Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/91

55

PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

variation exacte ; ce qui donne les équations suivantes aux différences partielles

${\frac {\partial .\rho \mathrm {P} }{\partial y}}={\frac {\partial .\rho \mathrm {Q} }{\partial x}},\ {\frac {\partial .\rho \mathrm {P} }{\partial z}}={\frac {\partial .\rho \mathrm {R} }{\partial x}},\ {\frac {\partial .\rho \mathrm {Q} }{\partial z}}={\frac {\partial .\rho \mathrm {R} }{\partial y}},$

d’où l’on tire

$0=\mathrm {P} {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial z}}-\mathrm {Q} {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial z}}+\mathrm {R} {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial y}}-\mathrm {P} {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+\mathrm {Q} {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}-\mathrm {R} {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial x}}.$

Cette équation exprime la relation qui doit exister entre les forces $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R} ,$ pour que l’équilibre soit possible.

Si le fluide est libre à sa surface ou dans quelques parties de cette surface, la valeur de $p$ sera nulle dans ces parties ; on aura donc $\delta p=0,$ pourvu que l’on assujettisse les variations $\delta x,$ $\delta y,$ $\delta z$ à appartenir à cette surface ; ainsi, en remplissant ces conditions, on aura

$0=\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z.$

Soit $\delta u=0$ l’équation différentielle de la surface ; on aura

$\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z=\lambda \delta u\ ;$

$\lambda$ étant une fonction de $x,y,z\ ;$ d’où il suit, par le n^o 3, que la résultante des forces $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R}$ doit être perpendiculaire aux parties de la surface dans lesquelles le fluide est libre.

Supposons que la variation $\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z$ soit exacte, ce qui a lieu, par le n^o 2, lorsque les forces $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R}$ sont le résultat de forces attractives. Nommons alors $\delta \varphi$ cette variation : on aura $\delta p=\rho \delta \varphi \ ;$ $\rho$ doit donc être fonction de $p$ et de $\varphi ,$ et, comme en intégrant cette équation différentielle on a $\varphi$ en fonction de $p,$ on aura $p$ en fonction de $\rho .$ La pression $p$ est donc la même pour toutes les molécules dont la densité est la même ; ainsi $\delta p$ est nul relativement aux surfaces des couches de la masse fluide, dans lesquelles la densité est constante, et l’on a, par rapport à ces surfaces,

$0=\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z.$

Il suit de là que la résultante des forces qui animent chaque molécule