diatement ; mais, lorsque celle dernière circonstance aura lieu, il y aura du moins une des transformées dont une des racines sera immédiatement périodique.
Or, lorsqu’une équation a deux racines périodiques répondant à un même facteur rationnel du second degré, et que l’une d’elles est immédiatement périodique, il existe entre ces deux racines une relation assez singulière qui parait n’avoir pas encore été remarquée, et qui peut être exprimée par le théorème suivant :
Théorème. — Si une des racines d’une équation de degré quelconque est une fraction continue immédiatement périodique, cette équation aura nécessairement une autre racine également périodique que l’on obtiendra en divisant l’unité négative par cette même fraction continue périodique, écrite dans un ordre inverse.
Démonstration. — Pour fixer les idées, ne prenons que des périodes de quatre termes ; car la marche uniforme du calcul prouve qu’il en serait de même si nous en admettions un plus grand nombre. Soit une des racines d’une équation de degré quelconque exprimée comme il suit :
l’équation du second degré, à laquelle appartiendra cette racine, et qui contiendra conséquemment sa corrélative, sera
