ou
ce qui rentre exactement dans notre théorème.
Soit une fraction continue immédiatement périodique quelconque, et soit la fraction continue qu’on en déduit en renversant la période ; on voit que, si l’une des racines d’une équation est , elle aura nécessairement une autre racine ; or, si est un nombre positif plus grand que l’unité, sera négatif et compris entre et ; et, à l’inverse, si est un nombre négatif compris entre et , sera un nombre positif plus grand que l’unité. Ainsi, lorsque l’une des racines d’une équation du second degré est une fraction continue immédiatement périodique, plus grande que l’unité, l’autre est nécessairement comprise entre et ; et réciproquement, si l’une d’elles est comprise entre et , l’autre sera nécessairement positive et plus grande que l’unité.
On peut prouver que, réciproquement, si l’une des deux racines d’une équation du second degré est positive et plus grande que l’unité, et que l’autre soit comprise entre et , ces racines seront exprimables en fractions continues immédiatement périodiques. En effet, soit toujours une fraction continue immédiatement périodique quelconque, positive et plus grande que l’unité, et la fraction continue immédiatement périodique qu’on en déduit, en renversant la période, laquelle sera aussi, comme elle, positive et plus grande que l’unité. La première des racines de la proposée ne pourra être de la forme
