Page:Poincaré - La Science et l’Hypothèse.djvu/28

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infinité de définitions ; ayant défini a × 1 elle permet de définir successivement : a × 2, a × 3, etc.


Propriétés de la multiplication.Distributivité. — Je dis que

(a + b) × c = (a × c) + (b × c).

On vérifie analytiquement que l’égalité est vraie pour c = 1 ; puis que si le théorème est vrai pour c = γ il sera vrai pour c = γ + 1.

La proposition est encore démontrée par récurrence.


Commutativité. — 1° Je dis que

a × 1 = 1 × a.
Le théorème est évident pour a = 1.

On vérifie analytiquement que s’il est vrai pour a = α il sera vrai pour a = α + 1.

2° Je dis que

a × b = b × a.
Le théorème vient d’être démontré pour b = 1. On vérifierait analytiquement que s’il est vrai pour b = β il le sera pour b = β + 1.


IV

J’arrête là cette série monotone de raisonnements. Mais cette monotonie même a mieux fait