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Livre Troisième.

Comment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d’une racine.

(Et réciproquement que si la somme d’une équation)

ne peut être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue + ou - quelque autre quantité, cela témoigne que cette autre quantité n’est la valeur d’aucune de ses racines. Comme cette dernière

x⁴ - 4x³ – 19x² + 106x – 120 = 0

peut bien être divisée, par x - 2, et par x - 3, et par x - 4, et par x + 5 ; mais non point par x + ou - aucune autre quantité. Ce qui montre qu’elle ne peut avoir que les quatre racines 2, 3, 4, et 5.

Combien il peut y avoir de vraies racines dans chaque équation.

On connaît aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies racines, et combien de fausses en chaque Équation. À savoir il y en peut avoir autant de vraies, que les signes + et - s’y trouvent de fois être changés ; et autant de fausses qu’il s’y trouve de fois deux signes + ou deux signes - qui s’entresuivent. Comme en la dernière, à cause qu’après + x⁴ il y a - 4x³, qui est un changement du signe + en -, et après –19x² il y a +106x, et après +106x il y a –120 qui sont encore deux autres changements, on connaît qu’il y a trois vraies racines ; et une fausse, à cause que les deux signes -, de 4x³ et 19x² s’entresuivent.

Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies, et les vraies fausses.

De plus il est aisé de faire en une même Équation, que toutes les racines qui étaient fausses deviennent vraies, et par même moyen que toutes celles qui étaient vraies deviennent fausses : à savoir en changeant tous les signes + ou - qui sont en la seconde, en la quatrième, en la sixième ou autres places qui se désignent par les nombres pairs, sans changer ceux de la première, de la troisième, de la cinquième et semblables qui se désignent par les nombres (impairs.)