Or le problème qui est traité par Descartes dans la présente lettre à Carcavi, et qui reparait dans les lettres ci-après DLXIII et DLXV, revient précisément à celui qu’il avait posé dans la lettre (perdue, à Fermat.
On pi-ut inférer de là avec quelque probabilité que Fermat reçut, par Carcavi, communication de la lettre de Descartes du i8 décembre 1648; qu’il écrivit à ce sujet à Descartes, sans lui donner pleine satisfaction, mais en lui montrant qu’il possédait réellement une méthode complète (d’ailleurs essentiellement différente de celle du philosophe,. Descartes, pour éprouver cette méthode, aura écrit à Fermat en lui demandant de l’appliquer au problème ci-dessus énoncé; mais Fermat, peu désireux de recommencer à lutter avec ce redoutable adversaire, se sera excusé ou aura brisé là.
D’autre part, Carcavi (ou Auzout ?) aurait également communiqué la lettre du 18 décembre. 1648 à Roberval, lequel avait déjà cherché sans doute à relever le défi lancé dans le billet de Fermat, et avait, semble-t-il. abordé la question en suivant une marche plus voisine de celle de Descartes, mais sans aller aussi loin que lui. Il avait cru cependant pouvoir se servir de l’intermédiaire de Carcavi pour faire connaître au philosophe que, s’il ne répondait pas expressément à la question posée dans la lettre précitée, il ne s’en considérait pas moins comme en possession d’une méthode de solution complète. Pour le mettre au pied du mur, Descartes lui demande l’application à un exemple déterminé, tout en montrant qu’il a lui-même effectué les calculs pour cette application.
Le résultat complet de ces calculs a été retrouvé dans les papiers de Descartes et publié, sous le n" IX, dans les Excerpta ex MSS. R. DesCartes, à la suite des R. Descartes Opitsciila posthuma, physica et mathe- war/ca (Amstélodami. Ex Typographia P. et S. Blaeu, MDCCI). Le développement, égalé à zéro, y comprend 18 termes, dont 10 positifs et 8 négatifs ; dans la présente lettre, Descartes donne seulement les termes négatifs, en les affectant du signe +, c’est-à-dire en les supposant passés dans le second membre de l’équation. De plus pour mieux masquer sa méthode, il a divisé tous les coefficients par 8. Par suite, pour répondre exactement à sa question, il fallait donner le développement suivant, comme représentant le premier membre de l’équation :
i. a" + ^ ab’ + 5 a’bc ■\-’^ a’b' -\- b a’b'c -\- ^ a’b'c’ -f 83 a’b'cd -\- 2 a’bV -f 1 16 a b’ciie -j- 25 1 a^ySd’.
Il est à peine utile d’ajouter que, dans ce développement, les lettres a, b, c, d, e, doivent être substituées les unes aux autres de toutes les manières possibles, en sorte qu’il y a en réalité 495 termes différents.
Roberval fut hors d’état de résoudre l’énigme ; l’invention de Descartes consistait en fait, pour faire disparaître les radicaux dans l’égalité
√a + √b + √c = √d + √e,
