Page:Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles Lettres (1746).djvu/317

Or, que les corps $A \,\!$ & $B \,\!$ se meuvent avec des vîtesses propres sur les plans mobiles, ou qu'ils y soient en repos, le mouvement de ces plans chargés des corps, étant le même: les Quantités d'Action, produites dans la Nature, seront $A (a - x)^{2} \,\!$, & $B (x - b)^{2} \,\!$; dont la somme doit être la plus petite qu'il soit possible. On a donc

$A a a - 2 A a x + A x x + B x x - 2 B b x + B b b = Minimum. \,\!$

Ou

$-A a dx + 2 A x dx + 2 B x dx - 2 B b dx = 0. \,\!$

D'où l'on tire pour la vîtesse commune

$x = \frac{A a + B b}{A + B} \,\!$

Dans ce cas, où les deux corps se meuvent du même côté, la quantité de mouvement détruite & la quantité produite, sont égales: & la quantité totale de mouvement demeure, apres le choc, la même qu'elle étoit auparavant.

Il est facile d'appliquer le même raisonnement au cas, où les corps se meuvent l'un vers l'autre: ou bien il suffit de considérer $b \,\!$ comme négatif par rapport à $a \,\!$: & la vîtesse commune sera

$x = \frac{A a - B b}{A + B} \,\!$

Si l'un des corps étoit en repos avant le choc, $b = 0 \,\!$; & la vîtesse commune est

$x = \frac{A a}{A + B} \,\!$

Si un corps rencontre un obstacle inébranlable, on peut considérer cet obstacle comme un corps d'une Masse infinie en repos: Si donc $B \,\!$ est infini, la vîtesse $x = 0 \,\!$.

Voions maintenant ce qui doit arriver, lors que les Corps sont Elastiques. Les Corps dont je vais parler, sont ceux qui ont une parfaite Elasticité.