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réellement indécomposables, puisqu’elles peuvent même se résoudre par radicaux.

Comme lemme à la théorie des équations primitives solubles par radicaux, j’ai mis en juin 1830, dans le Bulletin de Férussac, une analyse sur les imaginaires de la théorie des nombres.

On trouvera ci-jointe (^[1]) la démonstration des théorèmes suivants :

1^o Pour qu’une équation primitive soit soluble par radicaux, elle doit être du degré $p^{\nu }$, $p$ étant premier.

2^o Toutes les permutations d’une pareille équation sont de la forme

$x_{k,l,m,\ldots }|x_{ak+bl+cm+\ldots +h,a'k+b'l+c'm+\ldots +h',a''k+\ldots \ldots ,}$

$k,l,m,\ldots$ étant $\nu$ indices, qui, prenant chacun $p$ valeurs, indiquent toutes les racines. Les indices sont pris suivant le module $p$ ; c’est-à-dire que la racine sera la même quand on ajoutera à l’un des indices un multiple de $p$.

Le groupe qu’on obtient en opérant toutes les substitutions de cette forme linéaire contient, en tout,

$p^{\nu }(p^{\nu }-1)(p^{\nu }-p)\ldots (p^{\nu }-p^{\nu -1})$ permutations.

Il s’en faut que, dans cette généralité, les équations qui lui répondent soient solubles par radicaux.

La condition que j’ai indiquée dans le Bulletin de Férussac pour que l’équation soit soluble par radicaux est trop restreinte ; il y a peu d’exceptions, mais il y en a.

La dernière application de la théorie des équations est relative aux équations modulaires des fonctions elliptiques.

On sait que le groupe de l’équation qui a pour racines les sinus de l’amplitude des $p^{2}-1$ divisions d’une période est celui-ci :

$x_{k,l},\quad x_{ak+bl,ck+dl};$

par conséquent l’équation modulaire correspondante aura pour groupe

$x_{\frac {k}{l}},\quad x_{\frac {ak+bl}{ck+dl}};$

1. Galois parle des manuscrits, jusqu’ici inédits, que nous publions.(J. Liouville.)