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Des équations primitives qui sont solubles par radicaux^[1].

(pages 51–61).

Le manuscrit du « Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux », après la petite introduction biffée par Galois et reproduite par Chevalier, porte l’indication « 1^er Mémoire » ; le fragment « Des équations primitives qui sont solubles par radicaux», écrit sur du papier plus petit (35 × 22), commence au milieu d’une page. La moitié supérieure de cette page contient vingt lignes de Galois, qui sont biffées et que je reproduis plus loin ; dans la marge, en face de la dernière ligne, suivie d’un grand trait horizontal, se trouvent les mots « fin du Mémoire », écrits par Galois lui-même, si je ne me trompe ; au-dessous du trait est le titre du fragment et, en face, les mots « Second Mémoire » : ce fragment ou second Mémoire commence par les mots :

Revenons maintenant à notre objet et

que Chevalier a supprimés. Voici le commencement de la page qui, je le répète, est biffé dans le manuscrit :

soient représentés par

$\varphi _{1}x,\quad \varphi _{2}(x),\quad \varphi _{3}(x)\ldots \varphi _{n-1}(x)$

je dis que, $\mathrm {P}$ et $p$ étant des nombres quelconques, on aura

$({\mathrm {P} }-p)({\mathrm {P} }-\varphi _{1}p)({\mathrm {P} }-\varphi _{2}p)\ldots ({\mathrm {P} }-\varphi _{n-1}p)\equiv {\mathrm {F} }(\mathrm {P} )({\text{mod}}.{{\mathrm {F} }p})$

Démonstration : Il suit de l’hypothèse que l’on pourra par des opérations entières et rationnelles déduire de l’équation

${\mathrm {F} }x=0$

celle-ci

$({\mathrm {P} }-x)({\mathrm {P} }-\varphi _{1}x)({\mathrm {P} }-\varphi _{2}x)\ldots ({\mathrm {P} }-\varphi _{n-1}x)={\mathrm {F} }(\mathrm {P} )$

quel que soit $\mathrm {P}$.

1. On a le manuscrit et la copie par Chevalier de ce fragment.