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C’est ainsi qu’elle figure dans l’épreuve. Les six premières lignes de la note de la page 40 sont donc de Liouville.

Au reste, Liouville a été visiblement préoccupé de cet endroit (proposition II) du texte de Galois : il a jugé un moment convenable de reprendre l’hypothèse primitive de Galois (p premier) et d’éclaircir complètement la démonstration dans ce cas, par une note que je crois devoir transcrire, non pas qu’elle puisse apprendre quelque chose au lecteur, mais parce qu’elle me semble une trace touchante des soins et des scrupules que Liouville apportait dans sa publication ; le renvoi correspondrait à la ligne 20 de la page 40 des Œuvres :

Ceci mérite d’être expliqué avec quelque détail.

Désignons par $\psi (\mathrm {V} )=0$ l’équation dont l’auteur parle, et soient $f({\mathrm {V} },r),\,f_{1}({\mathrm {V} },r),\,\ldots ,f_{i-1}({\mathrm {V} },r)$ les facteurs irréductibles dans lesquels $\psi ({\mathrm {V} })$ devient décomposable par l’adjonction de $r$, en sorte que

$\psi ({\mathrm {V} })=f({\mathrm {V} },r)f_{1}({\mathrm {V} },r)\ldots f_{i-1}({\mathrm {V} },r)$.

Comme $r$ est racine d’une équation irréductible, on pourra dans le second membre remplacer $r$ par $r',\,r'',\ldots ,r^{(p-1)}$. Ainsi $\psi ({\mathrm {V} })^{p}$ est le produit des i quantités suivantes

$f({\mathrm {V} },r)f({\mathrm {V} },r')\ldots f({\mathrm {V} },r^{(p-1)})$

$f_{1}({\mathrm {V} },r)f_{1}({\mathrm {V} },r')\ldots f_{1}({\mathrm {V} },r^{(p-1)})$

$f_{i-1}({\mathrm {V} },r)f_{i-1}({\mathrm {V} },r')\ldots f_{i-1}({\mathrm {V} },r^{(p-1)})$,

dont chacune, symétrique en $r,\,r',\ldots ,r^{(p-1)}$ et par suite exprimable en fonction rationnelle de ${\mathrm {V} }$ indépendamment de toute adjonction, doit diviser $\psi ({\mathrm {V} })^{p}$ et se réduire en conséquence à une simple puissance du polynôme $\psi ({\mathrm {V} })$ qui cesse de se résoudre en facteurs lorsqu’on n’adjoint pas les auxiliaires $r,r'$, etc. J’ajoute que le degré de la puissance est le même pour toutes. En effet, les équations $f({\mathrm {V} },r')=0,\,f_{1}({\mathrm {V} },r)=0,\ldots ,\,f_{i-1}({\mathrm {V} },r)=0$ qui dérivent de $\psi ({\mathrm {V} })=0$ et dont les racines sont fonctions rationnelles les unes des autres ne peuvent manquer d’être du même degré. En faisant donc

$f({\mathrm {V} },r)f({\mathrm {V} },r')\ldots f({\mathrm {V} },r^{(p-1)})=\psi ({\mathrm {V} })^{\mu }$,

on en conclura $p=i\mu$. Mais $p$ est premier et $i>1$ ; donc on a $i=p$, d’où $\mu =1$, et enfin

$\psi ({\mathrm {V} })=f({\mathrm {V} },r)f({\mathrm {V} },r')\ldots f({\mathrm {V} },r^{(p-1)})$.

Ce qu’il fallait démontrer.

(J. Liouville.)