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La Géométrie. — Livre III.

à cause de l’angle droit ADE, puis HA étant moyenne proportionnelle entre AS qui est 1 et AR qui est r, elle est ${\sqrt {r}}$. et à cause de l’angle droit EAH, le carré de HE, ou EG est

${\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{4}}p^{2}+{\frac {1}{2}}p+{\frac {1}{4}}+r$ ;

si bien qu’il y a Équation entre cette somme et la précédente, ce qui est le même que

z⁴ = pz² – qz + r.

et par conséquent la ligne trouvée GK qui a été nommée z est la racine de cette Équation, ainsi qu’il fallait démontrer. Et si vous appliquez ce même calcul à tous les autres cas de cette règle, en changeant les signes + et - selon l’occasion, vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu’il soit besoin que je m’y arête.

L’invention de quatre moyennes proportionnelles.

Si on veut donc suivant cette règle trouver deux moyennes proportionnelles entre les lignes a et q ; chacun sait que posant z pour l’une, comme a est à z, ainsi z à ${\frac {z^{2}}{a}}$, et ${\frac {z^{2}}{a}}$ à ${\frac {z^{3}}{a^{2}}}$

de façon qu’il y a Équation entre q et ${\frac {z^{3}}{a^{2}}}$, c’est-à-dire

z³ = a²q.

Et la Parabole FAG étant décrite, avec la partie de son essieu AC, qui est ${\frac {1}{2}}a$ la moitié du côté droit ; il faut du point C élever la perpendiculaire CE égale à ${\frac {1}{2}}q$ et du centre E par A, décrivant le cercle AF,