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PROPOSITION I.

Théorème. — Soit une équation donnée, dont $a$ , $b$ , $c$ , … sont les $m$ racines. Il y aura toujours un groupe de permutations des lettres $a$ , $b$ , $c$ , … qui jouira de la propriété suivante :

1^o Que toute fonction des racines, invariable (^[1]) par les substitutions de ce groupe, soit rationnellement connue ;

2^o Réciproquement, que toute fonction des racines, déterminable rationnellement, soit invariable par les substitutions.

(Dans le cas des équations algébriques, ce groupe n’est autre chose que l’ensemble des $1.2.3\ldots m$ permutations possibles sur les $m$ lettres, puisque, dans ce cas, les fonctions symétriques sont seules déterminables rationnellement.)

(Dans le cas de l’équation ${\frac {x^{n}-1}{x-1}}=0$ , si l’on suppose $a=r,b=r^{g},$ $c=r^{g^{2}},\ldots ,g$ étant une racine primitive, le groupe de permutations sera simplement celui-ci :

{\begin{aligned}&abcd\ldots k,\\&bcd\ldots ka,\\&cd\ldots kab,\\&\ldots \ldots ..\,,\\&kabc\ldots i\,;\end{aligned}}

dans ce cas particulier, le nombre des permutations est égal au degré de l’équation, et la même chose aurait lieu dans les équations dont toutes les racines seraient des fonctions rationnelles les unes des autres.)

Démonstration. — Quelle que soit l’équation donnée, on pourra trouver une fonction rationnelle $\mathrm {V}$ des racines, telle que toutes

↑ Nous appelons ici invariable non seulement une fonction dont la forme est invariable par les substitutions des racines entre elles, mais encore celle dont la valeur numérique ne varierait pas par ces substitutions. Par exemple, si $\mathrm {F} x=0$ est une équation, $\mathrm {F} x$ est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation.
Quand nous disons qu’une fonction est rationnellement connue, nous voulons dire que sa valeur numérique est exprimable en fonction rationnelle des coefficients de l’équation et des quantités adjointes.

[1] Nous appelons ici invariable non seulement une fonction dont la forme est invariable par les substitutions des racines entre elles, mais encore celle dont la valeur numérique ne varierait pas par ces substitutions. Par exemple, si $\mathrm {F} x=0$ est une équation, $\mathrm {F} x$ est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation.
Quand nous disons qu’une fonction est rationnellement connue, nous voulons dire que sa valeur numérique est exprimable en fonction rationnelle des coefficients de l’équation et des quantités adjointes.

[1]