L’Encyclopédie/1re édition/REBROUSSEMENT

d’Alembert

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1751 (Tome 13, p. 842).

REBROUSSEMENT, s. m. (Géometrie.) est la même chose que ce que l’on appelle en latin flexus contrarius, flexion contraire. On peut concevoir le rebroussement des courbes de la maniere suivante. Supposons une ligne courbe AFK, (Pl. géométr. fig. 82.) partie concave, & partie convexe, par rapport à la ligne droite AB, ou au point déterminé B. Le point F, qui sépare la partie concave de la courbe, de la convexe, ou qui termine l’une, & sert de commencement à l’autre, est appellé le point d’inflexion, lorsque la courbe est continuée du point F, vers le même endroit qu’auparavant. Quand elle retourne en arriere vers A, F est le point de rebroussement. Voyez Inflexion.

La regle pour trouver les points de rebroussement, est la même en général, que pour trouver les points d’inflexion ; c’est faire $\scriptstyle {\frac {ddy}{dx^{2}}}=0$, ou $\scriptstyle {\frac {ddy}{dx^{2}}}=$ à l’infini ; ce qui distingue d’ailleurs le point de rebroussement du point d’inflexion, c’est qu’au point d’inflexion l’ordonnée n’a qu’une seule valeur, à moins qu’elle ne soit tangente de la courbe ; au lieu qu’au point de rebroussement, elle en a deux, ou même davantage. Voyez le traité des courbes de M. Cramer, où vous trouverez sur cette matiere un plus grand détail.

Rebroussement de la seconde espece est un point A (fig. 7. Analys.), où les deux branches PM, pm, du rebroussement ne sont pas convexes l’une vers l’autre comme dans le rebroussement ordinaire, mais placées de maniere que la concavité de l’une regarde la convexité de l’autre. Soit une courbe qui ait pour équation $\scriptstyle \ y^{2}-2x^{2}y+x^{4}-n^{5}=0$. ($\scriptstyle \ AP=x,\,PM=y$). Cette courbe aura à son origine en A un point de rebroussement de la seconde espece ; car on aura $\scriptstyle \ y=x^{2}\pm {\sqrt {x^{5}}}$ ; d’où l’on voit 1°. que x positive donne deux valeurs de y, lesquelles lorsque x est infiniment petite, sont toutes deux positives : 2°. $\scriptstyle \ dy=2xdx\pm {\frac {5}{2}}x{\frac {2}{3}}dx$ ; d’où l’on voit que $\scriptstyle \ dy=0$ dans les deux branches, lorsque $\scriptstyle \ x=0$, & qu’ainsi les deux branches AM, Am, tournent toutes deux à leur origine leur convexité vers l’axe AP ; 3°. que x négative donne y imaginaire, & qu’ainsi la courbe n’a que les deux branches AM, Am, & par conséquent doit avoir en A un point de rebroussement de la seconde espece, puisque ces deux branches à l’origine A, tournent toutes deux leurs convexités vers le même côté. Voyez à ce sujet les recherches sur le calcul intégral, imprimées dans le second volume en françois des mém. de l’acad. des Sciences de Prusse.

Je suis le premier qui ait démontré invinciblement l’existence de ces points, que d’habiles géometres avoient attaquée, comme le savant M. Euler l’a reconnu dans les mém. de l’acad. de Berlin de 1750, pag. 112.