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nous obtiendrons ainsi, en tout, $\mathrm {P} ^{2}$ lettres. Si le nombre total des lettres n’est pas épuisé, on prendra un troisième indice, en sorte que

$a_{m,n,0},\,a_{m,n,1},\,a_{m,n,2},\,a_{m,n,3},\,\ldots ,\,a_{m,n,\mathrm {P} -1}$

soit, en général, un système de lettres conjointes ; et l’on parviendra ainsi à cette conclusion, que $\mathrm {N} =\mathrm {P} ^{\mu }$, $\mu$ étant un certain nombre égal à celui des indices différents dont on aura besoin. La forme générale des lettres sera

$a_{k_{1},k_{2},k_{3},\ldots ,k_{\mu }},$

$k_{1},k_{2},k_{3},\ldots ,k_{\mu }$ étant des indices qui peuvent prendre chacun les $\mathrm {P}$ valeurs $0,1,2,3,\ldots ,\mathrm {P} -1$.

On voit aussi, par la manière dont nous avons procédé, que, dans le groupe $\mathrm {H}$, toutes les substitutions seront de la forme

$[a_{k_{1},k_{2},k_{3},\ldots ,k_{\mu }},\,a_{\varphi (k_{1}),\psi (k_{2}),\chi (k_{3}),\ldots ,\sigma (k_{\mu })}]$

puisque chaque indice correspond à un système de lettres conjointes.

Si $\mathrm {P}$ n’est pas un nombre premier, on raisonnera sur le groupe de permutations de l’un quelconque des systèmes de lettres conjointes, comme sur le groupe $\mathrm {G}$, en remplaçant chaque indice par un certain nombre de nouveaux indices, et l’on trouvera $\mathrm {P} =\mathrm {R} ^{\alpha }$, et ainsi de suite ; d’où enfin $\mathrm {N} =p^{\nu }$, $p$ étant un nombre premier.

Des équations primitives de degré $p^{2}$.

Arrêtons-nous un moment pour traiter de suite les équations primitives d’un degré $p^{2}$, $p$ étant premier impair. (Le cas de $p=2$ a été examiné.) Si une équation du degré $p^{2}$ est soluble par radicaux, supposons-la d’abord telle, qu’elle devienne non primitive par une extraction de radical.

Soit donc $\mathrm {G}$ un groupe primitif de $p^{2}$ lettres qui se partage en $n$ groupes non primitifs conjugués à $\mathrm {H}$.

Les lettres devront nécessairement, dans le groupe $\mathrm {H}$, se ranger