Adjoignons à l’équation le premier radical extrait dans la solution. Il pourra arriver deux cas : ou bien, par l’adjonction de ce radical, le groupe des permutations de l’équation sera diminué ; ou bien, cette extraction de racine n’étant qu’une simple préparation, le groupe restera le même.
Toujours sera-t-il qu’après un certain nombre fini d’extractions de racines, le groupe devra se trouver diminué, sans quoi l’équation ne serait pas soluble.
Si, arrivé à ce point, il y avait plusieurs manières de diminuer le groupe de l’équation proposée par une simple extraction de racine, il faudrait, pour ce que nous allons dire, considérer seulement un radical du degré le moins haut possible parmi tous les simples radicaux, qui sont tels que la connaissance de chacun d’eux diminue le groupe de l’équation.
Soit donc le nombre premier qui représente ce degré minimum, en sorte que par une extraction de racine de degré , on diminue le groupe de l’équation.
Nous pouvons toujours supposer, du moins pour ce qui est relatif au groupe de l’équation, que, parmi les quantités adjointes précédemment à l’équation, se trouve une racine ième de l’unité, . Car, comme cette expression s’obtient par des extractions de racines de degré inférieur à , sa connaissance n’altérera en rien le groupe de l’équation.
Par conséquent, d’après les théorèmes II et III, le groupe de l’équation devra se décomposer en groupes jouissant les uns par rapport aux autres de cette double propriété : 1o que l’on passe de l’un à l’autre par une seule et même substitution ; 2o que tous contiennent les mêmes substitutions.
Je dis réciproquement que, si le groupe de l’équation peut se partager en groupes qui jouissent de cette double propriété, on pourra, par une simple extraction de racine , et par l’adjonction de cette racine , réduire le groupe de l’équation à l’un de ces groupes partiels.
Prenons, en effet, une fonction des racines qui soit invariable pour toutes les substitutions de l’un des groupes partiels, et varie pour toute autre substitution. (Il suffit, pour cela, de choisir une fonction symétrique des diverses valeurs que prend, par toutes les
