On traite à la fois toutes les intégrales dont la différentielle est une fonction de la variable et d’une même fonction irrationnelle de la variable, que cette irrationnelle soit ou ne soit pas un radical, qu’elle s’exprime ou ne s’exprime pas par des radicaux.
On trouve que le nombre des périodes distinctes de l’intégrale la plus générale relative à une irrationnelle donnée est toujours un nombre pair.
Soit ce nombre, on aura le théorème suivant :
Une somme quelconque de termes se réduit à termes, plus des quantités algébriques et logarithmiques.
Les fonctions de première espèce sont celles pour lesquelles la partie algébrique et logarithmique est nulle.
Il y en a distinctes.
Les fonctions de seconde espèce sont celles pour lesquelles la partie complémentaire est purement algébrique.
Il y en a distinctes.
On peut supposer que les différentielles des autres fonctions ne soient jamais infinies qu’une fois pour , et, de plus, que leur partie complémentaire se réduise a un seul logarithme, , étant une quantité algébrique. En désignant par ces fonctions, on aura le théorème
et étant des fonctions de première et de seconde espèce.
On en déduit, en appelant et les périodes de et relatives à une même révolution de ,
Ainsi les périodes des fonctions de troisième espèce s’expriment toujours en fonction de première et de seconde espèce.
On peut en déduire aussi des théorèmes analogues au théorème de Legendre
La réduction des fonctions de troisième espèce à des intégrales définies, qui est la plus belle découverte de M. Jacobi, n’est pas praticable, hors le cas des fonctions elliptiques.
La multiplication des fonctions intégrales par un nombre entier
