Œuvres de Fermat/I/Méthodes de quadrature

La bibliothèque libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Œuvres de Fermat, Texte établi par Paul TanneryGauthier-Villars1 (p. 255-288).


DE ÆQUATIONUM LOCALIUM
TRANSMUTATIONE ET EMENDATIONE

AD MULTIMODAM
CURVILINEORUM INTER SE VEL CUM RECTILINEIS COMPARATIONEM,
CUI ANNECTITUR
PROPORT1ONIS GEOMETRICIE
IN QUADRANDIS INFINITIS PARABOLIS ET HYPERBOLIS
USUS.


In unica paraboles quadratura proportionem geometricam usurpavit Archimedes [1]; in reliquis quantitatum heterogenearumn comparationibus, arithmetic duntaxat proportioni sese adstrinxit. An ideo quia proportionem geometricam minus τετραγωνίζουσαν est expertus? An vero quia peculiare ab illa proportione petitum artificium, ad quadrandam primariam parabolen, ad ulteriores derivari vix potest? Nos certe hujusmodi proportionem quadrationum feracissimamn et agnoscimus et experti sumus, et inventionem nostram, quwa eadem omnino methodo et parabolas et hyperbolas quadrat, recentioribus geometris haud illibenter impertimur.

Unico, quod notissimum est, proportionis geometricse attributo tota hæc methodus innititur; theorema hoc est:

Data quavis proportione geometricd, cujus termini decrescant in infinitum, est ut differentia terminorumn progressionem constituentium ad minorem terminum, ita maximus progressionis terminus ad reliquos omnes in infinitum sumptos.

Hoc posito, proponantur primo hyperbolae quadrandae.

Hyperbolas autem definimus infinitas diverse speciei curvas, ut DSEF (fig. I42), quarum haec est proprietas ut, positis in quolibet

Fig. 142.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 142.png

angulo date RAC ipsarum asymptotis rectis AR, AC, in infinitum, si placet, non secus ac ipsa curva extendendis, et ductis uni asymptoton parallelis rectis quibuslibet GE, HI, ON, MP, RS etc., sit ut potestas quaedam rectae AH ad potestatem similem rectae AG, ita potestas rectae GE, vel similis vel diversa a praecedente, ad potestatem ipsi homogeneam rectae HI. Potestates autem intelligimus, non solum quadrata, cubos, quadratoquadrata etc., quarum exponentes sunt 2, 3, 4 etc., sed etiam latera simplicia, quorum exponens est unitas.

Aio itaque omnes in infinitum huiusmodi hyperbolas, unica dempta quae Apolloniana[2]est sive primaria, beneficio proportionis geometricae, uniformi et perpetua methodo quadrari posse.

Exponatur, si placet, hyperbole cujus ea sit proprietas ut sit semper

ut quadratum rectae HA ad quadratum rectae AG,
ita recta GE ad rectam HI,
et
ut quadratum OA ad quadratum All, ita recta HI ad rectam ON,

etc. Aio spatium infinitum cujus basis GE, et curva ES ex uno latere, ex alio verb asymptotes infinita GOR, æquari spatio rectilineo dato.

Fingantur termini progressionis geometricm in infinitum extendendi, quorum primus sit AG, secundus AH, tertius AO, etc. in infinitum, et ad sese per approximationem tantum accedant quantum satis sit ut, juxta methodum Archimedeaim, parallelogrammum rectilineum sub GE in GH quadrilineo mixto GHIE adatquetur, ut loquitur Diophantus [3], aut fere aquetur; item, ut priora ex intervallis rectis proportionalium, GH, HO, OM et simnilia, sint fere inter se cquaalia, ut commode per ἀπαγωγὴν, per circumscriptiones et inscriptiones, Archimedea demonstrandi ratio institui possit: quod semel monuisse sufficiat, ne artificium quibuslibet geometris jam satis noturn inculcare sepius et iterare cogamur.

His positis, quum sit

ut AG ad AH, ita AHl ad AO, et ita AO ad AM,

erit pariter

ut AG ad AH, ita intervallum GHI ad HO, et ita intervallum HO ad OM,

etc.

Parallelogrammum autem sub EG in G-H erit

ad parallelogrammum sub III in HO

ut parallelogrammum sub HI in HO

ad palallelogrammum sub NO in OM:

quum enim ratio parallelogrammi sub GE in GH ad parallelogrammum sub HI in 1HO componatur ex ratione rect' GE ad rectam HI et ex ratione recta, GH ad rectam HO, sit autem

ut GH ad HO, ita AG ad AH,

ut præmonuimus, ergo ratio parallelogrammi sub EG in GHl ad paral lelogrammum sub HI in HO componitur ex ratione GE ad HI et ex ratione AG ad AH. Sed

ut GE ad HI, ita, ex constructione, HA quadratum ad quadratum GA,
sive, propter proportionales,
ita recta AO ad rectam GA:
ergo ratio parallelogrammi sub EG in GH ad parallelogrammum sub

HI in HO componitur ex ratione AO ad AG et AG ad AH. Sed ratio AO ad AH componitur ex illis duabus: ergo parallelogrammum sub GE 'in GH est ad parallelogrammum sub HI in HO ut OA ad HA, sive ut HA ad AG.

Similiter proabiltur parallelogrammum sub HI in HO esse ad parallelogrammum sub ON in OM ut AO ad HA.

Sed tres rectse q(lu constituunt rationes parallelogrammorum, rectæ nempe AO, HA, GA, sunt proportionales ex constructione: ergo parallelogramma in infinitum sumpta, sub GE in GH, sub HI in HO, sub ON itl OM, etc., erunt semper continue proportionalia in ratione rectat HA ad GA. Est igitur, ex theoremate hujus methodi constitutivo,

ut GH, differentia terminorum rationis,

ad minorem terminum GA,

ita primus parallelogrammorum progressionis terminus,

hoc est parallelogrammum sub EG in Gt,

ad reliqua in infinitum parallelogramma,
hoc est, ex adxequatione Archimedea, ad figuram sub II, asymptoto HR et curva IND in infinitum extendenda, contentam.

Sed ut HG ad GA, ita, sumpta communi latitudine recta GE, parallelogrammum sub GE in GH ad parallelogrammum sub GE in GA: est igitur

ut parallelogrammum sub GE in GH

ad figuram illam infinitam cujus basis HI,

ila idem parallelogrammum sub GE in GH

ad parallelogrammum sub GE in GA.

Ergo parallelogrammum sub GE in GA, quod est spatilum rectilineuml datum, adequatur figure predicts; cui si addas parallelogranmmumr sub GE in GH, quod propter minutissinos u^-ytagy.oj. evanesc:t et abit in nihilum, superest verissilum et Archlimedea (licet prolixiore) demonstratione facillime firmandum: parallelogrammum AE, in hac hyperboles specie, sequari figure sub base GE, astymptoto GR et curva ED in infinitum producenda, contentæ.

Nee operosum ad omnes omnino lhjusmodi bvperbolas, unh, ut diximus, dempta, inventionem extendere. Sit enim ea alter7ius, si placet, lyper)boles proprietas,

ut sit GE ad HI ut cubus rectze HA ad cubum rectæ GA,

et sic de reliquis.

Expositaf ex more infiniti proportionaliuln, ut supra, serie, tient proportionalia parallelogramma EH, 1O, AMN, ut supra, in infinitum: in hoc verb casu, parallelogrammum primunm erit ad secundum, secundum ad tertium, etc. ut recta AO ad GA; quod statirm compositio proportionum manifestabit. Erit igitur

ut parallelogralmmum EH ad figuram, ita recta O1 a(d (;

et, sumpta communi latitudine GE,

ita parallelogramrmuml sub () in GE ad parallelogralmmum sub GE in GA:

est igitur

ut parallelogrammum5 sub OGC in GE ad parallelogrammnumn sub GE in GA,ita parallelogrammum sub GE in G(1 ad figuram,

et, vicissim,

ut parallelogrammum sub OG in GE ad parallelogrammumn sub GE in GH, ita parallelogrammum sub GE in GA ad figuram.

Ut autem

parallelogrammum sub OG in GE ad parallelogrammum sub HG- in GE,
ita OG ad GH, sive 2 ad i, ex adatquatione:

intervalla enim basi proxima facta sunt, ex constructione, fere æqualia inter se. Ergo, in hac hyperbole, parallelogrammum EGA, quod est æquale spatio rectilineo date, est duplum figurea sub base GE, asymptoto GR, curva ESD in infinitum producenda, contenta.

Similis in quibuslibet aliis casibus habebit locum demonstratio, nisi quod in primaria (sive Apolloniana et simplici) hyperbole deficit ea sola ratione methodus, quia in hac parallelograimma EH, IO, NM sunt semper inter se 3equalia; atque ideo, quum termini progressionis constitutivi sint inter se æquales, nulla inter eos est differentia quse totum in hoc negotio conficit mysterium.

Demonstrationem, qua probatur spatia in hyperbole communi parallelogrammis contenta esse semper inter se æqualia, non adjungimus, quum statim per se ipsa se prodat et ex hac unica proprietate, qua- asserit in ea specie esse

ut GE ad HI, ita:HA ad GA,

facillime derivetur.

Eadem ratione parabolce omnes omnino quadrantur, nec est ulla quæ ab artificio nostræ methodi, ut fit in hyperbolis, possit esse immunis.

Unicum in parabole, si lubet, primaria et Apolloniana adjiciemus exemplum, cujus exemplo reliqumT omnes, in quibuslibet in infinitum parabolis, demonstrationes expedientur.

Sit semiparabole primaria AGRC (fig. 143), cujus diameter CB, semibasis AB; sumptis autern applicatis IE, ON, GM etc., sit semper

ut quadratumn AB ad quadraturn IE, ita recta BC ad CE,

et

ut quadratum IE ad quadratum ON, ita recta CE ad CN,

et sic in infinitum ex proprietate specifica paraboles Apollonianæ.

Intelligantur, ex more methodi, rects BC, EC, NC, MC, tC, etc. in infinitum continue proportionales: erunt etiam, ut superius probatum est, proportionalia parallelogramma AE, IN, OM, GH, etc. in infinitum. Ut cognoscatur ratio parallelogrammi AE ad parallelogrammum IN, recurrendum ex methodo ad compositionem proportionum.

Componitur autem

ratio parallelogrammi AE ad parallelogrammum IN
ex ratione AB ad IE et ex ratione BE ad EN.
Quum autem sit
ut AB quadraturm ad IE quadratum, ita BC ad CE,
si inter BC et CE sumatur media proportionalis CV, item inter EC et NC media proportionalis YC, erunt continue proportionales recte BC, VC, EC, YC, NC et
Fig. 143.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 143.png
ut BC ad EC, ita erit BC quadratum ad VC quadratum;
sed
ut BC ad EC, ita quadratum AB ad quadratum EI:
ergo
ut AB quadratum ad El quadratum,
ita erit BC quadratum ad VC quadratum,

et

ut AB ad IE, ita erit BC ad VC.
Ratio igitur parallelogrammi AE ad parallelogrammum IN componetur
ex ratione BC ad VC, sive VC ad CE, sive EC ad YC,
et ex ratione BE ad EN, sive, ex superius demonstratis [4], BC ad CE.

ratio autem quTe componitur ex his duabus rationibus,

BC nempe ad CE, et CE ad CY

est eadem que ratio BC ad CY: igitur

parallelogrammum AE est ad parallelogrammnum IN ut BC ad YC,

ideoque, ex thieoremate methodi constitutivo,

parallelogrammnum AE erit ad figuram IRCHE ut recta BY ad rectam YC,

ideoque

ut idern parallelogrammum AE ad totam figuram AIGRCB,
ita recta BY ad totam diametrum BC.

Ut autem BY ad totamn diametrum BC, ita, sumpta communi latitudine AB.

parallelogrammum sub AB in BY ad parallelogranmuim sub AB1 in BC,

sive parallelogrammum BD (duct5 AD, diametro parallela, occurrente tangenti CD in D): ergo

ut parallelogrammum AE ad totarn figuram semiparabolicam ARCB,
ita parallelogramnmumi sub AB in BY ad parallelogrammum BD,
et, vicissim,
ut parallelogrammum AE ad parallelogrammum subl AB in BY,
ita figura ad parallelogrammium BD.
Ut autem
parallelogrammun AE ad parallelogrammum sub AB in BY,
ita, propter communem latitudinem,
recta BE ad BY;
ergo
ut BE ad BY, ita figura ad parallelogrammum < BD >,
et, convertendo,
ut BY ad BE, ita parallelogrammum BD ad figuram ARCB.
Est autem BY ad BE (propter adaequalitatem et sectiones minutissimas, quod rectas BV, VE, EY, intervalla proportionalium repraesentantes, fere inter se supponit aequales) ut 3 ad 2: ergo
parallelogrammum BID ad figuram est ut 3 ad 2,

quae ratio congruit τετραγωνισμῷ paraboles Archimedeo, licet ab eo geometrica proportio alia ratione fuerit usurpata; methodum autem variare et diversam ab Archimede viam sectari necessum habuimus, quia sterilem proportionis geometricae ad quadrandas caeteras in infinitum parabolas applicationem deprehensam iri, insistendo vestigiis tanti viri, non dubitamus.

Demonstratio autem et regulae generales ex nostra methodo fere in omnibus omnino parabolis statim patebunt: sit enim, ut nullus amplius supersit dubitandi locus, parabole ea de qua mentionem fecit Dissertatio nostra de linearum curvarum cum lineis rectis comparatione [5], curva AIGC (fig. 44), cujus basis AB, diameter BC, et sit

ut cubus applicate AB ad cubum applicatae IE,
ita quadratum rectae BC ad quadratum rectae EC,

et reliqua ponantur ut supra, series nempe proportionalium rectarum BC, EC, NC, MC, etc., item series proportionalium parallelogrammorum AE, IN, OM, etc. in infinitum.

Fig. 144.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 144.png
Inter BC et EC sumantur duæ media proportionales VC, RC; item inter EC et CN sumantur etiam duæ mediæ proportionales SC, TC. Constat, ex constructione, quum
ratio BC ad CE sit eadem rationi EC ad NC,

fore quoque continue proportionales rectas BC, VC, RC, EC, SC, TC, NC. Est autem

ut AB cubus ad cubum IE, ita BC quadratum ad EC quadratum,
sive recta BC ad rectam NC;

quum autern sint, ut supra probavimus, septem continue proportionales, BC, VC, RC, EC, SC, TC, NC, ergo prima, tertia, quinta et septima erunt etiam continue proportionales, ideoque erit

BC ad RC ut RC ad SC et ut SC ad NC:

ut igitur

prima BC ad quartam NC, ita cubus primm. BC ad cuburn secutnda RC.

Sed

ut BC ad NC, ita probavimus esse cubum AB ad cubum IE:

ergo

ut cubus AB ad cubum IE, ita cubus BC ad cubumn RC,

ideoque

ut AB ad IE, ita BC ad RC.

Quum igitur ratio parallelogrammi AE ad parallelogrammum IN componatur

ex ratione AB ad IE et ex ratione BE ad EN, sive BC ad EC,

ergo eadem parallelogrammorum ratio componetur

ex ratione BC ad RC et BC ad EC.

Ut autem

BC, prima proportionalium, ad EC quartam,
ita RC tertia ad TC sextamn:

ergo parallelogrammi AE ad parallelogrammum IN ratio componitur
ex ratione BC ad RC et RC ad TC,

hoc est

parallelogrammum AE est ad parallelogrammum IN ut BC ad TC.

Parallelogrammum igitur AE, ex prædemonstratis, est ad figuram IGCE

ut recta BT ad TC,

ideoque

ut parallelogrammum AE ad totam figuram AICB,
ita recta BT ad rectam BC,

sive, sumpta communi latitudine AB,

ita parallelogrammum sub AB in BT ad parallelogrammum sub AB in BC;

et, vicissim et convertendo,

parallelogrammum BD est ad figuram AICB

ut parallelogrammum sub AB in BT ad parallelogrammum sub A in BE, sive, propter communem latitudinem AB,

ut recta BT ad rectam BE.

Recta autem BT continet quinque intervalla: TS, SE, ER, RV, VB, qute inter se, propter nostram methodum logarithmicam, censentur tequalia; recta autem BE continet tria ex iis intervallis, nempe ER, RV, VB: ergo

parallelogrammum BD est ad totam figuram in hoc casu ut 5 ad 3.

CANON vero universalis inde nullo negotio elicietur: patet nelmpe forec semper parallelogrammumi BD ad figuram AICB ut aggregatum exponentium polestatum applicatce et diametri ad exponentem potestatis aipiicatc: ut in hoc exemplo videre est, in quo potestas applicatw AB est cubus, cujus exponens 3; potestas autem diametri est quadratum, cujus exponens 2: ergo debet esse, ut jam demonstravimus et per petuo constabit, ut summa 3 et 2, hoc est 5, ad 3 exponentem applicatæ.

In hyperbolis autem canon non minori facilitate invenietur universalis: erit enim semper in quacumque hyperbole, si recurras ad primam figuram (fig. 142), parallelogrammum BG adfiguram in infinitum protensam RGED ut differeztia exponentium potestatum applicatia et diametri ad exponentem potestatis applicatæ.

Fig. 142.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 142.png

Sit enim, exempli gratia,

ut cubus HA ad cubum GA, ita quadratum GE ad quadratum HI.

Differentia exponentiurn cubi et quadrati (h' c est 3 et 2) erit I; exponens autem potestatis applicatte, hoc est quadrati, est 2: ergo, in hoc casu, parallelogrammum erit ad figuram ut i ad 2.

Quod attinet ad centra gravitatis et tangentes tam hyperbolarum quam parabolarum, inventio duduni, ex nostra Methodo de maximis et minimis derivata, geometris recentioribus innotuit, hoc est ante viginti, plus minus, annos [6]; quod celebriores totius Gallia mathematici non gravabuntur fortasse exteris indicare, ne hac de re in posterum dubitent.

Ex supradictis mirum quantam opus tetragonismicum consequatur accessionem: infinite enim exinde figuræ, curvis contentæ de quibus nihil adhuc nec veteribus nec novis geometris in mentem venit, facillimam sortiuntur quadraturam; quod in quasdam regulas breviter contrahemus.

Sit curva cujus proprietas det Tquationem sequentem:

Bq.-- Aq. æquale Eq.
(apparet autem statim hanc curvam esse circulum); certum est otestatem ignotam, Eq., posse reduci, per applicationem seu parabolismum, ad latus.

Possumus enim supponere

Eq. equari B in U,

quum sit liberum quantitatem ignotam U, in notam B ductam, aquare quadrato E etiam ignotæ.

Hoc posito,

Bq.- A q. (equabitur B3in U;

homogeneum autem 1 in/ U ex tot quantitatibus homogeneis comiponi potest quot sunt in parte æquationis correlativa; iisdemque signis hujusmodi homogenea debent notari. Supponatur igitur

Bin U equali B inI- Bin Y;

ex more enim Vieteo, vocales semper pro quantitatibus ignotis sumi.mus; ergo

Bq. - A q. æquatur in 1 - Bin Y.

iEquentur singula membra partis unius singulis membris partis alterius: sit nempe

Bq. æquale B inl;
ergo dabitur
I æqualis B.

AEquetur deinde

- Aq., - B in Y,
hoc est
Aq., Bin Y;

crit extremum punctum rectæ Yad parabolen primariam. Omnia igitur in hoc casu ad quadratum reduci possunt, ideoque, si omnia Equadrata ad rectam lineam datam applices, fiet solidum rectilineum datum et cognitum [7].

Proponatur deinde curva cujus hec sit æquatio

Ac + B in Aq. æqualis Ec.

Ec. applicetur ad planum datum et sit, verbi gratia, æqualis Bq. in U. Quia autem recta U ex pluribus quantitatibus ignotis componi potest, sit

Ac. +- B in Aq. æqualis Bq. in 1 + B q. in Y.

Aquentur singula inter se membra, hoc est

A c. æquetur Bq. in I;

orietur inde parabole sub cubo et latere.

AEquetur deinde

B in Aq. secundo membro Bq. in Y;

orietur inde parabole sub quadrato et latere, hoc est primaria.

Quadrantur autem singulse ex his parabolis; ergo aggregatum E cuborum ad rectam datam applicatorum producit planoplanum quantitatibus ejusdem gradus rectilineis commode æquandum.

Si sint plura in æquationibus membra, imo et sub plerisque utriusque quantitatis ignotse gradibus involuta, ad eamdem ut plurimum methodum, reductionum legitimarum ope, poterunt aptari.

Ex his patet, si in priori æquatione, in qua

Bq.- Aq. æquavimus Eq.,

loco ipsius Eq., ponamus Bif' U, posse nos aggregatum omnilum U, ad rectam datam applicatarum, considerare tanquam planum et quadrare: omnes enim U nihil aliud sunt quam ornnia Equadrata divisa per B rectam datam.

Item, in secunda tequatione, omnes U nihil aliud sunt quam omnes E cubi divisi per B quadratum datum.

Igitur, tam in prima quam in secunda figura, omnes U faciunt figuram wequalem spatio rectilineo dato.

Hoc autem opus fit per syneresim et expeditur, ut patet, per parabolas; sed non minus quadrationum ferax est opus per diseresim, quod per hyperbolas, aut solas aut parabolis mixtas, commode pariter expeditur.

Proponatur, si placet, curva ab sequatione sequenti oriunda :

æqualis Eq.

Ex jam suppositis Eq. potest fingi equale B in U, sive, ut tria hinc et inde membra sint in utraque parte æquationis,

B in U potest equari B in 0 +-B in I + in Y.

Quo peracto,

æquabitur B in O + B in I + B in Y.
et, æquando singula membra singulis,
æquabitur B in 0:

et, omnibus in Aqq. ductis,

Bcc. æquabitur Aqq. in Bin O;

et, omnibus abs B divisis,

Bqc. æquabitur Aqq. in 0,

quæ est æquatio ad unam ex hyperbolis, ut patet: æquationes enim hyperbolarum constitutivæ continent, ex una parte, quantitatem datam; ex alia vero, id quod fit sub potestatibus duarum quantitatum ignotarum.

Secundum membrum æquationis dat

Bqc. inA i. Bqc.

sive, equalis B in h

Aqq. Ac. en

et, omnibus in Ac. cductis et abs B divisis, fit

Bqq. æquale Ac. in I,

quæ est æquatio alterius hyperboles a priore diversæ.

Denique tertium membrum est

Acc.

-A c. hoc est A q. æquale B in Y,

A qq. h t

quæ est equatio ad parabolen.

Patet itaque in prwecedente æquatione omnes U ad rectam datam applicatas tequari spatio rectilineo dato: summa enim duarum hyperbolarum quadrationi obnoxiarum et unius paraboles dat spatium aquale rectilineo vel quadrato dato.

Nihil autem vetat quominus singula membra numeratoris separatim denominatori applicemus, ut jam factum est: eodem enim res recidit quo si integrum numeratorem ex tribus membris compositum eidem denominatori semel applicemus. Ita enim singula sequationis membra singulis homogenei correlati possunt commode comparari.

Proponatur etiam

Bqc. in A - Bcc. ari -- equari E c. Ac.

Fingatur Ec. aquari Bq. in U, sive, propter duo membra homogenei correlati,

Bq. in I- Bq. in Y.

Fiet

Bcqc. in A. Bqc. Bqc. in sive B. equalis Bq. in /, Ac. Aq.

et, omnibus in Aq. ductis et abs Bq. divisis, fiet

Bc. æqualis Aq. I,

quæ est æquatio ad unam ex hyperbolis quadrandis. Ponatur deinde secundum homogenei membrum

B cc.cc. æquari Bq. inY.

Igitur, omnibus in A c. ductis et abs Bq. divisis, fiet

Bqq. æquale A c. in Y,

qua est aquatio unius ex hyperbolis quadrationi obnoxiis constitu tiva.

Datur igitur, recurrendo ad primam œquationen, in rectilineis summa omnium E cuborum in hac specie ad certain rectam datam applicatorum.

SED et ulterius progredi et opus tetragonismicum promovere nihil vetat [8].

Sit in quarta figura (fig. 145) curva quælibet ABDN, cujus basis HN,

Fig. 145.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 145.png

diameter HA, applicatse ad diametrum CB, FD, et applicatse ad basim BG, DE; et decrescant semper applicatwe a base ad verticem, ut hic HN est major FD et FD major est CB et sic semper. Figura composita ex quadratis HN, FD, CB ad rectam AH applicatis (hoc est solidum sub CB quadrato in CA et sub FD quadrato in FC et sul NH quadrato in HF) 3equalis est semper figuræ sub rectangulis BG in GH, DE in EH, bis sumptis et ad basim HN applicatis (hoc est solido sub BG in GH bis in GH et sub DE in EH bis in EG) etc. utrimque in infinitum.

In reliquis autem in infinitum potestatibus, eadem facilitate fit reductio homogeneorum ad diametrum ad homogenea ad basim. Que olservatio curvarum infinitarum hactenus ignotarum detegit quadrationem.

Omnes enim cubi HN, FD, CB, ad rectam AH similiter applicati, sequales sunt aggregato productorum ex BG in GH quadratum et ex DE in EH quadratum, ad rectam HN, similiter ut supra, applicatorum et ter sumptorum: hoc est planoplanum sub CB cubo in CA et sub DF cubo in FC et sub HN cubo in HF æquatur summæ planoplanorum ex BG in GH quadratum in HG et ex DE in EH quadratum in EG, ter sumptæ.

Aggregatum vero quadratoquadratorum HN, FD, CB ad rectam AH applicatorum wequatur quadruplo summue planoplanorum sub BG in GH cubum et sub DE in EH cubum, ad rectam HN, similiter ut supra, applicatorum.

Inde emanant infinite, ut statim patebit, quadraturie.

Esto enim, si placet, curva illa ABDN ejus naturæ ut, data base HN et diametro HA, diameter data AH vocetur in terminis analyticis B, ipsa verb HN, basis data, vocetur D, quselibet applicata FD vocetur E et quælibet HF vocetur A; et sit, verbi gratia, wequatio curvw constitutiva

Bq. -A q. cæquale Eq.,

quod in circulo ita se habet.

Quum ergo, ex prœdicto theoremate universali, omnia E quadrata ad rectam B applicata sint sequalia omnibus productis ex HG in GB < bis sumptis et > ad basim HN sive ad D applicatis; sint autem omnia E quadrata, ad B applicata, æqualia [spatio] [9] rectilineo dato, ut superius probatum est: ergo omnia producta ex HG in GB, bis sumpta et ad basim D applicata, continent [spatium] rectilineum datum. Ergo, sumendo dimidium, omnia producta ex IG in GB ad basim D applicata erunt equalia [spatio] rectilineo dato.

Ut autem facillima et nullis asymmetriis involuta fiat translatio prioris curvxe ad novam, ita constanti artificio, qut est nostra methodus, operari debemus.

Sit quodlibet ex productis ad basim applicandis, HE in ED. Quum igitur FD sive HE, ipsi parallela, vocetur in analysi E, et FH sive DE, ipsi parallela, vocetur A, ergo productum sub HE in ED vocabitur E in A. Ponatur illud productum E in A, quod sub duabus ignotis et indefinitis rectis comprehenditur, sequari B in U, sive producto ex B data in U ignotam, et intelligatur EP, in directum ipsi DE posita, æquari U.

Ergo

B in U/E- æquabitur A.

Quum autem Bq.- Aq. a quetur, ex proprietate specifica prioris curvæ, ipsi Eq., ergo subrogando, in locum A, ipsius novu-m valorem

B in U/E

fiet

Bq. in Eq. - Bq. in Uq. æquale Eqq.,

sive, per antithesim,

Bq. inEq. -Eqq. æquale Bq.in Uq.,

que est aquatio novTe HOPN curvec ex priore oriundte constitutiva, in qua, quum omnia producta ex B in U dentur, ut jam probatum est, si omnia ad B applicentur, dabitur summa omnium Uad basim applicatarum, hoc est, dabitur planum HOPN <in> rectilineis, ideoque ipsius quadratura. Sit, secundi exempli gratia, 9equatio prioris curvæ constitutiva

B in Aq.- Ac. equale Ec.

Surmma omnium E cuborum ad diametrum B applicatorum dabitur, ideoque summa omnium productorum ex quadratis HE in ED ad basim applicatorum. Productum autem ex HE quadrato in ED fit, in terminis analyticis, Eq. in A, quod fingatur cequari Bq. ibn U, et recta EP, ut supra, Sequatur U. Ergo

Bq. in U/Eq. æquabitur A.

Si igitur, in locurn A, subrogemus jam agnitum illius valorem

Bq. in U/E q.

et omnia juxta Analyseos præcepta exsequamur, fiet

Bqc. in Uq. in Eq. - Eccc. aquale Bcc. in Uc.,

(que est equatio novæ HOPN curvæ ex priore oriundæ constitutiva, in qua, quum omnia producta Bq. in U ad basim D applicata dentur, omnibus per Bq. datum divisis, dabitur summa omnium U ad basim D applicatarum, ideoque quadratutra figurie HOPN.

Et est generalis, ad omnes omnino casus extendenda in infinitum, methodus. Notandum porro et accurate advertendum in translationibus curvarum, quarum applicatæ ad diametrum versus basim decrescunt, aliam omnino viam analystis ineundam, a prwecedenti diversam.

Sit enim in quinta figura (fig. 146) prior curva IVCBTYA, cujus diameter AI, applicate MV, NC, OB, PT, QY, et ejus curva ea sit natura ut applicat' versus basim semper decrescant, donec ad basim perveniant, ita ut MV sit minor quam NC; rursus autem ita curva versus A, per tramitem CBYA, inflectatur, ut CN sit major quam BO, BO major quam PT, PT major quam QY, etc.; ita ut omnium applicatarum maxima sit CN.

Si in hoc casu quseramus translationem quadratorum MV, NC ad basim, ea non comparabimus productis sub IR in RV, ut supra, quia jam, ex tleoremate generali, suppositum est omnia quadrata MV, NC qequari productis sub VG in GN, quum CN, maxima applicatarum, possit et debeat considerari ut basis respectu curvse cujus vertex I,

Fig. 146.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 146.png

Quadrata igitur MV, NC, in curva quarum applicatæ decrescunt versus basim, comparabuntur in hoc casu productis < ex > GV in GN, hoc est, ut ad terminos analyticos sequatio in hac figura perveniat, si MI vel RV vocetur A, et ipsa MV sive RI vocetur E, ipsaque CD sive GR (quæ ducte, per terminum maximæ applicatarum, ipsi diametro parallelæ, est æqualis ideoque facile ex nostris methodis invenienda) rectæ datæ Z æqualis supponatur, fiet

productum ex GV in GN equale producto ex Z in E - A in E,

ideoque omnia quadrata MV, NC, usque ad maximam applicatam, comparabuntur productis

Z in E - A in E

ad basim ID applicandis.

Reliqua vero quadrata CN, BO, PT comparabuntur productis ex YF in FN, qute in terminis analyticis æquivalebunt

A in E - Z in E.

Quibus ita stabilitis, facillime ex priore curva nova versus basim derivabitur, idemque in aliis omnino applicatarum potestatibus erit observandum.

Ut autem pateat novas ex nostra hac methodo emergere quadraturas, de quibus nondum recentiorum quisquam est aliquid subodoratus, proponatur præcedens curva, cuj us æquatio

æqualis Ec.

Dantur omnes E cubi in rectilineis, ut jam probatum est. Quibus ad baisim translatis, fiet, ex superiori methodo,

æquale A,

et, omnibus secundum artem novo ipsius A valori accommodatis, evadet tandem nova Pequatio quse dabit curvam ex parte basis; cujus xquatio dabit

E c. + Uc. equalis Bin E in U,

qua est curva Schlotenii [10], cujus constructionem tradit in Sectione 25 Mliscellacteartw?, pag. 493. Figura itaque curva AKOGDLA (jig. 147) qut apud illum autorenm delineatur, ex superioribus prceptis quadrationem suan commode nanciscetur.

Fig. 147.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 147.png

Notandum autem ex curvis, in quibus aggregatum potestatum applicatarum datur, formari non solum curvas ad basim quadrationi obnoxias, sed etiam alias curvas ad diametrum facile quadrandas. Si enim in quarta figura (fig. 145) supponatur æquatio curva constitutiva, ut superius diximus,

Bq.- A q. aquale E q.,

non solum ex ea derivabitur nova curva ad basim, cujus sequatio est

Bq. in Eq. -E qq. equale Bq. in Uq.,

sed etiam nova curva ad diametrum, æquando potestatem applicate, quæ est Eq., producto B in U.

Dabuntur enim omnia producta B in U ad diametrum applicata et, omnibus per B divisis, dabuntur omnes Udiametro applicatse, ideoque quadratura curvæ novæ ex priore versus diametrum oriundœ, cujus tequatio erit

Bq. -A q. æquale Bin U;

unde statim apparet novam illam curvam versus diametrum esse parabolen.

Hujusmodi autem transmutationum beneficio, non solum ex prioribus curvis oriuntur novte, sed itur, nullo negotio, a parabolis ad hyperbolas et ab hyperbolis ad parabolas, ut experientia constabit. Sicut autem a curvis, in quibus dantur potestates applicatarum, fit, precedentis ope analyseos, translatio ad curvas, in quibus latera applicatarum in rectilineis dantur, ita ex curvis in quibus dantur latera applicatarum, devenitur facile ad curvas, in quibus potestates applicatarum dantur.

Cujus rei exemplum esto curva, cujus equatio

Bq. in Eq. -Eqq. equale Bq. in Uq.

In hac enim æquatione, ut jam probatum est, dantur omnes U. Ponatur

U æqualis esse

et, subrogando in locum ipsius U, novum ipsi assignatum valorem, , fiet

Bq. in Eq.-Eqq. æquale Aq. in Eq.
et, omnibus abs Eq. divisis, remanebit
Bq. -Eq. æquale Aq.

sive

Bq.- Aq. æquale Eq.

Dabuntur igitur in hac nova curva, quam apparet esse circulum, omnia E quadrata.

Quod si, ex prima curva in qua dantur latera applicatarum, queratur nova in qua dentur cubi applicatarum, eadem methodo utendum, modo potestates ignotarum conditionarias usurpemus.

Proponatur enim curva quam superius ex alia deduximus, et sit illius æquatio

B qc. in Uq. in Eq. - Eccc. æqualis Bcc. in Uc.

Probatum est in illa dari aggregatum omnium U, hoc est, latera applicatarum. Ut itaque ex ea nova curva derivetur, in qua omnes cubi applicatarum dentur, ponatur

U æquari

et in locum U substituatur novus iste quem ipsi assignavimus valor, fiet tandem, operando secundum præcepta artis, æquatio

inter BinAq.-Ac. et Ec.,

quæ dabit curvam in qua omnes Ec., cubos applicatarum repræsentantes, dabuntur.

Ex hac autem methodo non solum dantur et inveniuntur quadrationes infinitse, nondum geometris cognitæ, sed multæ etiam pariter infinite deteguntur curvæ, quarum quadrature, supponendo simpliciores quadraturas, ut circuli, ut hyperboles, ut aliarum, expediuntur.

Exempli gratia, in æquatione circuli, in qua

Bq. -Aq. æquatur Eq.,

dantur quidem in rectilineis omnes applicatarum potestates, quarum exponentes signantur numero pari, ut omnia quadrata, omnia quadratoquadrata, omnes cubocubi, etc.; sed potestates applicatarum, qua rum exponentes signantur numero impari, ut omnes E cubi, omnes E quadratocubi, dantur tantum in rectilineis, supponendo ipsamn circuli quadraturam. Quod non est operosum demonstrare et in praxin redigere, tanquam corollarium methodi præcedentis.

Plerumque autem usuvenit ut iterandæ vel bis vel etian sepius sint operationes ad inquirendam curvt propositse dimensionem.

Proponatur, exempli gratia, curva cujus Tquatio sequens speciem determinet:

Be. æqualis Aq. inE - Bq. in E.

Si dantur omnes E, ergo dantur omnia sub recta data (B videlicet) in E rectangula. Rectangulum B in E, invertendo superiorem, de qua egimus in principio Dissertationis, methodun, tequetur quadrato, Oq. Ergo

Oq./B aquabitur E

et, substituendo, in locum E, novum hunc ipsi assignatum valorem, fiet

Bqq. æquale Aq, in Oq. + Bq. in Oqo

Et hæc sit prima operatio, quæ est inversa ejus quam initio hujus Dissertationis præmisimus, et quæ novam curvam exprimit, in qua inquirendum restat an dentur omnia Oq. Recurrendum igitur ad secundam methodum, cujus beneficio ex quadratis applicatarum latera novæ curvse inquirimus.

Ponatur B in U/O,U ex superiore quam secundo loco exhibuimus methodo, æquari A et, substituendo, in locum A, ipsi jam assignatum ex nostra methodo valorem, fiet

Bqq. - Bq. in Oq. equale Bq. in Uq.

et, omnibus per Bq. divisis, evadet tandem

Bq.- Oq. aquale Uq.,

quse æquatio dat circulum, et in ea omnes U dantur, supponendo quadraturam circuli. Recurrendo igitur ad priorern curvam, in qua

Bc. ponitur æquari Aq. in E + Bq. in E,

patet spatium ab ea curva oriundum per quadraturam circuli posse quadrari, idque per duas curvas a priore diversas analysis nostra breviter et facile expedivit.

MHec vero omnia et ad inventionem rectarum curvis œqualium et ad pleraque alia non satis hactenus indagata problemata inservire statim experiendo &y. vou; analysta deprehendet.

Sit in sexta figura (fig. i48) parabole primaria ADB, cujus axis CB,

Fig. 148.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 148.png

applicata CD æqualis axi CB et recto lateri BV, fiantque BP, PL, LG singulæ xequales axi CB et ipsi in directun. Sumatur in curva quodvis punctunm, ut F, et, datis infinitis BX, PS, LO ipsi CD parallelis, ducatur FXSOK parallela axi, occurrens rectis < BX >, PS, LO in punctis < X >, S et 0; et fiat ut summa rectarum FX, XS sive

ut tota FS ad SO, ita SO ad OK;

et, sumptis similiter punctis D, E, fiat

ut DR ad RN, ita RN ad NI,

et

ut EQ ad QM, ita QM ad MHt;

et intelligatur curva infinita per puncta G, H, I, K etc. incedens, cujus asymptotos erit recta infinita LO.

Curva hlec GHIK est ea cujus species a superiori æquatione determinatur, in qua B c. aquatur Aq. in E + Bq. in E. Aio itaque, ex jam tradita operationum analytica iteratione, spatium KIHGLMNO, in infinitum versus puncta K, 0 extendendum, Sequale esse circulo, cujus diameter est axis BC, < bis sumpto >.

Hanc vero quacstionem, ab erudito geometra nobis propositam, ita statim expedivimus: eadem methodo spatium a Dioclea comprehensum quadravimus, vel ad circuli quadraturam reduximus[11].

Sed elegans imprimis operationum iteratio evadit, quum ab altioribus applicatarum potestatibus ad depressiores, vel contra a depressioribus ad altiores, analysis ipsa transcurrit: cui methodo prtesertim debeatur inquisitio summœ applicatarum in quacumque curva proposita, et multa alia problemata tetragonismica.

Proponatur, verbi gratia, curva cujus æquatio

Bq.-Aq. æquale Eq.,

quam statim apparet esse circulum. Quæritur summa cuborum applicatarum, hoc est, summa E cuborum.

Si dantur omnes E cubi, ergo, per præcedentes secundum potestatis conditionem methodos, ex ea curva potest alia ad basim derivari, in qua dabitur summa applicatarum. Ponatur igitur ex methodo

Bq. in 0 /Eq. equari A:

ergo, substituendo, in locum A, jam assignatum ipsi valorem, fiet ex methodo

Bq. in Eqq. - Ecc. etquale Bqq. in Oq.,

que est æquatio curve, in qua omnes O dantur ex suppositione quam fecimus, in prima curva dari omnes E cubos.

Quum igitur in hac nova curva omnies O dentur, ex ea derivetur tertia, in qua quserantur quadrata applicatarum, non vero cubi, ut in priore curva jam suppositum est. Fingatur igitur ex nostra, qual in quadratis, ut jam supra diximus, usurpatur, methodo,

æquari O:
ergo
Bq. in Eqq.- Ecc. aequabitur Bq. in Eq. in Uq.
et, omnibus abs Eq. divisis, fiet
Bq. in Eq. - Eqq. aequale Bq. in Uq.;
et in hac curva omnia E quadrata dantur.

Si igitur ex hac curva quæramus aliam in qua omnes applicate dentur, ponatur, si placet,

Eq. æquale B in Y:
ergo, in ultima hac aequatione,
B in Y- Yq. aequabitur Uq.
et, quum iln superiore dentur omnia E quadrata, dabuntur in ista omnia rectangula B in Y, ideoque omnes Y.

Quum ergo omnes Y dentur in hac ultima curva, qu c est circulus, ut patet (igitur ea tantumn conditione dantur, si s upponas dari circuli quadraturam), regredicndo igitur ab hac ultima, in qua desinit nostra analysis, curva ad priorem, patet omnes applicatarum ad circulum cubos dari, supponendo circuli quadraturam.

Idem de quadratocubis, de quadratoquadratocubis et ceteris in infinitum gradus imparis potestatibus demonstrare est in promptu; sed multiplicatur numerus curvarum, prout altior est, de qua inquirimus, potestas.

Nec est difficilis ab analysi ad synthesin et ad verum quadrandae figurae calculum regressus.

Sapius autem contingit et miraculi instar est per plurimas numero curvas incedendum et exspatiandum esse analystas, ut ad simplicem, aequationis localis propositae dimensionem perveniatur. Proponatur, exempli causa [12],

æquari Eq.

Quum supponatur dari quadratura figuræ ex hac equatione oriulnde, dabuntur omnes A, ergo omnia B i A, qute si teques quadrato ignoto, Oq., dabuntur omnia Oq., et

A æquabitur ,
ideoque fiet æquatio
inter et Eq.

Ex hac nova curva, alia mnethodo de qua toties egimus, deduceturt tertia in qua, quia dantur omnia ( quadrata, ponatur

æquari E:
ergo fiet æquatio
inter et Uq.,
unde deducetur tertia curva [13],

in qua dabuntur omnies 0, ideoque omnes U.

Si dantur omnes U, ergo ex prima mIethodo dantur omnia sub B ib U rectangula. Sit

B in U æquale Yq.
ideoque
æquabitur U,

et fiet sequatio

inter et y

unde orietur quarta curva, in qua dabuntur omnia Yquadrata.

Ex ilia, solita methodo, deducatur alia curva et fiat

B in I / y æqualis 0.

Omnibus secundum pr cepta Analyseos peractis, fiet

B4 in Ya in Iq. - B4 in PY wequale I 10,

unde orietur quinta curva, in qua dabuntur omnes Y, ideoque omnes 1.

Ex ea, contraria quam jam ssepius inculcavimus methodo, quxaratur alia curva in qua dentur quadrata applicatarum, et sit

æqualis Y

(nihil enim vetat defectu vocalium ad priores supra usurpatas recurrere); fiet

Bq. in Al4 -- A6 æuale Bq in I,

unde orietur curva sexta in qua omnia I quadrata dabunturo Reducantur ad latera, nota et sspius iterata superius methodo, et fiat

Iq. cequale B in E

ergo omnia Bn wE dabuntur et inde deducetur septima curva, in qua

Bq. in A4~ A.G equabitur B:T in Eq.,

in eaque dabuntur omnes E, ideoque omnes A.

Ex ea deducatur alia curva, in qua dentur quadrata applicatarum, et ex methodo ponatur

æquari E
ergo
Bq. in A- A6 æquabitur Bq. in A q. in Oq.

et, omnibus abs Aq. divisis, fiet æquatio

inter Bq. inAq.-A ' et Bq. in Oq.,

in qua omniaA quadrata dabuntur et erit octava curva ab ea wequatione determinata.

Quum igitur in ea omnia A quadrata dentur, deducatur ex ehl alia tandem curva, in qua dentur latera, et sit

Aq. æquale Bin U;

fiet

Bin U- Uq. æquale Oq,

quæ ultima sequalitas dabit nonam curvam, in qua omnes U dabuntur.

At hæc ultima curva est circulus, ut patet, et in ea omnes U non dantur, nisi supposita circuli quadratura: ergo recurrendo ad primam curvse propositæ constitutionem, dabitur illius quadratura, supponendo ipsam ultimæ istius curvæ sive circuli quadraturam. Beneficio igitur novem curvarum inter se diversarum ad notitiam prioris pervenimus.




< DE CISSOIDE FRAGMENTUM >[14]


Esto cissois EAPS (fig. 149) in semicirculo LYABE, cujus centrum H, diameter LE, perpendicularis ad diametrum radius HA, asymptotos infinita cissoidis recta LR ad diametrum perpendicularis.

Aio spatium contenturn sub EL, cissoide infinita EAPS et asymptote infinita LR, esse triplum semicirculi LAE, ideoque, si altera semicirculi parte eadem fiat constructio, ambo spatia culminantia in puncto E esse tripla totius circuli.

Demonstratio non est operosa, imo satis elegans.

Sumantur duo puncta I et G in diametro, utcumque aqualiter a centro distantia, ita ut recte HI-, HG sint eequales, ideoque rectæ LI, GE. A punctis I et G excitentur perpendiculares occurrentes cissoidi

Fig. 149.
Fichier:Fermat - Livre I - Figure 149.png

in punetis P, Y et circulo in punctis V et B. Jungantur radii HV, HB et a punctis V et B ducantur tangentes VMI, BD, occurrentes diametro in punctis Mt et D. Sumatur minima quevis, ultra punctume I, recta IK et, ultra punctur G, recta GF ipsi IK wequalis, et a punctis K et F excitentur perpendiculares ad diametrum recte KN, FC occurrentes tangentibus in punctis N et C, a quibus demittantur perpendiculares NO, CQ in rectas VI, BG.

His ita constitutis, patet spatium cissoidale equari omnibus rectangulis sub PI < in > IK et sub YG < in > GF, utcumque ubilibet sumptis, bases ipsis KI, GF æquales habentibus et altitudines an gulis rectis ad cissoidem similiter applicatas. Est autem, ex natura cissoidis,

ut VI ad IE, ita IE ad IP;

sed IE est tequalis rectis IH et HE sive HV: ergo est

ut IV ad summam rectarum ITH, HV, ita IE ad IP.

Sed, propter similitudinem triangulorum HVI, VMI, VNO, est

ut IV ad summam rectarum HI, HV,
ita recta NO ad summam rectarum NV, VO

ergo

ut NO sive KI est ad NV plus VO, ita est recta IE ad rectam IP.

Rectangulum igitur sub IP < in > IK æquatur rectangulo sub IE in NV plus rectangulo sub IE in VO.

Ex alia autem parte, est, ex natura cissoidis,

ut BG ad GE, ita GE ad GY;

sed GE est æqualis recta HE sive HB minus HG: ergo est

ut BG ad BH minus HG, ita GE ad GY.

Ut autem BG ad BH minus HG-, ita, propter similitudinem triangulorum, ex jam demonstratis,

recta QC sive GF est ad BC minus BQ,

ideoque rectangulum sub YG in GF wequabitur rectangulo sub GE in BC minus rectangulo sub GE in BQ.

Ex constructione auttem, quum recta HI, HG sint æquales, item re.cte KI, GF, patet reliquas æquari, nempe VN ipsi BC, VO ipsi BQ uncle patet duo rectangula correlativa, sub PT in IK et sub YG in GF sive in eamdem IK, wequalia esse rectangulis sub IE in NV, plus GE in BC sive LI in NV, plus IE in VO, minus GE in BQ sive in VO. Rectangula autem duo sub IE in NV et sub LI in NV equantur unico rectangulo sub diametro LE in NV; rectangulum vero IE in VO minus GE in VO æquatur rectangulo sub IG in VO sive rectangulo sub IH sive VX in VO bis: ergo summa rectangulorum sub PI in IK et sub GY in eamdem IK Cequatur rectangulo sub diametro EL in VN et rectangulo sub VX in VO bis.

Rectangula autem omnia sub diametro et portionibus tangentium VN in quadrante circuli LVA ductarum reprtsentant rectangulum sub diametro in quadrantem LVA, hoc est dupluin semicirculi LAE; rectangula autem omnia sub VX in VO his sive, ducta OZQ parallela diametro, rectangula omnia sub VX in XZ his reprmsentant totum semicirculumn LAE.

Ergo spatium cissoidale, quod sequatur duobus illis rectangulorum seriebus, æquatur triplo semicirculi, ut patet.

  1. Archimède, Quadratura paraboles, prop. 23 et 24.
  2. Le nom d' hyperbole, comme ceux d' ellipse et de parabole, n'a pas été adopté avant Apollonius.
  3. Voir plus haut, page 133, note 2.
  4. Voir plus haut la démonstration pour les hyperboles.
  5. Voir plus haut, page 217, ligne i.
  6. Voir plus haut, page 171, note I.
  7. C'est-à-dire que, si l'on a

    et que b, par exemple, soit la recta lineca data, est une quantité (du troisième degré) que l'on sait déterminer. C'est dans le même sens qu'il faut interprêter les expressions analogues qui suivent.

  8. Ce qui suit correspond a l'enseignement de l'integration par parties et de l'int6gration par changemrent de variable.
  9. I1 faudrait solido. Le mot spatio a pu être écrit par inadvertance ou ajoute à tort sur l'original. De meme pour les repetitions spatium et spatio qui suivent.
  10. FR.xNCISCI A SCHOOTEN Exercitatlultm Mathematicalrum libri quinque (Leyde, Jean Elzevir, 1657). La fig. 147 est reproduite d'apres Schooten, qui donne sur cette courbe. d'apres J. Hudde, une construction de la plus grande largeur KL. 11 est singulier que ni Schooten ni Fermat n'aient fait mention de Descartes comme ayant propos6 le premier cette courbe, a laquelle Roberval donna le nonm de galand (nceud de ruban) et qui est ordinairement d6signee maintenant sous celui de folium de Descartes.
  11. Voir le fragment qui suit le présent Traité. Quant à la question qui précède, on ignore quel geometre l'a proposée a Fermat.
  12. Pour ce qui suit, jusqu'à la fin du Traité, on a reproduit la notation expollnetielle telle qu'elle se trouve dans les Vartla, où d'ailleurs elle n'apparait pas plus tôt. I1 est cependant douteux que Fermat, après avoir affect6 jusque-la de conserver la notation de Viète, l'ait abandonnee sans faire une remarque analogue a celle qu'il a inscrite dans lLl Traite de la même epoque (voir plus haut, p. 127, lignes 4 a 6 en remontant) pour ull occasion oh l'emploi des exposants s'imposait davantage ai lui; il est surtout douteux qu'il ait applique ici la nouvelle notation aussi systematiquement clue lindiqueraient les 'aria. En outre, dans cette fin du Traite, on pout soupconner d'autres remaniements du texte. Voir la note qui suit.
  13. Les Vartia, an lieu de tertia, portent quarta; tous les noms de nombre qui suivent, et qui sont inscrits on italiqus dans le etexte, sont de m6me augmentl s d'une unite. On peut admettre une inadvertance de Fermat; mais il est également possible que son lexte ait été corrige a tort ct meme dcefigur6 par l'addition de gloses dont l'auteur aura voLlu num6roter successivement les differentes courbes dont il est question.
  14. Fragment publié par M. Ch. Henry (Pierre de Carcavy etc., p. 38-4o), d'après le manuscrit de la Bibliotheque de Leyde, fonds Iuygens, n0 30. I1 suit la lettre de Carcavi à Huygens du 1er janvier 1662, et porte comme titre: De M. de Carcavy, qui l'avoit de M. de Fermat, avec la remarque de Huygens: « J'ay demonstré cette Proposition 4 ans auparavant. » La copie ne parait pas tres fidèle.