Œuvres mathématiques/3

La bibliothèque libre.
Gauthier-Villars (p. 11-12).

ANALYSE
d’un
MÉMOIRE SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS[1].


On appelle équations non primitives les équations qui, étant, par exemple, du degré , se décomposent en facteurs du degré , au moyen d’une seule équation du degré . Ce sont les équations de M. Gauss. Les équations primitives sont celles qui ne jouissent pas d’une pareille simplification. Je suis, à l’égard des équations primitives, parvenu aux résultats suivants :

1o Pour qu’une équation de degré premier soit résoluble par radicaux, il faut et il suffit que, deux quelconques de ses racines étant connues, les autres s’en déduisent rationnellement.

2o Pour qu’une équation primitive du degré soit résoluble par radicaux, il faut que , étant un nombre premier.

3o À part les cas mentionnés ci-dessous, pour qu’une équation primitive du degré soit résoluble par radicaux, il faut que, deux quelconques de ses racines étant connues, les autres s’en déduisent rationnellement.

À la règle précédente échappent les cas très particuliers qui suivent :

1o Le cas de  ;

2o Le cas de et généralement celui où, étant un diviseur de , on aurait premier, et


Ces cas s’écartent toutefois fort peu de la règle générale.

Quand , l’équation devra être du genre de celles qui déterminent la trisection et la quintisection des fonctions elliptiques.

Dans le second cas, il faudra toujours que, deux des racines étant connues, les autres s’en déduisent, du moins au moyen d’un nombre de radicaux, du degré , égal au nombre des diviseurs de , qui sont tels que

Toutes ces propositions ont été déduites de la théorie des permutations.

Voici d’autres résultats qui découlent de ma théorie.

1o Soit le module d’une fonction elliptique, un nombre premier donné > 3 ; pour que l’équation du degré , qui donne les divers modules des fonctions transformées relativement au nombre , soit résoluble par radicaux, il faut de deux choses l’une : ou bien qu’une des racines soit rationnellement connue, ou bien que toutes soient des fonctions rationnelles les unes des autres. Il ne s’agit ici, bien entendu, que des valeurs particulières du module . Il est évident que la chose n’a pas lieu en général. Cette règle n’a pas lieu pour .

2o Il est remarquable que l’équation modulaire générale du sixième degré, correspondant au nombre 5, peut s’abaisser à une du cinquième degré dont elle est la réduite. Au contraire, pour des degrés supérieurs, les équations modulaires ne peuvent s’abaisser ([2]).

  1. Bulletin des Sciences mathématiques de M. Férussac, t. XIII, p. 271 (année 1830, cahier d’avril). (J. Liouville.)
  2. Cette assertion n’est pas tout à fait exacte, comme Galois en avertit lui-même dans sa Lettre à M. Auguste Chevalier, qu’on trouve plus bas. Il dit en général, au sujet de l’article que nous reproduisons ici : « La condition que j’ai indiquée dans le Bulletin de Férussac, pour la solubilité par radicaux, est trop restreinte ; il y a peu d’exceptions, mais il y en a. » Quant aux équations modulaires en particulier, il déclare l’abaissement du degré au degré possible, non seulement pour , mais encore pour et  ; mais il en maintient l’impossibilité pour . (J. Liouville.)