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Cette proposition, énoncée algébriquement, est celle-ci : Étant donnés une fonction $\mathrm {F} x$ et un nombre premier $p$ , on peut poser

$fx.\mathrm {F} x=x^{p^{\nu }}-x+p\varphi x,$

$fx$ et $\varphi x$ étant des fonctions entières, toutes les fois que la congruence $\mathrm {F} x=0{\pmod {p}}$ sera irréductible.

Si l’on veut avoir toutes les racines d’une pareille congruence au moyen d’une seule, il suffit d’observer que l’on a généralement

$(\mathrm {F} x)^{p^{n}}=\mathrm {F} (x^{p^{n}})$

et que, par conséquent, l’une des racines étant $x$ , les autres seront

$x^{p},x^{p^{2}}\ldots ,x^{p^{\nu -1}}$ (^[1]).

Il s’agit maintenant de faire voir que, réciproquement à ce que nous venons de dire, les racines de l’équation ou de la congruence $x^{p^{\nu }}=x$ dépendront toutes d’une seule congruence du degré $\nu$ .

Soit en effet $i$ une racine d’une congruence irréductible et telle que toutes les racines de la congruence $x^{p^{\nu }}=x$ soient fonctions rationnelles de $i$ (Il est clair qu’ici, comme dans les équations ordinaires, cette propriété a lieu) (^[2]).

↑ De ce que les racines de la congruence irréductible de degré $\nu$ $\mathrm {F} x=0$ sont exprimés par la suite
$x,x^{p},x^{p^{2}},\ldots ,x^{p^{\nu -1}},$
on aurait tort de conclure que ces racines soient toujours des quantités exprimables par radicaux. Voici un exemple du contraire :
La congruence irréductible

$x^{2}+x+1=0{\pmod {2}}$
donne
$x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},$
qui se réduit à
${\frac {0}{0}}{\pmod {2}},$
formule qui n’apprend rien.
↑ La proposition générale dont il s’agit ici peut s’énoncer ainsi : Étant donnée une équation algébrique, on pourra trouver une fonction rationnelle $\theta$ de toutes ses racines, de telle sorte que, réciproquement, chacune des racines s’exprime rationnellement en $\theta$ . Ce théorème était connu d’Abel, ainsi qu’on peut le voir par la première Partie du Mémoire que ce célèbre géomètre a laissé sur les fonctions elliptiques.

E. G.

2

[1] De ce que les racines de la congruence irréductible de degré $\nu$ $\mathrm {F} x=0$ sont exprimés par la suite
$x,x^{p},x^{p^{2}},\ldots ,x^{p^{\nu -1}},$
on aurait tort de conclure que ces racines soient toujours des quantités exprimables par radicaux. Voici un exemple du contraire :
La congruence irréductible

$x^{2}+x+1=0{\pmod {2}}$
donne
$x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},$
qui se réduit à
${\frac {0}{0}}{\pmod {2}},$
formule qui n’apprend rien.

[2] La proposition générale dont il s’agit ici peut s’énoncer ainsi : Étant donnée une équation algébrique, on pourra trouver une fonction rationnelle $\theta$ de toutes ses racines, de telle sorte que, réciproquement, chacune des racines s’exprime rationnellement en $\theta$ . Ce théorème était connu d’Abel, ainsi qu’on peut le voir par la première Partie du Mémoire que ce célèbre géomètre a laissé sur les fonctions elliptiques.

[1]

[2]