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moyen d’une seule, il sera aisé de les obtenir toutes par la méthode de M. Gauss.

Le plus souvent, cependant, il sera aisé de trouver par le tâtonnement une congruence irréductible d’un degré donné $\nu$, et l’on doit en déduire toutes les autres.

Soient, pour exemple, $p=7,\nu =3$. Cherchons les racines de la congruence

(1)	$x^{7^{3}}=x{\pmod {7}}.$

J’observe que la congruence

(2)	$i^{3}=2{\pmod {7}}$

étant irréductible, et du degré 3, toutes les racines de la congruence (1) dépendent rationnellement de celles de la congruence (2), en sorte que toutes les racines de (1) sont de la forme

(3)	$a+a_{1}i+a_{2}i^{2}\quad {\text{ou bien}}\quad a+a_{1}{\sqrt[{3}]{2}}+a_{2}{\sqrt[{3}]{4}}.$

Il faut maintenant trouver une racine primitive, c’est-à-dire une forme de l’expression (3) qui, élevée à toutes les puissances, donne toutes les racines de la congruence

$x^{7^{3}-1}=1,\quad {\text{savoir}}\quad x^{2^{1}.3^{2}.19}=1{\pmod {7}},$

et nous n’avons besoin pour cela que d’avoir une racine primitive de chaque congruence

$x^{2}=1,\quad x^{3^{2}}=1,\quad x^{19}=1.$

La racine primitive de la première est $-1$ ; celles de $x^{3^{2}}-1=0$ sont données par les équations

$x^{3}=2,\quad x^{3}=4$

en sorte que $i$ est une racine primitive de $x^{3^{2}}=1$. Il ne reste qu’à trouver une racine de $x^{19}-1=0,$ ou plutôt de

${\frac {x^{19}-1}{x-1}}=0,$

et essayons pour cela si l’on ne peut pas satisfaire à la question