5^6 Correspondance.
tiendray a beaucoup d'heur, s'il vous plaifl de m'y receuoir pour tiers, car ie fuis,
Monfieur %
Voftre très humble & très acquis feruiteur, descartes. 5
D'Endegeefl, ce 2^ Mars 1642.
Dans sa Géométrie (Livre III, i" édit., p. 422 et suiv.), Descartes en- seigne à résoudre toutes les équations du sixième et du cinquième degré par l'intersection d'un cercle et d'une courbe du troisième degré. En thèse générale, il comprend dans un seul genre, le «""■% les courbes de degré 2« — I et 2«, et il entend' que les équations de ces deux degrés peuvent être géométriquement résolues par l'intersection d'un cercle et d'une courbe de degré «. Mais, lorsqu'il a dit à ce sujet (iè/<f., p. 323) : « il y a » reigle générale pour réduire au cube toutes les difficultés qui vont au » quarré de quarré, et au sursolide (J" degré) toutes celles qui vont au » quarré de cube (6' degré), de façon qu'on ne les doit point estimer plus » composées », on devait comprendre qu'il connaissait le moyen de ra- mener algébriquement la solution d'une équation du 6« degré à celle d'une équation du 5", de même que l'équation du 4» degré peut être ramenée au 3» degré. C'est bien ainsi notamment que l'entend Fermât {Œuvres de F., 1. 1, 1891, p. 1 19, note 2).
Dozem avait probablement demandé à Descartes le secret de cette ré- duction de l'équation du 6« degré qui, en réalité, est impossible. Descartes, occupé alors de tout autres ensées, et probablement mal servi par sa mémoire, lui répond sans examiner la question. Le procédé qu'il indique (décomposition du premier membre de l'équation en la différence des carrés d'un polynôme du 3" degré et d'un polynôme du 2) est analogue à celui dont Ferrari s'était servi pour l'équation du 4' degré, mais est inap- plicable aux degrés supérieurs.
Dozem semble, d'un autre côté,avoir cherché à calculer, pour l'équation du cinquième degré à coefficierrts entiers, les racines binômes (c'est-à-dire de la forme a -f l^b). Il était ramené à la recherche des solutions raiio- nelles d'une équation du te" degré, ce qui dénote, de sa part, une certaine habileté de calcul. Descartes paraît avoir pensé, par analogie, que la même question, pour le 6" degré, devait mener à une équation du 12' degré (en réalité, elle serait du i5*degré).La question qu'il pose, au sujet des racines en surnombre des équations auxiliaires, semble également prouver qu'il n'a nullement cherché à éclaircir lui-même la matière.
a. Lignes 3 à 6, de la main de Leibniz.
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