l’espace.

Le rayon de courbure d’une courbe en l’un quelconque de ses points $\mathrm {M}$ est la perpendiculaire abaissée de ce point sur l’intersection du plan normal au point $\mathrm {M}$ avec le plan normal consécutif, comme il est aisé de s’en assurer par des considérations géométriques.

Cela posé, soit $(x,y,z)$ un point de la courbe ; on sait que le plan normal en ce point aura pour équation

(N)	$(\mathrm {X} -x){\frac {dx}{ds}}+(\mathrm {Y} -y){\frac {dy}{ds}}+(\mathrm {Z} -z){\frac {dz}{ds}}=0,$

$\mathrm {X,Y,Z}$ étant les symboles des coordonnées courantes. L’intersection de ce plan normal avec le plan normal consécutif sera donnée par le système de cette équation et de la suivante

(I)	$(\mathrm {X} -x){\frac {d.\left({\cfrac {dx}{ds}}\right)}{ds}}+(\mathrm {Y} -y){\frac {d.\left({\cfrac {dy}{ds}}\right)}{ds}}+(\mathrm {Z} -z){\frac {d.\left({\cfrac {dz}{ds}}\right)}{ds}}=1,$

attendu que

$\left({\frac {dx}{ds}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{ds}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{ds}}\right)^{2}=1.$

Or, il est aisé de voir que le plan (I) est perpendiculaire au plan (N), car on a

${\frac {dx}{ds}}d.\left({\frac {dx}{ds}}\right)+{\frac {dy}{ds}}d.\left({\frac {dy}{ds}}\right)+{\frac {dz}{ds}}d.\left({\frac {dz}{ds}}\right)=0;$

donc la perpendiculaire abaissée du point $(x,y,z)$ sur l’intersection des deux plans (N) et (I) n’est autre chose que la perpendiculaire abaissée du même point sur le plan (I). Le rayon de courbure est donc la perpendiculaire abaissée du point $(x,y,z)$ sur le plan (I). Cette considération donne, très simplement, les théorèmes connus sur les rayons de courbure des courbes dans l’espace.

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1. Annales de Mathématiques de M. Gergonne, tome XXI, page 182 (1830-1831). C’est par suite d’une faute d’impression qu’on y lit : Galais, élève à l’École normale, au lieu de Galois. (J. Liouville.)