imaginaires, tout en restant dénués d’épaisseur, aient la forme d’une figure sphérique, et non d’une figure plane et soient tous sur une même sphère sans pouvoir s’en écarter. Quelle géométrie pourront-ils construire ? Il est clair d’abord qu’ils n’attribueront à l’espace que deux dimensions ; ce qui jouera pour eux le rôle de la ligne droite, ce sera le plus court chemin d’un point à un autre sur la sphère, c’est-à-dire un arc de grand cercle, en un mot leur géométrie sera la géométrie sphérique.
Ce qu’ils appelleront l’espace, ce sera cette sphère d’où ils ne peuvent sortir et sur laquelle se passent tous les phénomènes dont ils peuvent avoir connaissance. Leur espace sera donc sans limites puisqu’on peut sur une sphère aller toujours devant soi sans jamais être arrêté, et cependant il sera fini ; on n’en trouvera jamais le bout, mais on pourra en faire le tour.
Eh bien, la géométrie de Riemann, c’est la géométrie sphérique étendue à trois dimensions. Pour la construire, le mathématicien allemand a dû jeter par-dessus bord, non seulement le postulatum d’Euclide, mais encore le premier axiome : Par deux points on ne peut faire passer qu’une droite.
Sur une sphère, par deux points donnés on ne peut faire en général passer qu’un grand cercle (qui, comme nous venons de le voir, jouerait le rôle de la droite pour nos êtres imaginaires), mais il y a une exception : si les deux points
