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Donc, si on nomme $V \,\!$, $v \,\!$ les vitesses $AB \,\!$, $ab \,\!$; $U \,\!$, $n \,\!$ les vitesses des corps $A \,\!$, $a \,\!$ au second instant, c'est-à-dire les vitesses qu'ils ont au lieu de $AN \,\!$, $an \,\!$, on aura $A \cdot UU + a \cdot uu = \,\!$ $A \cdot AN^{2} + a \cdot an^{2} = \,\!$ $A (AB^{2} + 2 AD \times CA) + a (ab^{2} + 2 ad \cdot ca) = \,\!$ $A \cdot VV + a\cdot vv + 2 A \cdot AD \cdot CA + 2a \cdot ad \cdot ca \,\!$. Donc $A (UU - VV) + a (uu - vv)= \,\!$ $2 A \cdot AD \cdot CA + 2 a \cdot ad \cdot ca \,\!$, c'est-à-dire $2 AV dV + 2 av dv = \,\!$ $2 A \cdot AD \cdot CA + 2a \times ad \cdot ca \,\!$, ou (supposant $V = 0 \,\!$ & $v = 0 \,\!$ au commencement du mouvement) $AVV + avv = \,\!$ $\int 2A \cdot AD \cdot CA + \int 2a \cdot ad \cdot ca \,\!$. Mais si les corps $A \,\!$, $a \,\!$ se mouvoient librement sur les courbes $GA \,\!$, $ga \,\!$, il est clair que $\int 2A \times AD \cdot CA \,\!$ seroit l'effet de la force motrice de $A \,\!$ depuis $G \,\!$ jufqu'en $A \,\!$, & de même $\int 2a \cdot ad \cdot ca \,\!$ l'effet de la force motrice de $a \,\!$ depuis $g \,\!$ jufqu'en $a \,\!$. Donc &c.

Fig. 61

Si au commencement du mouvement, on avoit $V = B \,\!$, $v = b \,\!$, il est évident qu'on auroit alors $AVV + avv = \,\!$ $ABB + abb + \int 2A \cdot AD \cdot CA + \int 2a \cdot ad \cdot ca \,\!$.

On voit aisément que cette démonstration peut s'étendre à tel nombre de corps qu'on voudra; car tout ce qu'on y a supposé, c'est que si la vitesse ne varie qu'infiniment peu d'un instant à l'autre, & que les corps ne soient