Page:Revue de métaphysique et de morale - 1.djvu/37

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les éléments du continu une sorte de lien intime qui en fait un tout, où le point ne préexiste pas à la ligne, mais la ligne au point. De la célèbre formule, le continu est l’unité dans la multiplicité, la multiplicité seule subsiste, l’unité a disparu. Les analystes n’en ont pas moins raison de définir leur continu comme ils le font, puisque c’est toujours sur celui-là qu’ils raisonnent depuis qu’ils se piquent de rigueur. Mais c’est assez pour nous avertir que le véritable continu mathématique est tout autre chose que celui des physiciens et celui des métaphysiciens.

On dira peut-être aussi que les mathématiciens qui se contentent de cette définition sont dupes de mots ; qu’il faudrait dire d’une façon précise ce que sont chacun de ces échelons intermédiaires, expliquer comment il faut les intercaler et démontrer qu’il est possible de le faire. Mais ce serait à tort ; la seule propriété de ces échelons qui intervienne dans leurs raisonnements[1], c’est celle de se trouver avant ou après tels autres échelons ; elle doit donc seule aussi intervenir dans la définition.

Ainsi il n’y a pas à s’inquiéter de la manière dont on doit intercaler les termes intermédiaires ; d’autre part, personne ne doutera que cette opération ne soit possible, à moins d’oublier que ce dernier mot, dans le langage des géomètres, signifie simplement exempt de contradiction.

Notre définition toutefois n’est pas complète encore, et j’y reviens après cette trop longue digression.


DÉFINITION DES INCOMMENSURABLES.

Les mathématiciens de l’École de Berlin, M. Kronecker en particulier, se sont préoccupés de construire cette échelle continue des nombres fractionnaires et irrationnels sans se servir d’autres matériaux que du nombre entier. Le continu mathématique serait, dans cette manière de voir, une pure création de l’esprit où l’expérience n’aurait aucune part.

La notion du nombre rationnel ne leur semblant pas présenter de difficulté, ils se sont surtout efforcés de définir le nombre incommensurable. Mais avant de reproduire ici leur définition, je dois faire

  1. Avec celles qui sont contenues dans les conventions spéciales qui servent à définir l’addition.