sions plus haut et que nous imaginions des êtres sans épaisseur vivant sur une de ces surfaces, ils regarderont comme possible le mouvement d’une figure dont toutes les lignes conservent une longueur constante. Un pareil mouvement paraîtrait absurde, au contraire, à des animaux sans épaisseur vivant sur une surface à courbure variable.
Ces surfaces à courbure constante sont de deux sortes :
Les unes sont à courbure positive, et peuvent être déformées de façon à être appliquées sur une sphère. La géométrie de ces surfaces se réduit donc à la géométrie sphérique, qui est celle de Riemann.
Les autres sont à courbure négative. M. Beltrami a fait voir que la géométrie de ces surfaces n’est autre que celle de Lobatchevsky. Les géométries à deux dimensions de Riemann et de Lobatchevsky se trouvent donc rattachées à la géométrie euclidienne.
Interprétation des géométries non euclidiennes. — Ainsi s’évanouit l’objection en ce qui concerne les géométries à deux dimensions.
Il serait aisé d’étendre le raisonnement de M. Beltrami aux géométries à trois dimensions. Les esprits que ne rebute pas l’espace à quatre dimensions n’y verront aucune difficulté, mais ils sont peu nombreux. Je préfère donc procéder autrement.
Considérons un certain plan que j’appellerai fondamental et construisons une sorte de diction-
