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permuter les racines entre elles par des substitutions de la forme $[x_{k},x_{(ak+b)^{p^{r}}}]$, et la fonction $\mathrm {V}$ admettra en général par ces substitutions $p^{\nu }(p^{\nu }-1)\nu$ formes différentes.

Admettons maintenant que l’équation proposée $fx=0$ soit telle que toute fonction des racines, invariable par les $p^{\nu }(p^{\nu }-1)\nu$ permutations que nous venons de construire, ait pour cela même une valeur numérique rationnelle.

On remarque que, dans ces circonstances, l’équation $fx=0$ sera soluble par radicaux, et, pour parvenir à cette conséquence, il suffit d’observer que la valeur substituée à $k$, dans chaque indice, peut se mettre sous les trois formes

$(ak+b)^{p^{r}}=[a(k+b')]^{p^{r}}=a'k^{p^{r}}+b''=a'(k+b')^{p^{r}}.$

Les personnes habituées à la théorie des équations le verront sans peine.

Cette remarque aurait peu d’importance si je n’étais parvenu à démontrer que, réciproquement, une équation primitive ne saurait être soluble par radicaux, à moins de satisfaire aux conditions que je viens d’énoncer. (J’excepte les équations du neuvième et du vingt-cinquième degré.)

Ainsi, pour chaque nombre de la forme $p^{\nu }$, on pourra former un groupe de permutations tel, que toute fonction des racines invariable par ces permutations devra admettre une valeur rationnelle quand l’équation de degré $p^{\nu }$ sera primitive et soluble par radicaux.

D’ailleurs, il n’y a que les équations d’un pareil degré $p^{\nu }$ qui soient à la fois primitives et solubles par radicaux.

Le théorème général que je viens d’énoncer précise et développe les conditions que j’avais données dans le Bulletin du mois d’avril. Il indique le moyen de former une fonction des racines dont la valeur sera rationnelle, toutes les fois que l’équation primitive de degré $p^{\nu }$ sera soluble par radicaux, et mène, par conséquent, aux caractères de résolubilité de ces équations, par des calculs sinon praticables, du moins qui sont possibles en théorie.

Il est à remarquer que, dans le cas où $\nu =1$, les diverses valeurs de $k$ ne sont autre chose que la suite des nombres entiers. Les