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infinité de définitions ; ayant défini $a*1$ elle permet de définir successivement $a* 2$, $a*3$, etc.

Propriétés de la multiplication. — Distributivité. — Je dis que

$(a+ b)*c = (a*c) + (b*c)$.

On vérifie analytiquement que l’égalité est vraie pour $c = 1$ ; puis que si le théorème est vrai pour $c = \gamma$ il sera vrai pour $c = \gamma+1$.

La proposition est encore démontrée par récurrence.

Commutativité. — 1° Je dis que

$a*1 = 1*a$

Le théorème est évident pour $a = 1$.

On vérifie analytiquement que s’il est vrai pour $a = \alpha$ il sera vrai pour $a = \alpha+1$.

2° Je dis que

$a*b = b*a$.

Le théorème vient d’être démontré pour $b = 1$. On vérifierait analytiquement que s’il est vrai pour $b = \beta$ il le sera pour $b = \beta+1$.

IV

J’arrête là cette série monotone de raisonnements. Mais cette monotonie même a mieux fait