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De plus, puisque A : B< ?>B C : A C, on en peut conclurre que A + B : A < ?> B C + A C : B C ; ce qui fait voir que pour trouver le centre commun de gravité C de deux corps, il n’y aura qu’à prendre le produit de l’un de ces poids par la distance A B des centres particuliers de gravité A B, & le diviser par la somme des poids A & B. Supposons, par exemple, A = 12, B = 4, A B = 24, on aura donc [omission : formula ; to see, consult fac-similé version] : si le poids A est donné, ainsi que la distance A B des centres particuliers de gravité, & le centre commun de gravité C, on aura le poids de [omission : formula ; to see, consult fac-similé version], c’est-à-dire, qu’on le trouvera, en divisant le moment du poids donné par la distance du poids qu’on cherche, au centre commun de gravité : supposant A = 12, B C = 18, A B = 6, & on aura [omission : formula ; to see, consult fac-similé version]
2°. Pour déterminer le centre commun de gravité de plusieurs corps donnés a, b, c, d, (fig. 13. n°. 3.) trouvez dans la ligne A B le centre commun de gravité des deux premiers corps a & b que je supposerai en P ; concevez ensuite un poids a + b appliqué en P, & trouvez dans la ligne P E, le centre commun de gravité des deux poids a + b, & c que je supposerai en G ; enfin supposez un poids a + b + c appliqué en G, égal aux deux poids a + b & c, & trouvez le centre commun de gravité de ce poids a + b + c & de d, lequel je supposerai en H, & ce point H sera le centre commun de gravité de tout le système des corps a + b + c + d ; & on peut trouver de la même maniere le centre de gravité d’un plus grand nombre de corps tel qu’on voudra.
3°. Deux poids D & E (fig. 14.) étant suspendus par une ligne CO qui ne passe point par leur centre commun de gravité, trouver lequel des deux corps doit emporter l’autre.
Il faudra pour cela multiplier chaque poids par sa distance du centre de suspension, celui du côté duquel se trouvera le plus grand produit, sera le prépondérant ; & la différence entre les deux sera la quantité dont il l’emportera sur l’autre.
Les momens des poids D & E, suspendus par une ligne qui ne passe point par le centre de gravité, étant en raison composée des poids D & E, & des distances du point de suspension, il s’ensuit encore que le moment d’un poids suspendu précisément au point C, n’aura aucun effet par rapport aux autres poids D & E.
4°. Soient plusieurs corps a, b, c, d, (fig. 15.) suspendus en C par une droite C O qui ne passe point par leur centre de gravité, on propose de déterminer de quel côté sera la prépondérance, & quelle en sera la quantité.
On multipliera pour cela les poids c & d par leur distance C E & C B du point de suspension, & la somme sera le moment de leur poids ou leur moment vers la droite : on multipliera ensuite leur poids a & b par leurs distances A C & C D, & la somme sera le moment vers la gauche ; on soustraira l’un de ces momens de l’autre, & le reste donnera la prépondérance cherchée.
5°. Un nombre quelconque de poids a, b, c, d, étant suspendus en C par une ligne CO qui ne passe point par leur centre commun de gravité, & la prépondérance étant vers la droite, déterminer un point F, où la somme de tous les poids étant suspendue, la prépondérance continueroit à être la même que dans la premiere situation.
Trouvez le moment des poids c & d, c’est-à-dire c X C E & d X C B ; & puisque le moment des poids suspendus en F doit être précisément le même, le moment trouvé des poids c & d sera donc le produit de C F par la somme des poids ; & ainsi ce moment étant divisé par la somme des poids, le quotient donnera la distance C F, à laquelle la somme des poids doit être suspendue, pour que la prépondérance continue à être la même qu’auparavant.
6°. Trouver le centre de gravité d’un parallélogramme & d’un parallelépipede.
Tirez la diagonale A D & E G (fig. 16.), ainsi que C B & H F ; & puisque chacune des diagonales A D & C B divisent le parallélogramme A C D B en deux parties égales & semblables, chacune d’elles passe donc par le centre de gravité : donc le point d’intersection I est le centre de gravité du parallélogramme.
De même puisque les plans C B F H & A D G E divisent le parallelépipede en deux parties égales & semblables, ils passent l’un & l’autre par son centre de gravité ; & ainsi leur intersection I K est le diametre de gravité, & le milieu en est le centre.
On pourra trouver de la même maniere le centre de gravité dans les prismes & les cylindres, en prenant le milieu de la droite qui joint leurs bases opposées.
Dans les polygones réguliers, le centre de gravité est le même que celui du cercle circonscrit ou inscrit à ces polygones.
7°. Trouver le centre de gravité d’un cone & d’une pyramide. Le centre de gravité d’un cone est dans son axe A C (fig. 17.) ; si l’on fait donc A C = a, C D = r, p la circonférence dont le rayon est r, A P = x, P p = d x, le poids de l’élément du cone sera [omission : formula ; to see, consult fac-similé version] & son moment sera [omission : formula ; to see, consult fac-similé version] ; & par conséquent l’intégrale des momens [omission : formula ; to see, consult fac-similé version], laquelle divisée par l’intégrale des poids [omission : formula ; to see, consult fac-similé version], donne la distance du centre de gravité de la portion A M N au sommet A, [omission : formula ; to see, consult fac-similé version] A P ; d’où il s’ensuit que le centre de gravité du cone entier est éloigné du sommet des 3/4 de A C ; & on trouve de la même maniere la distance du centre de gravité de la pyramide au sommet de cette pyramide =3/< ?>A C.
8°. Déterminer le centre de gravité d’un triangle B A C (figure 18.). Tirez la droite A D au point milieu D de B C ; & puisque le triangle B A D est égal au triangle B A C, on pourra donc diviser chacun de ces triangles en un même nombre de petits poids, appliqués de la même maniere à l’axe commun A D, de façon que le centre de gravité du triangle B A C sera situé dans A D. Pour déterminer le point précis, soit A D = a, B C = b ; A P = x, M N = y, & on aura [omission : formula ; to see, consult fac-similé version], ce qui donnera [omission : formula ; to see, consult fac-similé version] ; d’où il s’ensuit que le moment [omission : formula ; to see, consult fac-similé version] &
[omission : formula ; to see, consult fac-similé version], intégrale qui étant divisée par
l’aire AMN du triangle, c’est-à-dire, par [omission : formula ; to see, consult fac-similé version] donne la distance du centre de gravité au sommet= [omission : formula ; to see, consult fac-similé version] ; & ainsi substituant a pour x, la distance du centre total de gravité au sommet sera = 2/3 a.
9°. Trouver le centre de gravité de la portion de parabole S A H (fig. 19.) : sa distance du sommet A se trouve être 3/5 A E par les méthodes précédentes.
10°. Le centre de gravité d’un arc de cercle, est éloigné du centre de cet arc, d’une droite qui est troisieme proportionelle à cet arc, à sa corde, & au rayon. La distance du centre de gravité d’un secteur de cercle au centre de ce cercle, est à la distance du centre de gravité de l’arc au même centre, comme 2 est à 3.
Pour trouver les centres de gravité des segmens des conoïdes, des paraboloïdes, des sphéroïdes, des cones tronqués, &c. comme ce sont des cas plus difficiles, & qui en même-tems ne se présentent que plus rarement, nous renvoyons là-dessus au traité de Wolf, d’où Chambers a tiré une partie de cet article.
