Page:Poincaré - La Science et l’Hypothèse.djvu/28

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infinité de définitions ; ayant défini a*1 elle permet de définir successivement a* 2, a*3, etc.

Propriétés de la multiplication.Distributivité. — Je dis que

(a+ b)*c = (a*c) + (b*c).

On vérifie analytiquement que l’égalité est vraie pour c = 1 ; puis que si le théorème est vrai pour c = \gamma il sera vrai pour c = \gamma+1.

La proposition est encore démontrée par récurrence.

Commutativité. — 1° Je dis que

a*1 = 1*a

Le théorème est évident pour a = 1.

On vérifie analytiquement que s’il est vrai pour a = \alpha il sera vrai pour a = \alpha+1.

2° Je dis que

a*b = b*a.

Le théorème vient d’être démontré pour b = 1. On vérifierait analytiquement que s’il est vrai pour b = \beta il le sera pour b = \beta+1.

IV

J’arrête là cette série monotone de raisonnements. Mais cette monotonie même a mieux fait