Page:Alembert - Traité de dynamique (1758).djvu/79

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cet Ouvrage, que non-seulement ce prétendu principe est encore inutile dans ce cas, mais que l'application en est insuffisante & pourroit même être fautive.

Remarque II.

23. Il n'est pas inutile de remarquer que quand on a d'abord l'équation entre e \,\! & t \,\! en termes finis, & qu'on en tire par la différentiation à l'ordinaire l'équation dde = \varphi dt^{2} \,\!, la valeur de dde \,\! qu'on trouve par ce calcul est précisément celle de OE \,\!, véritable différence seconde de BD \,\!; on pourroit d'abord douter[1],

  1. ↑ Il suffit pour former ce doute de se rappeller le principe d'après

    lequel on trouve les différences secondes. Supposant AM = t \,\! (Pl. V. fig. 2) & MP = \,\! une fonction de t \,\! que je représente par \phi(t) \,\!; pour avoir ID \,\! on suppose que t \,\! devienne t + dt \,\!, & alors BD \,\! étant = \phi(t + dt) \,\!, on a ID = \phi(t + dt) - \phi(t) \,\! en négligeant les quantités infiniment petites du second ordre & des ordres ultérieurs. Ensuite pour avoir EO \,\! on suppose dans la valeur de ID \,\! que t \,\! devienne t + dt \,\!, & on néglige dans ce calcul les quantités infiniment petites du troisieme ordre & des ordres ultérieurs pour avoir la valeur de RE \,\!, ensorte qu'on prend pour dde \,\! la différence entre cette valeur de RE \,\!, & celle qu'on a trouvé pour ID \,\!. Mais il faut remarquer que puisque dans la valeur de ID \,\! on a négligé les quantités du second ordre, cette omission peut influer sur la différence cherchée des lignes ID \,\!, RE \,\!, laquelle différence est infiniment petite du second ordre, par conséquent on n'est en droit de conclure que OE \,\! est égal à la valeur de dde \,\!, qu'autant qu'on aura fait voir que l'omission dont il s'agit, ne produit dans le calcul qu'une erreur infiniment petite au-dessous du second ordre.

    Fig. V-2

    Pour y parvenir nous allons d'abord démontrer une proposition que notre Auteur a donnée dans ses recherches sur le systême du monde. Soit \phi(z + \xi) \,\! une fonction de z + \xi \,\!, \xi \,\! étant une quantité très-petite dont on suppose que z \,\! augmente, on aura. \phi(z + \xi) = \phi(z) + \xi \Delta(z) + \frac{\xi^{2} \Gamma(z)}{2} + \,\! &c. \Delta(z) \,\! étant le coefficient de dz \,\! dans la différentiation de \phi(z) \,\!, & \Gamma(z) \,\! celui de dz \,\! dans la différentiation de \Delta(z) \,\!. Car si on suppose \phi(z + \xi) = \phi(z) + u \,\! & qu'on différentie en supposant z \,\! constant (ce qui est permis ici, puisqu'on suppose que z \,\! ne croît actuellement que de la quantité \xi \,\!) on aura d\xi \Delta(z + \xi) = du \,\!; soit \Delta(z + \xi) = \Delta(z) + r \,\!, on aura d\xi \Gamma(z + \xi) = dr \,\!; soit \Gamma(z + \xi) = \Gamma(z) + s \,\!, on aura d\xi \Pi(z + \xi) = ds \,\!, donc en continuant de la même maniere, on aura \phi(z + \xi) = \phi(z) + \int d \xi \Delta(z) + \int d \xi \int d \xi \Gamma(z) + \int d \xi \int d \xi \int d \xi \Pi(z) \,\! &c. = \phi(z) + \xi \Delta(z) \frac{\xi^{2} \Gamma(z)}{2} + \frac{\xi^{3} \Pi(z)}{2 \cdot 3} + \,\! &c.

    Cela posé, MP \,\! étant = \phi(t) \,\! on a

    BD = \phi(t + dt) = \phi(t) + dt \Delta(t) + \frac{dt^{2} \Gamma(t)}{2} + \,\! &c.

    CE = \phi(t + 2dt) = \phi(t) + 2 dt \Delta(t) + 2 dt^{2} \Gamma(t) + \,\! &c.

    Donc ID = dt \Delta(t) + \frac{dt^{2} \Gamma(t)}{2} \,\!

    RE = dt \Delta(t) + \frac{3}{2} dt^{2} \Gamma(t) \,\!

    RE - ID \,\! ou -OE \,\! ou -dde = dt^{2} \Gamma(t) \,\!.

    Mais par les méthodes ordinaires du calcul différentiel, on auroit

    ID = dt \Delta(t) \,\!

    RE = dt \Delta(t + dt) = dt \Delta(t) + dt^{2} \Gamma(t) \,\!

    donc RE - ID \,\! ou -OE \,\! ou -dde = dt^{2} \Gamma(t) \,\!.

    Donc le dde \,\! que donne le calcul différentiel est en effet la vraie valeur de OE \,\!.


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