équations dont le degré est un nombre premier. Voici le théorème donné par notre analyse :
Pour qu’une équation de degré premier, qui n’a pas de diviseurs commensurables, soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que toutes les racines soient des fonctions rationnelles de deux quelconques d’entre elles.
Les autres applications de la théorie sont elles-mêmes autant de théories particulières. Elles nécessitent d’ailleurs l’emploi de la théorie des nombres, et d’un algorithme particulier : nous les réservons pour une autre occasion. Elles sont en partie relatives aux équations modulaires de la théorie des fonctions elliptiques, que nous démontrons ne pouvoir se résoudre par radicaux.
Ce 16 janvier 1831.
É. Galois.
Je commencerai par établir quelques définitions et une suite de lemmes qui sont tous connus.
Définitions. — Une équation est dite réductible quand elle admet des diviseurs rationnels ; irréductible dans le cas contraire.
Il faut ici expliquer ce qu’on doit entendre par le mot rationnel, car il se représentera souvent.
Quand l’équation a tous ses coefficients numériques et rationnels, cela veut dire simplement que l’équation peut se décomposer en facteurs qui aient leurs coefficients numériques et rationnels.
Mais quand les coefficients d’une équation ne seront pas tous numériques et rationnels, alors il faudra entendre par diviseur rationnel un diviseur dont les coefficients s’exprimeraient en fonction rationnelle des coefficients de la proposée.
Il y a plus : on pourra convenir de regarder comme rationnelle toute fonction rationnelle d’un certain nombre de quantités déterminées, supposées connues a priori. Par exemple, on pourra
