Page:Hilbert - Les Principes fondamentaux de la géométrie, 1900, trad. Laugel.djvu/91
L’on sait que le théorème de Desargues (théorème XXXII) peut être démontre au moyen des axiomes I, H, III, c’est-à-dire en faisant essentiellement usage des axiomes spatiaux ; dans le § 23, j’ai démontré qu’il est impossible de démontrer ce théorème sans invoquer les axiomes spatiaux du groupe 1 et sans les axiomes de la congruencc IV, QUAXX Bt) ! N NÊME L’ON FEM ! T USAGE DE L’AX ! OME D’AnCHtMEM. Dans te § H nousavonsdéduitte théorème de Pascal (théorème XXI) et par conséquent aussi, conformément au § 22, celui de Desargues. des axiomes f, i, 2 ; II-IV, c’est-à-dire en excluant lesaxiomes spatiaux et en s’appuyant essentiettement sur les axiomes de ta congruence. ! t se présente donc ta question suivante LE TnËonËXE DE PASCAL pEUT-n. AUSSI ÊTRE DÉMOXTHÊ SANS INVOQUER LES AXIOMES DE LA COXGRUESCE ? Notre étude va nous montrer qu’à ce point de vue le théorème de Pascal se comporte d’une manière tout autre que le théorème de Desargues. En effet, L’ADOPTION ou LE HEJET DE L’AXtOME n’ARCMfMÈCE dans la démonstration du théorème de Pascal est la pierre de touche de l’exactitude de cette proposition. Nous réunirons les résultats essentiels de nos recherches dans les deux théorèmes suivants
THÉORÈME XXXVI. Le /M~ ! e de Pascal (théorème XXI) peut A/ie démontré en se basant sur les axiomes f, I I, lit, V, c’re en laissant de ed/e’les axiomes de la co/ « e/ ! ce, et en invoquant/’axiome ~</K~e.
THÉORÈME XXXVII. Le théorème de Pascal (théorème XXI) est impossible à démontrer en se basant « ~ OMCM~ I, II, III, c’<</<e
