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La Géométrie.

sont elles qui conduisent le plus aisément à l’équation ; et lors ils en trouveraient une qui ne serait pas facile à démêler sans la règle que je viens d’expliquer. Car posant a pour BD ou CD, et c pour EF, et x pour DF, on a CF = a - x, et comme CF ou a - x est à FE ou c, ainsi FD ou x est à BF, qui par conséquent est $\frac {cx}{a - x}$. Puis à cause du triangle rectangle BDF dont les côtés sont l’un x et l’autre a, leurs carrés, qui sont x² + a², sont égaux à celui de la base, qui est $\frac {cx}{x^2 -2ax + a^2}$ ; de façon que, multipliant le tout par x² - 2ax + a², on trouve que l’équation est

x⁴ - 2ax³ + 2a²x² - 2a³x + a⁴ = c²x²,

ou bien

x⁴ - 2ax³ + (2a² - c²) x² - 2a³x + a⁴ = 0 ;

et on connaît par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la ligne DF, est

$\frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4} a^2 + \frac{1}{4} c^2} - \sqrt{\frac{1}{4} c^2 - \frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{2}a \sqrt{a^2 + c^2}}$

Que si on posait BF, ou CE, ou BE, pour la quantité inconnue, on viendrait derechef à une équation en laquelle il y aurait quatre dimensions, mais qui serait plus aisée à démêler, et on y viendrait assez aisément; au lieu que si c’était DG qu’on supposât, on viendrait beaucoup plus difficilement à l’équation, mais aussi elle serait très simple. Ce que je mets ici pour vous avertir que, lorsque le problème proposé n’est point solide, si en le cherchant par un chemin on vient à une équation fort composée, on peut ordinairement venir à une plus simple en le cherchant par un autre.

Je pourrais encore ajouter diverses règles pour démêler les équations qui vont au cube ou au carré