donnés sont diamétralement opposés, on pourra faire passer par ces deux points une infinité de grands cercles.
De même dans la géométrie de Riemann (au moins sous une de ses formes), par deux points ne passera en général qu’une seule droite ; mais il y a des cas exceptionnels où par deux points pourront passer une infinité de droites.
Il y a une sorte d’opposition entre la géométrie de Riemann et celle de Lobatchevsky.
Ainsi la somme des angles d’un triangle est :
Égale à deux droits dans la géométrie d’Euclide.
Plus petite que deux droits dans celle de Lobatchevsky.
Plus grande que deux droits dans celle de Riemann.
Le nombre des parallèles qu’on peut mener à une droite donnée par un point donné est égal :
À un dans la géométrie d’Euclide,
À zéro dans celle de Riemann,
À l’infini dans celle de Lobatchevsky.
Ajoutons que l’espace de Riemann est fini, quoique sans limite, au sens donné plus haut à ces deux mots.
Les surfaces à courbure constante. — Une objection restait possible cependant. Les théorèmes de Lobatchevsky et de Riemann ne présentent aucune contradiction ; mais quelque nombreuses que soient les conséquences que ces deux géo-
