PRÉFACE
e traitement mathématique des principes des mathématiques, qui est le sujet du présent ouvrage, est née de la conjonction de deux études différentes, toutes deux très modernes. D’une part nous avons l’œuvre des analystes et des géomètres, dans la façon de formuler et systématiser leurs axiomes, et l’œuvre de Cantor et d’autres sur des sujets comme la théorie des agrégats. D’autre part nous avons la logique symbolique, qui, après une période de croissance nécessaire, a maintenant, grâce à Peano et ses disciples, acquit l’adaptabilité technique et la compréhension[1] logique qui sont essentielles à un instrument mathématique pour faire faire face à ce qui a jusqu’ici été les débuts des mathématiques. De la combinaison de ces deux études deux résultats ont émergé, à savoir :
- que ce qui était autrefois pris, tacitement ou explicitement, en tant qu’axiomes, s’avère soit inutile, soit démontrable ;
- que les même méthodes qui par lesquels les supposés axiomes sont démontrés donneront des résultats précieux dans des régions, telles que les nombres infinies, qui étaient jusqu’alors considérés inaccessible à la connaissance humaine.
Ainsi le champ d’application des mathématiques est agrandie à la fois par l’addition de nouveaux sujets et par un prolongement à rebours dans des provinces jusque-là abandonnés à la philosophie.
Le présent ouvrage fut initialement démarré avec l’intention de l’inclure dans un second volume à The Principles of Mathematics. Avec cet objectif en vu, son écriture a débuté en 1900. Mais alors que nous avancions, il devint de plus en plus évident que le sujet s’avère bien plus large que ce que nous avions supposé ; de plus sur de nombreuses questions fondamentales qui étaient restées obscures et incertaines dans le précédent ouvrage, nous sommes maintenant arrivé à ce que nous croyons être des solutions satisfaisantes. Il devint donc nécessaire de rendre notre livre indépendant de The Principles of Mathematics. Nous avons cependant évité à la fois la controverse et la philosophie général et avons fait nos assertions sous forme dogmatique. La justification de ceci est que la raison principale en faveur de toute théorie sur les principes des mathématiques doit toujours être inductive, c'est à dire qu'il doit se trouver dans le fait que la théorie en question nous permet de déduire les mathématiques ordinaires. En mathématiques, le plus haut degré d'évidence ne se trouve habituellement pas tout à fait au début, mais à un point un peu ultérieur ; par conséquent, les premières déductions, jusqu'à ce que ce point soit atteint, donnent plutôt des raisons
- ↑ Ndt : compréhension est à comprendre ici comme intention, comme opposé du concept logique d’extension
