Page:Poincaré - La Science et l’Hypothèse.djvu/32

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en apercevoir les vérités générales d’une seule intuition directe ; pour parvenir au plus petit théorème, il ne pourra s’affranchir de l’aide du raisonnement par récurrence parce que c’est un instrument qui permet de passer du fini à l’infini.

Cet instrument est toujours utile, puisque, nous faisant franchir d’un bond autant d’étapes que nous le voulons, il nous dispense de vérifications longues, fastidieuses et monotones qui deviendraient rapidement impraticables. Mais il devient indispensable dès qu’on vise au théorème général, dont la vérification analytique nous rapprocherait sans cesse, sans nous permettre de l’atteindre.

Dans ce domaine de l’arithmétique, on peut se croire bien loin de l’analyse infinitésimale, et, cependant, nous venons de le voir, l’idée de l’infini mathématique joue déjà un rôle prépondérant, et sans elle il n’y aurait pas de science parce qu’il n’y aurait rien de général.


VI

Le jugement sur lequel repose le raisonnement par récurrence peut être mis sous d’autres formes ; on peut dire par exemple que dans une collection infinie de nombres entiers différents, il y en a toujours un qui est plus petit que tous les autres.

On pourra passer facilement d’un énoncé à l’autre et se donner ainsi l’illusion qu’on a démontré la légitimité du raisonnement par récurrence.