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Il est d’abord évident que le degré $\mu$ de la congruence en $i$ ne saurait être plus petit que $\nu$, sans quoi la congruence

($\nu$)

$x^{p^{\nu -1}}-1=0$

aurait toutes ses racines communes avec la congruence

$x^{p^{\mu -1}}-1=0,$

ce qui est absurde, puisque la congruence ($\nu$) n’a pas de racines égales, comme on le voit en prenant la dérivée du premier membre. Je dis maintenant que $\mu$ ne peut non plus être > $\nu$.

En effet, s’il en était ainsi, toutes les racines de la congruence

$x^{p^{\mu }}=x$

devraient dépendre rationnellement de celles de la congruence

$x^{p^{\nu }}=x.$

Mais il est aisé de voir que, si l’on a

$i^{p^{\nu }}=i,$

toute fonction rationnelle $h=f\,i$ donnera encore

$(fi)^{p^{\nu }}=f(i^{p^{\nu }})=fi,\quad {\mbox{d’où}}\quad h^{p^{\nu }}=h.$

Donc toutes les racines de la congruence $\textstyle x^{p^{\mu }}=x$ lui seraient communes avec l’équation $\textstyle x^{p^{\nu }}=x$, ce qui est absurde.

Nous savons donc enfin que toutes les racines de l’équation ou congruence $x^{p^{\nu }}=x$ dépendent nécessairement d’une seule congruence irréductible de degré $\nu$.

Maintenant, pour avoir cette congruence irréductible d’où dépendent les racines de la congruence $x^{p^{\nu }}=x$, la méthode la plus générale sera de délivrer d’abord cette congruence de tous les facteurs communs qu’elle pourrait avoir avec des congruences de degré inférieur et de la forme

$x^{p^{\mu }}=x.$

On obtiendra ainsi une congruence qui devra se partager en congruences irréductibles de degré $\nu$. Et, comme on sait exprimer toutes les racines de chacune de ces congruences irréductibles au