Œuvres de Fermat/I/Fragments géométriques

La bibliothèque libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Œuvres de Fermat, Texte établi par Paul TanneryGauthier-Villars1 (p. 70-90).


FRAGMENTS GEOMETRIQUES.
SOLUTIO PROBLEMATIS A DOMINO PASCAL PROPOSITI
[1]


Proposuit Dominus PASCAL hoc problema: Dato trianguli a anguo ad verticem et ratione quam habet perpendiculum ad diferentiam laterum, invenire speciem trianguli.

Exponatur recta quævis data AC (fig. 65), super quam portio circuli AIFC capax anguli dati describatur. Eo quæstionem deduximus ut, data basi AC, angulo verticis AIC, et ratione quam habet perpendiculum ad differentiam laterum, quæratur triangulum.

Fig. 65.
Fermat - Livre I - Figure 65.png

Ponatur jam factum esse et triangulum quæsitum esse AIC. Demittatur perpendiculum IB et, diviso arcu AFC bifariam in F, jungantur AF, FC [2] et, juncta IF, demittantur in rectas Al, IC perpendiculares CO, FK. Deinde centro F, intervallo AF, describatur circulus AHGEC, cui rectse CI, IF continuatæ occurrant in punctis G, 1, E; denique jungatur GA.

Angulus AFC ad centrum duplus est anguli AGC ad circumferentiarn; sed angulus AIC equatur angulo AFC in eadem portione: igitur angulus AIC duplus est anguli AGC. Sed angulus AIC equatur duobus angulis AGC, IAG: igitur anguli IGA, IAG sunt æquales, ideoque rectæ IA, IG. Sed, quum a centro F in rectam GC cadat perpendicularis FK, equales sunt GK, KC, ideoque KI est dimidia differentia inter rectas CI, IG, hoc est inter rectas CI, IA.

Data est autem ratio perpendiculi lB ad differentiam laterum CI, IA ergo datur ratio BI ad IK et, singulis in rectam AC ductis, data est ratio rectanguli sub AC in BI ad rectangulum sub AC in IK. Sed rectangulum sub AC in B1I equatur rectangulo sub Al in CO; est enim utrumque cuplum trianguli AIC: ergo ratio rectanguli sub Al in CO ad rectangulum sub AC in IK dáta est.

Datur autem ex hypothesi angulus AIC et rectus est CO1 ex construetione: ergo datur specie triangulumI CO1; ratio igitur CO ac CI data est, ideoque rectanguli sub Al in CO acl rectangulum sub Al- in IC ratio datur. Sed probavimus rationem rectanguli sub Al in CO ad rectangulum sub AC in IK dari: ergo datur ratio rectanguli AIC ad rectangulum sub AC in IK.

Jam in triangulo AFC datur angulus AFC ex hypothesi: ergo angulus FAC datur, cui aqualis (IF idcirco dabitur. Est autem rectus angulus FKI: ergo triangulum FIK datur specie, ideoque rect'e KI ad IF ratio data est, ideoque rectanguli < sub > AC in IK ad rectangulum sub AC in IF datur ratio. Probatum est autem dari rationem rectanguli AI in IC ad rectangulum AC in IK: ergo datur ratio rectanguli AI in IC ad rectangulum AC in IF. Est autemn rectangulum CIG æquale rectangulo CIA, quia rectæ IG, IA sunt æquales, et rectan gulo CIG æquatur rectangulum HIE: ergo ratio rectanguli HIE ad rectangulum sub AC in IF data est.

Sit data ratio ED ad AC; quum igitur AC sit data, dabitur ED, quaponatur rectæ HE in directum ut in figura prima. Rectangulum igitur HIE ac rectangulum AC in IF est in ratione data ED ad AC; sed, ut DE ad AC, ita DE in IF ad AC in F: igitur, ut rectangulum HIE est ad rectangulum AC in IF, ita rectangulum DE in IF ad rectangulum AC in IF: rectangulum igitur DE in IF sequatur rectangulo HIE.

Probatum est triangulum AFC dari specie; sed datur basis AC magnitudine: ergo datur AF, ideoque dupla ipsius EH datur.

AEqualibus rectangulis DE in IF et HIE addatur rectangulum sub DE in IH: fiet rectangulum sub DE in FfH æquale rectangulo DIH. Datur autem rectangulum sub DE in FH, quia utraque rectarum DE, FH datur: datur igitur rectangulum DIH et ad datam magnitudinem DH applicatur deficiens figura quadrata; ergo recta IH datur, ideoque reliqua IF. Datur autem punctum F positione: ergo datur et punctulm I et totum triangulum AIC.

Non est difficilis ab analysi ad synthesin regressus; sed, ut omne dubium tollatur, probatur facillime triangulum qusesitum esse simile invento AIC in secunda figura (fig. 66): triangulum autem AIC ex utravis parte puncti F verticem habere potest in æquali a puncto F utrimque distantia; erit enim idem specie et magnitudine, et positio variabit.

Fig. 66.
Fermat - Livre I - Figure 66.png

Si enim triangulum quæsitum non est simile invento, manente eadem basi, ejus vertex vel ibit inter puncta F et I, vel inter puncta I et A.; ex utravis parte nihil interest, nam de parte FC idem secundum triangulum AIC pari demonstratione concludit.

Sit primum vertex inter A et I et triangulum qyuwsitum ponatur, si fieri potest, simile triangulo AMC. Jungatur FM et demittatur perpendicularis FP. Erit ratio perpendiculi MIN ad MAP data ex hypothesi, ideoque tequalis rationi IB ad IK quam probavimus date equale: quod est absurdum.

Quum enirn in triangulo FMP angulus ad AI equatur angulo ad I trianguli IFK, erunt similia triangula FIK, FMP. Sed FM est major FI : ergo MP est major IK. Est autem MN minor IB: non igitur eadem potest esse ratio MN ad MP quæ IB ad 1K.

Si punctum M sit inter 1 et F, probabitur augeri perpendiculum et minui differentiam laterum, idque eadem argumentatione, ideoque variare proportionem. Si punctum M sit in portione FC, utemur secundo triangulo AIC et erit eademc demonstratio, ut inutile sit diutius in his casibus immorari.

Constat igitur triangulum quetsitum invento AIC esse simile, et patet proposito esse satisfactum.

Proponitur, si placet, tam Domino Pascal quam Domino Roberval solvendum hoc problema:

Ad datum puncturn iln helice Balialni [3] invenire tangentem.

Quænam autem sit hujusmodi helix novit Dominus Roberval.

Hujus problematis a nobis soluti solutionem a viris eruditissimis exspectamus aut, si maluerint, ipsis impertiemur, imo et generalem do linearum curvarum contactibus methodunm.

Sed ne a præsenti materia triangulari vacuis manibus discessisse videamur, proponi possunt hæ quæstiones :

Data basi, angalo verticis, et aggregatto perpendiculi et differentiæ laterum, invenire triangulum. Data basi, angulo verticis, et differentia perpendiculi et differentiae laterum, invenire triangulum.

Data basi, angulo verticis, et rectangulo sub differentia laterum in perpendiculum, invenire triangulum;

Data basi, angulo verticis, et summa quadratorum perpendiculi et diferentice laterum, inventire triangulum;

et multæ similes, quarum enodationes facilius inventuros viros doctissimos existimo, quam de contactu helicis Baliani propositum problema aut theorema.

Sed observandum in qusestionibus de triangulis, quoties problema poterit solvi per plana, non recurrendum ad solida. Quod quum norint viri doctissimi, supervacuum fortasse subit addidisse.

PORISMATA DUO[4].

Porisma I. - Datis positione duabus rectis ABE, YBC (fig. 67) sese in puncto B secantibus, datis etiam punctis A et D in recta ABE, quæruntur duo puncta, exempli gratia, 0 et N, a quibusi 1ad qcuodlibet rectce YBC

Fig. 67.
Fermat - Livre I - Figure 67.png

punctum, ut H, recta OHN inflectatur, rectam rABD in punctis I et V secans, rectangulum sub AI in DV cequetur spatio dato, videlicet rectangalo sub AB in BD.

Ita procedit porismatica Euclidis constructio et generalissimam problematis solutionem repræsentabit.

Sumatur punctur quodvis 0. Jungatur recta AO secans rectam YBC in puncto P. A puncto 0 ducatur recta OQ ipsi ABD parallela et rect'e YBC occurrens in Q. Ducatur etiam infinita PNM eidem ABD parallela, et juncta QD secet rectam PNM in puncto N. Aio duo puncta 0 et N adimplere propositum.

Sumpto quippe ubilibet in recta YBC puncto H, et ductis rectis OH, NH- rectse ABD occurrentibus in punctis I et V, rectangulum sul) A in DV in quibuslibet omnino casibus (tres tantum triplex [5] figura repræsentat rectangulo < sub > AB in BD eequale erit.

Porisma II. -Dato circulo ABDC (fig. 68), cjtus diameter AC, centrumn M, quceruntur duo puncta, et E et N, a quibus si ad quodvis circuImferentice punctum, tt D, inflectatur recta EDN, diametrumin 1 puntctis Q et H secans, summa quadratorum QD et DI ad triangltSul QDH habeat rationenm datain, ideinque in qualibet inflexione gœneraliter et petpetuo contingat.

Fig. 68.
Fermat - Livre I - Figure 68.png

A centro M excitetur ad diametrum perpendicularis MB. Fiat ratio data eadem quae quadruple rectae BA ad rectam VM. A puncto A exci tetur VE ad diametrum perpendicularis et ipsi VB aequalis. Sumptl recta MO ipsi MYV equali, fiat ON equalis et parallela recte VE: Dico puncta quaesita esse puncta E et N.

Sumpto quippe quovis in circumferentia puncto, ut D, et junctis ED, ND rectis diametrum in punctis Q et H secantibus, summa quadratorum QD et DH ad triangulum QDH erit, in quocumque casu, in ratione data, hoc est in ratione quadruplæ BV ad rectam VM.

Non solum proponitur inquirenda istius porismatis demonstratio, sed videant etiam subtiliores mathematici an duo alia puncta prwlter E et N possint problemati proposito satisfacere, et utrum solutiones quæstionis sicut in primo porismate suppetant infinite. Si nihil respondeant, Geometriæ in hac parte laboranti non dedignabimur opitulari.


PORISMATUM EUCLIDEORUM
RENOVATA DOCTRINA ET SUB FORIMA 1SAGOGES RECENTIORIBUS GEOMETRIS EXHIBITA.

Enumeravit Pappus initio libri septimi libros veterum Geometrarum ad τόπον ἀναλυόμενον pertinentes: qui omnes quum temporis injuria perierint, exceptis unico Datorum Euclidis libello et quatuor prioribus Conicorum Apollonii, elaborandum neotericis Geometris maxime fuit ut damnumn operum, qul tentavit « edax abolere vet ustas » aliquantisper resarcirent. Et primo quidem subtilissimus ille, nec unquam satis laudatus Franciscus Vieta Apollonii περὶ ἐπαφῶν libros unico, quem Apollonium Gallum inscripsit, libello feliciter restituit; cujus exemplo se ad eamcdem provinciam Marinus Ghetaldus et Wilebrordus Snellius accingere non dubitarunt, nec defuit proposito eventus: libros enim Apollonii λόγου ἀποτομῆς, χωρίου ἀποτομῆς, Λιωρισμένης τομῆς et Nεύσεων, illorumn beneficio vix amplius desideramus. Sequebantur Loci plani, Loci solidi, et Loci ad superficiem. At huic quoque parti non ignoti nominis Geometre [6] succurrerunt, eorumque opera, manuscripta licet et adhuc inedita, latere non potuerunt. Sed supererat tandem intentata ac velut desperata Porismaturn Euclideorum doctrina. Earn quamvis ( opus artificiosissimum ac perutile ad resolutionem obscuriorum problematum )) Pappus asserat, nec superioris nec recentioris wevi Geometrw vel de nomine cognoverunt, aut quid esset solummodo sunt suspicati. Nobis tamen in tantis tenebris dudum ctecutientibus, et qua ratione in hac materia Geometrit opitularemur elaborantibus, tandem

se clara videndam Obtulit et pura per noctem in luce refulsit;

nec debuit inventi novantiqui specimen posteris invideri. Postquamn enim Suevicum sidus[7] omnibus disciplinis illuxit, frustra scientiarum arcana tanquam mysteria qunedamc abscondemus: nihil quippe impervium perspicacissimo incomparabil is Reginæ ingenio, nec fas censerus occultare doctrinam quam vel unico duntaxat aut inspirantis aut mandantis nutu, quandocumque libuerit, detectam iri vix possumlus dubitare. Ut autem clarius se prodat totum Porismnatum negotium, celebriores quasdam propositiones porismaticas selegimus, easque Geometris et considerandas et examinandas confidenter exhibemus, ut mox quid sit Porisma et cui maxime inserviat usui innotescat.

PORISMA PRIMUMI

Sint duwe rectæ ON, OC (fig. 69), qua, angulum constituant in puncto O et sint ipst positione date; dentur et puncta A et B. A punctis B et

Fig. 69.
Fermat - Livre I - Figure 69.png

A ducantur rectte BE, AF ipsi OC parallel et occurrentes rectte NO productse in punctis E et F; jungatur recta AE, qua, rectte CO producte occurrat in D; jungatur itidem recta FB, qute eidemi rectt CO occurrat in C; et ad quodvis punctum rectT ON, ut V, verbi gratia, inflectantur rectæ AV, BV, ita ut recta AY occurrat recte OC in puncto S, recta autem BY eidem OC occurrat in puncto R. Rectangulum sub CR in DS æquale semper erit rectangulo sub CO in OD, ideoque spatio dato.

PORISIMA SECUNDUM.

Exponatur parabole qusvis NAB (fig.7o), cujus diametri qu(libet sint BEO. Sumantur in curva duo quœvis puncta A et N, a quibus in

Fig. 70.
Fermat - Livre I - Figure 70.png

flectantur ad aliud quodvis curver punctum, ut D, recta ADN, quta in diametris puncta E, 0, G, Q signent. In eadem diametro abscindentur semper due rectse quea eamdem servabuntrationer: erit nempe ut OB ad BE, ita QB ad GB, idque in infinitum.

PORISMA TERTIUM.

Esto circulus cujus diameter recta AD (fig. 71), cui parallela ut

Fig. 71.
Fermat - Livre I - Figure 71.png

cumque ducatur NM, circulo in punctis N et M occurrens, et sint data puncta N et M. Inflectatur utcumque recta NBM, quo secet diametrum in punctis O et V. Aio datam esse rationem rectanguli sub AO in DV ad rectangulum sub AV in DO: ideoque, si inflectatur NCM secans diametrum in punctis R, S, erit semper ut rectangulum sub AO in DV ad rectangulum sub AV in DO, ita rectangulum sub AR in DS ad rectangulum sub AS in DR.

Nec difficile est propositionem ad ellipses, hyperbolas et oppositas sectiones extendere.

PORISMA QUARTUM.

Exponatur circulus ICH (fig. 72), cujus diameter IDH data, centrum D, radius ad diametrum normalis CD. Sumantur in diametro producta puncta B et A data, et sint recte An, BH æquales.

Fig. 72.
Fermat - Livre I - Figure 72.png

Fiat

ut DI ad IA, ita DL ad LI,

et sit recta DR æqualis DL; dabuntur puncta R et L. Jungatur recta CA, cui uaqualis ponatur AF ad diametrum perpendicularis, eidemque fiat BG aqualis et parallela. Inflectatur quevis recta ad circulum a punctis F et G, ut FEG, quæ dianetrum secet in punctis M et N. Aio summam duorum quadratorum RM, LN æquari semper eidemr spatio dato.

Iisdem positis, in secundo casu, jungatur recta CL, cui æqualis ponatur LP ad diametrum perpendicularis, eidemque æqualis et parallela fiat RZ. Si a duobus punctis Z et P inflectatur quælibet ad circumferentiam recta, ut PVZ, secans diametrum in punctis K et T, quadratorum AT et BK aggregatum æquabitur semper alteri spatio dato.

PORISMA QUINTUM.

Esto circulus RAC (fig. 73), cujus diameter RDC data, centrum D, radius DA ad diametrum normalis. Sumantur utcumque puncta Z et B data in diametro a centro D æquidistantia, et, junctâ AZ, fiat æqualis ZM ad diametrum perpendicularis, eidemque equalis et parallela ducatur BO. Inflectatur quevis ad circumferentiam recta MHO quæ diametrum in punctis E et N secet. Erit semper ratio quadratorum EH, HN simul sumptorum ad triangulum EHN data, eadem nempe quæ rectæ AZ ad quartam partem rectæ ZD.

Fig. 73.

Fermat - Livre I - Figure 73.png

Ex adductis porismatibus (quorum propositiones elegantissimas et pulcherrimas esse quis diffiteatur?) haud difficulter indaganda se prodit ipsa porismatum natura. Enunciari nempe posse, secundum Pappum, vel ut theoremata vel ut problemata statim patet; nos sane ut theoremata enunciavimus, sed nihil vetat quominus in problemata transformentur. Exempli causa, sic quintuin porisma concipi potest: Dato circulo RAC cujus diameter RC, qucerantur duo puncta, ut M et 0, a quibus si illectatur qucrvis ad circumferentiam recta ut MHO, faciat semper rationzen quadratorum ab abscissis EH, IN ad triangulum EHN dataz. Nec latet ex supradicto theoremate constructio: si enim ponatur recta AZ esse ad quartam partem ZD in ratione data, omnia constabunt, eademque ratione in reliquis et omnibus omnino porismatibus theorenmata in problemata facile transibunt.

Quod autem innuit Pappus ex sententia juniorun geometrarum porisma deficere hypothesi a locali theoremate [8], id sane totam porismatis naturam specifice revelat, neque alio fere auxilio quam eo quod htec verba subministrarunt, hujusce abdita materite penetravimus.

Quum locum investigamus, lineam rectam aut curvani inquirimus nobis tantisper ignotam, donec locum ipsum inveniende lineæ designaverimus; sed quum ex supposito loco dato et cognito alium locum venamur, novus iste locus porisma vocatur ab Euclide: qua ratione locos ipsos porismatum unam speciem et esse et vocari verissime Pappus subjunxit.

Exemplo unico definitionemr nostram astruemus in figura quinti porismatis: Data recta RC, si quaratur curva quelibet, ut RAC, cujus ea sit proprietas ut a quolibet ipsius puncto, ut A, demissa perpendicu laris AD faciat quadratum AD æquale rectangulo RDC, inveniemus curvam RAC esse circuli circumferentiam. Sed si ex dato jam loco illo alium investigemus, problema, verbi gratia, porismatis quinti, novus iste locus et infiniti alii quos periti sagacitas analystæ repræsentabit et ex jam cognito eliciet, porisma dicetur.

Quum autem, ut jam diximus, porismata ipsi sint loci, errorem latini Pappi interpretis ex græco textu emendabimus eo loco ubi pornismatum opus perutile ait ad resolutionem obscuriorum problematum ac eorumn generum quæ haud comprehendunt eam quæ multitudinem præbet naturam quæ ultima verba quum nullum fere sensum admittant, ad ipsum autorem recurrendum cujus verba in manuscriptis codicibus ita se habent : πορίσματα ἐστὶ πολλοῖς ἄθροισμα φιλοτεχνότατον εἰς τὴν ἀνάλυσιν τῶν ἐμβριθεστέρων προβλημάτων καὶ τῶν γενῶν ἀπερίληπτον τῆς φύσεως παρεχομένης πλῆθος[9].

Ait igitur porismata conferre ad analysin obscuriorum problematum et generum, hoc est problematum generalium : ex dictis enim apparet porismatum propositiones esse generalissimas. Deinde subjungit : quum natura multitudinem quæ vix potest animo comprehendi subministret ; quibus verbis infinitas illas et miraculo proximas ejusdem problematis indicat solutiones.

Huic autem vel theorematum vel problematum inventioni non deest peculiaris a puriore Analysi derivanda methodus, cujus ope non solum quinque præcedentia porismata sed pleraque alia et invenimus et construximus et demonstravimus, et si hæc paucula, quæ isagogica tantum et accuratioris operis prodroma emittimus, doctis arrideant, tres totos Porismatum libros aliquando restituemus, imo et Euclidem ipsum promovebimus et porismata in coni sectionibus et aliis quibuscumque curvis Imirabilia sane et hactenus ignota detegemus[10].

PROPOSITIO D. DE FERMAT CIRCA PARABOLEN[11].

Proposui per data quatuor puncta parabolen describere. Duplex est casus, utrique lemma sequens præmittendum. Sit parabole in "a fig. ECBAD (fig. 74), cujus diameter AF detur positione; dentur etiam duo puncta B et C, per quxe transit parabole;

Fig. 74.
Fermat - Livre I - Figure 74.png

dentur denique anguli applicatarum ad diametrum AF. Aio parabolen positione dari.

Applicentur orcinatim BN et CM; a puncto dato B in AF positione datam ducitur BN in dato angulo (positum quippe est dari angulum applicatarum): ergo datur punctum N; similiter datur puncturm M et rectae BN, CM positione et magnitudine. Ex natura paraboles est

ut quadratum CM ad quadratum BN, ita MA ad NA,

si ponas A esse verticem paraboles sive extremum diametri; ergo datur ratio MA ad NA, et dividendo datur ratio MN ad NA. Datur autem recta MN, quia duo puncta M, N dantur; datur igitur NA et puncturn A. Si fiat

ut AN data ad NB datam, ita NB ad Z,

dabitur Z rectum paraboles latus. Dato igitur vertice A, Z recto latere, AF diametro positione, angulo applicatarum, datur positione parabole, ex 52, I Apollonii.

Hoc supposito, facillime construitur primus casus in 2a fig. (fig. 75), in qua dentur quatuor puncta D, B, C, F, qute si jungas per rectas BC, CF, FD, DB, vel neutra oppositarum erit alteri parallela, vel, ut in hoc casu, erit BC, verbi gratia, parallela DF.

Fig. 75.
Fermat - Livre I - Figure 75.png

Bifariam utraque dividatur in punctis I et E et sit factum: ergo juncta IE erit diameter paraboles, quum œquidistantes bifariam dividat. Dantur autem puncta [ et E: ergo IE positione datur et angulus DEl. Quum igitur diameter IE positione detur, dentur etiam angulus applicatarum et duo puncta B et D per qute transit parabole, dabitur positione parabole DBACF.

In secundo casu major est difficultas, quum neutra rectarum duo ex punctis datis conjungentium alteri est tequidistans. In 3a fig. sint data quatuor puneta X, N, D, R (fig. 76), que per rectas XR, RD, DN, NX conjungantur, et neutra oppositarum sit alteri æquidistans.

Ponatur jam factum esse, et descriptam parabolen XANDBR proposito satisfacientem. Concurrant productS XN, RD, in puncto V et, bifariam divisis XN, RD in punctis M et C, ducantur ad ipsas diametri MA, CB, occurrentes parabolk in punctis A et B, a quibus recta IAS, SB ipsis XV, VR ducantur equidistantes et concurrant in puncto S. Juncta AB bifariam dividatur in P et jungatur SP.

Fig. 76.
Fermat - Livre I - Figure 76.png

His ita constructis, patet, quum per verticem diametri MA ducatur IAS æquidistans applicatUe XN, rectam IAS tangere parabolen in A; probabitur similiter rectam SB tangere eamdem parabolen in B: ergo, per 17, III Apollonii erit

ut rectangulum XVN ad rectangulum RVD,
ita quadratum AS ad quadratum SB.

Datur autem ratio rectanguli XVN ad rectangulum RVD, quurn dentur quatuor puncta X, N, D, R: ergo datur ratio quadrati AS ad quadratum SB, ideoque rectse AS ad rectam SB. Datur autem angulus ASB, quia propter parallelas æquatur angulo XVR dato: ergo in triangulo ASB datur angulus ad verticem S et ratio laterum AS, SB, ideoque triangulum ASB datur specie; igitur datur angulus SAB et ratio SA ad AB. Quum autem AP sit dimidia AB, datur etiam ratio SA ad AP: in triangulo igitur SAP datur angulus ad A, et ratio laterum SA, AP; datur igitur specie et angulus PSA datur. Hoc posito, quum recta SP rectam AB puncta contactuum conjungentem bifariam dividat, erit diameter paraboles, ex 29, II Apollonii; in parabola autem omnes diametri sunt inter se aquidistantes: ergo diameter MA rectse SP æquidistabit, ideoque angulus IAM wequabitur angulo ASP. Probavimus autem dari angulum ASP: ergo dabitur angulus IAM et ipsi alternus propter parallelas NMA. Datur autem punctum M, quia rectam NX positione et magnitudine datam bifariam dividit: ergo datur diameter MA positione; datur etiam angulus applicatarum AMN, et dantur duo puncta N et D per quæ transit parabole: datur igitur parabole positione ex lemmate, et est facilis ab analysi ad synthesim regressus. Patet autem duas parabolas in hoc secundo casu propositum adimplere: concurrent enim rectat DN et XR, quas posuimus non esse parallelas; hoc casu eadem argumentatione nova construetur parabole proposito satisfaciens.


< LOCI AD TRES LINEAS DEMONSTRATIO > [12].

Exponantur tres recte positione datwe triangulum constituentes: ANM, MB, BA (fig. 77), et sit quodvis punctum O a quo ad rectas datas ducantur rectse OE, OI, OD in angulis OEM, OIM, ODB datis. Sit autem ratio rectanguli EOD ad quadratum 01 data: Aio punctum 0 esse ad unam ex coni sectionibus. Dividatur MB bifariam in Q et, juncta AQ, ducantur per punctum O recte FOC, ON ipsis MB, MA parallels.

Fig. 77.
Fermat - Livre I - Figure 77.png

Tria triangula OEF, ODC, OIN sunt specie data: nam ex hypotlhesi dantur anguli OEF, ODC, OIN; datur etiam EFO quia, propter parallelas, dato AMB est vequalis; datur et OCD quia sequalis dato MBA; denique datur ONI, quum detur ONB ipsi AMB propter parallelas equalis. Datur igitur ratio OE ad OF; datur item ratio OD ad OC: ergo ratio rectanguli EOD ad rectangulum FOC datur. Datur autem, ex hypothesi, ratio rectanguli EOD ad quadratum 01: ergo ratio rectanguli FOC ad quadratum 01 datur. Datur autem ratio quadrati 01 ad quadratum ON, propter datum specie triangulum OIN: ergo ratio rectanguli FOC ad quadratum ON, sive FM ipsi æquale, datur. Si secetur AQ in U ita ut, ducta UR parallelat MB, quadratum UR ad quadratum RM sit in ratione data rectanguli FOC ad quadratum FM (hoc autem est facile, quum angulus MRU detur), et per punctum U describatur, circa diametrum AQ, coni sectio quam rectse MA, AB in punctis M, B contingant (id autem est facillimum et ex < vario > [13] puncti U situ erit aut parabole aut hyperbole aut ellipsis: superflua, præsertim tibi, non addimus): Aio coni sectionem sic descriptam per punctum 0 transire. Nam transeat ex alia parte per punctum P. Tanget recta UR sectionem, quum sit parallela ordinata MB; quum igitur sectio transeat per punctum O, erit

rectangulum PFO ad quadratum FM ut quadratum UR ad quadratum RM,
ex decima sexta propositione III Apollonii. Ut autem
quadratum UR ad quadratum RM, ita est rectangulum FOC ad quadratum FM,
ex constructione: rectangulum igitur PFO rectangulo FOC æquale erit, ideoque recta FO rectae PC.

Quod quidem ita se habet: nam, quum AQ dividat hifariam MB, erit recta FX rectæ XC æqualis; propter sectionem vero, recta OX est sequalis XP: reliqua igitur FO reliquæ PC æquatur.

Nec est difficilis ab analysi ad synthesim, per demonstrationem ducentem ad impossibile, regressus.

  1. Cette pièce et la suivante ont éte publiées par Bossut, l'éditeur des Œuvres de Pascal, 1779 (t. IV, p. 449-454), avec la note suivante: On a trouvé, parmi les papiers de Pascal, ces deux porismes et le problème suivant, écrits de la main de Fermat; on croit que le lecteur les verra ici avec d'autant plus de plaisir qu'ils n'avaient pas encore été imprimés.

    Nous avons interverti l'ordre des deux pièces, pour rapprocher les deux porismes du Traité de Fermat sur ce sujet. Il est certain, au reste, que l'auteur du problème est Étienne Pascal (le père).

  2. Dans les deux figures donn6es par Bossut, les lignes auxilaires AF, FC sont effectiveme nt tracees; on les a suptprhines, pour rendre mois compliquees los f. 65 at 66.
  3. Voir la Lettre de Fermat a Mersenne, du 3 juin 1636
  4. Cette pièce, conservée, comme la précédente, dans des papiers de Pascal aujourd'hui perdus, est un premier essai de l'opuscule suivant, où l'on retrouvera les deux mêmes propositions, comme Porisma primum et Porisma quintum.
  5. Bossut a reproduit, en effet, trois figures dent nous ne donnons ci-dessus clue la premiere; les deux autres en different en ce que le point arbitraire H ost pris, dans la seconde, entre P et B; dans la troisieme, entre P et Q.
  6. Fermat fait ici allusion L sas propros travaux, ipollo/zii Perg'æi libri duo cle loci, pla/i.s rcstitulti, dcl locos plianos et solidos Isgog'e, Isagogœ ad locos adl supcrciicem. Quanl a ceux des geometres ant6rieurs qu'il mentionno, voirt plus haut, page 3, note 3.
  7. (2) La date de cet opuscule semnble indiqu:ee par ce qu'en dit Boulliau (Isnlaclis Bu/llialcli Excrcitationes geonzetricce t.e I circa clenro/nstratiolnes per i/nscriptas et c CiCtzInscriptas figjtra5; II circa conicarumZ.sectiolzum queiaclam propositio/ne.s; III ce pori.i'malibus. -- Astronol7zie Philolaicee funldamleilta, etc. - Parisiis, apud Sebastianum Cramoisv Regis et Reginue architypographum et Gabrielem Cramoisy, via Jacobaa, sub Ciconiis, MDCLVII. Cum privilegio Regis), au debut do son Essai sur los Porismes. Voici le passage qui en a te6 reproduit dans les Varia, douzi6me page non nulmerœe: HIane de porismatibus scriptiunculam data mihi occasione composui, quLm cantte bieinitem vir illustrissimus ac amplissimus Dominus de Fermat, in suprema Curia Tolosana Senator integerrimus et in judiciis exercendis peritissimus, rerum mathematicarum doctissimus, propositiones quasdam subtilissimas et porismata, qua tam theorematice quam problematice proponi possunt, ad amicos sues huc misisset. Ex Pappi unius monumentis et Collectionibus Mathematicis porismatum naturam et usum discere possnmus, quum ex veteribus qui hanc Geometrie partern attigerunt, præter ipsum nullus supersit. llius tamen sententia legenti statim obvia non est, textusque corruptione et applicationis porismatum defectu obscurior procul dubio evadit. Interea, dum tanto viro sua edere libuerit, nostra, qualiacumque tandem sint, publici juris facere placuit, ut alios ad eorumdeo investigationem impelleremus, ipsumque amplissimum Dominum de Format ad sua edenda, utinam et ad alia sublimis intellectus sui aS'p-'jLaza cum omnibus communicanda, excitaremus. Is enim est quemn omnes Europ A Mlathematici suspiciunt; quem a subtilissimis atatis nostræ Geomotris, Bonaventura Cavaliero Bononiao et Evangolista Toricello Florentie, summis laudibus in ccelum ferri, ejusque inventa mirabilia prædicari auribus meis audivi; quem etiam virum, tam eximiis virtutibus clarum, multaque eruditione ornatum ac in rebus mathematicis oculatissimlum, toto pectore veneror ac colo. ), L'opuscule de Fermat sur les Porismes n'aurait done pas 6te connu a Paris avant I654. La d6dicace t la reine Christine de Suede est d'ailleurs expliquee par le passage suivant d'une lettre du 25 septembre i65i, adressœ a Nicolas Heinsius par Bernard M6don, conseiller au pr6sidial de Toulouse et ami de Fermat (,Sylloges epistolarcuu a viris illus tibus scliptartum tomi qulique, collecti et digesti per Petriun Burmnalzunnm. Leyde, i727, t. V, p. 6i3, 1. 24): ( Salutat te amplissimus Fermat, a quo circa mathematicas scientias, quas melius quam quisquam mortalium possidet, nil extorqueri unquam poterit, nisi Reginarum præstantissima Christina velit aliquando post hujus ævi literatorum omnium vota, post Franciæ Cancellarii preces, sua etiam jussa adjungere, quibus, ut puto, non surdus esset. Si tua cura posset id fieri, faceres toti Europa rem pergratissimam. Vale iterum et, quod facis, me constanter ama.)
  8. C'est-h-dire que, d'apres cette definition, le porisme serait un th6oreme 6nonQant la propri6t6 d'un lieu, sans que la determination complete de ce lieu soit donnee dans l'6nonc6. Cette determination reste done h trouver, en meme temps que la propri6et est à demontrer. Au temps d'Euclide, le nom de porisme parait avoir ete employe pour designer specialement les propositions oui il s'agissait de trouver, tandis que, dans les th6orbmes, il s'agissait de demontrer, dans les problemes de construire. Euclide a applique ce terme de porisme a un ensemble de propositions relatives a la mati6re devinee par Michel Chasles, dans sa celebre restitution (Les trois livres de Porismes d'Euclide, etc. Paris, Mallet-Bachelier, I860), mais il ne voulait probablement pas specialiser particulierement le sens de l'expression. L'intention que lui prete Fermat un peu plus bas est done improbable, et elle restreint trop le sens general du mot porisme, sans d'ailleurs designer en aucune façon la nature réelle des propositions traitees par Euclide.
  9. Voici comment Chasles (p. 14) traduit ce texte, assez obscur et mal assuré :

    « Les Porismes… collection ingénieuse d’une foule de choses qui servent à la solution des problèmes les plus difficiles et que la nature fournit avec une inepuisable variété. »

    Dans cette traduction, les mots d’une foule devraient être supprimés. Après servent, il faudrait ajouter à beaucoup (par opposition à tous). Enfin, après difficiles, il faudrait dire : et quoique la nature les fournisse avec une inépuisable variété, en liant avec ce qui suit : il n’a rien été ajouté à cet Ouvrage d’Euclide.

    Telle est du moins l’opinion de Heiberg. Le savant éditeur de Pappus, Hultsch (p. 648, l. 18 à 21), regarderait, au contraire, comme interpolés les mots à beaucoup et ceux qui suivent la phrase grecque citée par Fermat.

  10. Voir, sur cet opuscule, le jugement de Chasles (p. 3, 4, 22). 11 est certain que lessai de Fermat doit etre consid6re comme tout autre chose que comme une tentative de restitution des Porismes d'Euclide, soit dans la forme des 6nonces, encore incertaine aujourd'hui, soit pour le fond du sujet traite. I1 faut y voir plutot une indication de questions offrant quelque analogie avec celles abordees par Euclide. Chasles n'a qu'un seul porisme, CXXVI (p. 230), qui se rapporte a l'un de ceux de Fermat, le troisieme. Comme il le fait remarquer d'ailleurs, le second porisme de Fermat, ou figure une parabole, est etranger a l'ordre d'idees d'Euclide, lequel se borne aux droites et aux cercles. Enfin, avec le troisieme, il n'y a guere que le premier quo l'on pourrait consid6rer comme rentrant dans un des vingt-neuf genres enum6r6s par Pappus. Au lieu done, comme l'a fait Chasles, de chercher ici, en s'aidant des lemmes de Pappus, a retrouver des propositions rentrant dans ces vingt-neuf genres, Format a voulu plut6t, dans ce specimen, moritrer que ces genres pouvaient etre multiplies indefiniment.
  11. Cette piece est inserel dans les Varia au milieu de lettres d'octobre 1636.
  12. Ce morceau in6dit est publi6 d'apres une copie du XVIIe siecle, classee dans la chemise ( Fermat ) du portefeuille i848 I de la collection Ashburnham. Cette copie, sur une feuille double, sans titre, porte a la fin, d'une autre ecriture du temps, la mention: Pour Mons"' Carcavi rue Michel Lecontte au milieu, et, en haut, de la main de Libri, l'attribution a Fermat. Cette attribution est corroboree par la Lettre de Fermat a Roberval, du o2 avril 1637, d'apres laquelle le titre a ete compose. La question traitee est enoncee dans Pappus (6d. Hultsch), page 678, lignes i5 et suivantes.
  13. Le mot vario a été restitué a la place d'une lacune de cinq lettres environ dans le nmanuscrit.