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bres, qui seroit parallele à un certain point de vûe, ne le seroit plus à un autre. Quoi qu’il en soit, nous souhaitons que les nouvelles vûes que nous venons de donner pour la solution de cette question, excitent les Physiciens à faire des expériences pour vérifier notre principe, & pour donner à cet égard un nouveau degré d’accroissement à la théorie de la vision.

J’avois fini cet article depuis plusieurs années, comme il me seroit aisé de le prouver, lorsque M. Bouguer lut à l’académie des Sciences un écrit sur le même sujet, qui contient au fond les mêmes principes ; & je dis pour-lors de vi ve voix à l’académie, sans prétendre rien ôter à M. Bouguer, que j’avois trouvé comme lui, & par les mêmes raisons, que les lignes cherchées devoient être deux lignes droites divergentes. Le mémoire de M. Bouguer n’est point encore imprimé au moment où j’ajoute ces dernieres lignes au présent article, c’est-à-dire, en Décembre 1759. (O)

PARALLÉLOGRAMME, s. m. en Géométrie, c’est une figure rectiligne de quatre côtés, dont les côtés opposés sont paralleles & égaux. Voyez Quadrilatere.

Le parallélogramme est formé, ou peut être supposé formé par le mouvement uniforme d’une ligne droite toujours parallele à elle-même.

Quand le parallélogramme a tous ses angles droits, & seulement ses côtés opposés égaux, on le nomme rectangle ou quarré long. Voyez Rectangle.

Quand les angles sont tous droits, & les côtés egaux, il s’appelle quarré. Voyez Quarré.

Si tous les côtés sont égaux, & les angles inégaux, on l’appelle rhombe ou losange. Voyez Rhombe & Losange.

S’il n’y a que les côtés opposés qui soient égaux, & les angles opposés aussi égaux, mais non droits, c’est un rhomboide. Voyez Rhomboïde.

Tout autre quadrilatere, dont les côtés opposés ne sont ni paralleles ni égaux, s’appelle un trapeze. Voyez Trapeze.

Propriétés du parallélogramme. Dans tout parallélogramme, de quelque espece qu’il soit, par exemple, dans celui-ci A B C D (Planches géomet. fig. 41.), la diagonale D A le divise en deux parties égales ; les angles diagonalement opposés B C & A D sont égaux ; les angles opposés au même côté C D & A B sont ensemble égaux à deux angles droits ; & deux côtés pris ensemble sont plus grands que la diagonale.

Deux parallélogrammes, A B C D & E C D F, sur la même ou sur une égale base, & de la même hauteur A C, ou entre les mêmes paralleles A F C D, sont égaux ; d’où il suit que deux triangles C D A & C D F, sur la même base & de la même hauteur, sont aussi égaux.

Il s’ensuit aussi que tout triangle C F D est moitié du parallélogramme A C D B, sur la même ou sur une égale base C D, & de la même hauteur, ou entre les mêmes paralleles ; & qu’un triangle est égal à un parallélogramme qui a la même base & la moitié de la hauteur, ou moitié de la base & la même hauteur. Voyez Triangle.

Les parallélogrammes sont en raison composée de leur base & de leur hauteur. Si donc les hauteurs sont égales, ils sont comme les bases, & réciproquement.

Dans les parallélogrammes & les triangles semblables, les hauteurs sont proportionnelles aux côtés homologues. De-là les parallélogrammes & les triangles semblables sont en raison doublée de leurs côtés homologues, aussi-bien que de leurs hauteurs & de leurs bases ; ils sont donc comme les quarrés des côtés, des hauteurs & des bases.

Dans tout parallélogramme, la somme des quarrés des deux diagonales est égale à la somme des quarrés des quatre côtés.

M. de Lagny regarde cette proposition comme une des plus importantes de toute la Géométrie : il la met au même rang que la fameuse XLVII^e. d’Euclide, & que celle de la similitude des triangles ; & il ajoute que le premier livre entier d’Euclide n’est qu’un cas particulier de celle-ci. Car si ce parallélogramme est rectangle, il s’ensuit que les deux diagonales sont égales, & par conséquent que le quarré de la diagonale, ou, ce qui revient au même, le quarré de l’hypothenuse de l’angle droit, est égal aux quarrés des côtés.

Si le parallélogramme n’est pas rectangle, & par conséquent si les deux diagonales ne sont pas égales, ce qui est le cas le plus général, la proposition devient d’une vaste étendue ; elle peut servir, par exemple, dans toute la théorie des mouvemens composés, &c.

Il y a trois manieres de démontrer ce théorème : la premiere, par la Trigonométrie, ce qui demande vingt-une opérations ; la seconde, géométrique & analytique, en demande quinze : M. de Lagny en donne une plus courte dans les mémoires de l’académie ; elle n’en exige que sept. Voyez Diagonale.

Mais en supposant la fameuse XLVII^e. dont la démonstration est d’un assez petit détail, celle-ci se démontre avec une extreme facilité : car soit A C = D (Pl. de Géom. fig. 25.), D B = d, A B = C D = B, B C = A D = C, B F = A E = y, C F = D E = x, alors D F sera = B + x, & C E = B-x ; on voit bien que A E & B F sont des perpendiculaires. Ceci supposé, il faut démontrer que D D + d d = 2 B B + 2 C C.

Démonst. par la XLVII^e. D D = Y Y + B B - 2 B x + x x & C C = y y + x x. Mettant donc C C en la place de Y Y + x x, dans l’équation précédente, on aura D D = B B + C C-2 B x.

Pareillement d d = Y Y + B B + 2 B X + X X = B B + C C + 2 B X ; par conséquent D D + d d = B B + C C + 2 B X + B B + C C-2 B X, & réduisant ce dernier membre à saplus simple expression, on a D D + d d = 2 B B + 2 C C. (C Q. F. D.)

Trouvez l’aire du parallélogramme rectangle A B C D (fig. 41.) ; trouvez la longueur des côtés A B & A C ; multipliez A B par A C : le produit sera l’aire du parallélogramme. Supposez par exemple A B, 345 ; A C, 333 : l’aire sera 11385.

On trouve l’aire des autres parallélogrammes qui ne sont pas rectangles, en multipliant la base D C (fig. 25.) par la hauteur B F.

Complément du parallélogramme. Voyez Complément.

Centre de gravité du parallélogramme. Voyez & . (E)

Quand les Géometres disent qu’un parallélogramme est le produit de sa base par sa hauteur, ils ne veulent pas dire par-là, comme quelques-uns se l’imaginent, qu’une surface est le produit de deux lignes droites ; car on ne multiplie point une ligne droite par une ligne droite, parce qu’on ne multipl e jamais deux concrets l’un par l’autre (voyez Concret) ; ce langage des Géometres est une façon de parler abregée, que j’ai expliquée à la fin de l’art. Équation, tom. V. p. 854. col. 2. (O)

Regle du parallélogramme. On appelle ainsi une regle imaginée par M. Newton, & dont voici l’usage : supposons qu’on ait une équation algébrique ordonnée en x & en y, on demande la valeur de y en x lorsque x = o, & lorsque x = Œ. Pour cela on dispose en cette sorte dans un parallélogramme tous les