La contradiction cesse dès que le nombre des termes est regardé comme infini ; rien n’empêche par exemple de considérer l’ensemble des nombres entiers comme semblable à l’ensemble des nombres pairs qui n’en est pourtant qu’une partie ; et, en effet, à chaque nombre entier correspond un nombre pair qui en est le double.
Mais ce n’est pas seulement pour échapper à cette contradiction contenue dans les données empiriques que l’esprit est amené à créer le concept d’un continu, formé d’un nombre indéfini de termes.
Tout se passe comme pour la suite des nombres entiers. Nous avons la faculté de concevoir qu’une unité peut être ajoutée à une collection d’unités ; c’est grâce à l’expérience que nous avons l’occasion d’exercer cette faculté et que nous en prenons conscience ; mais, dès ce moment, nous sentons que notre pouvoir n’a pas de limite et que nous pourrions compter indéfiniment, quoique nous n’ayons jamais eu à compter qu’un nombre fini d’objets.
De même, dès que nous avons été amenés à intercaler des moyens entre deux termes consécutifs d’une série, nous sentons que cette opération peut être poursuivie au delà de toute limite et qu’il n’y a pour ainsi dire aucune raison intrinsèque de s’arrêter.
Qu’on me permette, afin d’abréger le langage, d’appeler continu mathématique du premier ordre tout ensemble de termes formé d’après la même loi que l’échelle des nombres commensurables. Si nous y intercalons ensuite des échelons nouveaux d’après la loi de formation des nombres incommensurables, nous obtiendrons ce que nous appellerons un continu du deuxième ordre.
Nous n’avons fait encore que le premier pas ; nous avons expliqué l’origine des continus du premier ordre ; mais il faut voir maintenant pourquoi ils n’ont pu suffire encore et pourquoi il a fallu inventer les nombres incommensurables.
Si l’on veut s’imaginer une ligne, ce ne pourra être qu’avec les caractères du continu physique, c’est-à-dire qu’on ne pourra se la représenter qu’avec une certaine largeur. Deux lignes nous apparaîtront alors sous la forme de deux bandes étroites, et si l’on se contente de cette image grossière, il est évident que si les deux lignes se traversent, elles auront une partie commune.
Mais le géomètre pur fait un effort de plus ; sans renoncer tout à fait au secours de ses sens, il veut arriver au concept de la ligne
