L’on vérifie analytiquement que si l’on a :
| ; |
ceci restera vrai lorsque b est remplacé par l’entier suivant (b + 1).
Donc de (2) l’on déduit :
| (3) | . |
De (3) l’on déduit :
| (4) |
et ainsi indéfiniment.
Donc :
| , |
quels que soient les entiers a et b et cela est démontré par une série de raisonnements disposés « en cascade ». — C’est ce que l’on appelle une démonstration par récurrence.
Nous devons conclure, avec M. Poincaré, que le raisonnement par récurrence est l’un des fondements de la mathématique.
Son caractère essentiel est de condenser une infinité de syllogismes et d’être irréductible au principe de contradiction.
Et c’est par là même qu’il est fécond. Là, et là seulement, se trouve l’explication de ce fait que la science mathématique progresse, conquiert, — est souverainement créatrice, bien loin de se réduire à une immense tautologie.
Le principe de contradiction ne suffirait donc absolument pas à fonder la science mathématique.
