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Or on a évidemment

${\mathrm {F} }p=0({\text{mod}}.\quad {\mathrm {F} }p)$.

Donc, en substituant les congruences aux égalités, on aura le théorème énoncé.

Corollaire : Soit ${\mathrm {F} }x={\frac {x^{\nu }-1}{x-1}}$, $\nu$ étant premier nous aurons $\varphi _{1}x=x^{2},\varphi _{2}x=x^{3}\ldots$… Donc on aura en général, si $\nu$ est un nombre premier,

$({\mathrm {P} }-p)({\mathrm {P} }-p^{2})({\mathrm {P} }-p^{3})\ldots ({\mathrm {P} }-p^{\nu -1})={\frac {{\mathrm {P} }^{\nu }-1}{{\mathrm {P} }-1}}\left({\text{mod}}.{\frac {p^{\nu }-1}{p-1}}\right)$.

Si enfin l’on fait ${\mathrm {P} }=p^{\nu }$ on aura le théorème suivant

$(p^{\nu }-p)(p^{\nu }-p^{2})(p^{\nu }-p^{3})\ldots (p^{\nu }-p^{\nu -1}=\nu \quad \left({\text{mod}}{\frac {p^{\nu }-1}{p-1}}\right)$,

$\nu$ étant premier.

Quelques fragments, qui seront publiés ultérieurement, paraissent se rapporter au même ordre d’idées.

Le manuscrit du fragment sur Les équations primitives… contient dix pages. On n’a pas ici de raisons de penser que les additions qui sont en marge ne soient pas à peu près contemporaines de la rédaction ; je les note cependant :

Page 53 des Œuvres, lignes 19 et 20 : « en remplaçant… indices ».

Page 57 : de la ligne 5 à la ligne 18.

Page 59, ligne 21, à partir de : « et de là… » et les lignes 22 et 23.

Voici maintenant les observations qui résultent de la comparaison du texte imprimé et des manuscrits de Galois et de Chevalier.

Liouville a imprimé les indices comme Galois les disposait, par exemple,

$a_{{k \atop 1}\cdot {k \atop 2}}$,

pour désigner une lettre $a$ dont les indices sont

${k \atop 1}\quad {\text{et}}\quad {k \atop 2};$