Œuvres de Fermat/I/Lieux en surface

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Œuvres de Fermat, Texte établi par Paul TanneryGauthier-Villars1 (p. 111-117).


ISAGOGE
AD LOCOS AD SUPERFICIEM,
Carissimo Domino De CARCAVI[1].

Isagogen ad locos planos et solidos perficit tradenda: τόπων πρὸς ἐπιϕάνειαν ἐπίδειξις. Hanc veteres indicarunt tanturn, sed neque generalibus praeceptis docuerunt, neque aliquo saltem nobili exemplo adumbrarunt, nisi in iis forsitan sepultæ jamdiu Geometriae monumentis deliteant, in quibus tot praeclara veterum inventa cum blattis et tineis colluctantur dudum aut omnino evanuerunt.

Generalem tamen huic materiæ methodum non defuturam brevissima dissertatio patefaciet: pluribus enim singulas, quas summatim tradidimus huc usque in Geometricis, inventiones aliquando, si suppetet otium; illustrabimus.

Quæ igitur in lineis topicis symptomata quæsivimus et denonstravimus, eademi in superficiebus planis, sphalricis, conicis, cylindricis et conoideon aut sphlroideon quorumlibet inquirere nihil vetat, si præmittantur lemmata singulorum hujusmodi locorum constitutiva[2]. Proponatur ergo pro locis ad superficiem planam lemma sequens:

1. Si supeificies qucepiam planis quotlibet in infinitum secetur, et communis sectio omnium in infinitum secantium planorum < et dictce superficiei> sit linea recta, superficies primum posita erit planum.

Pro locis ad superficiem sphericam

2. Si superficies qucepiam planis quotlibet in infinitum secetur, et cornrmunis sectio planorum omnium secantium et dictce superficiei sit circilus, superficies illa erit splcera.

Pro locis ad superficiem sphleroidis:

3. Si superficies qucepiam planis quotlibet in infinitum secetur, et cornmunis sectio omnium secantium planorum et dictce supeificiei sit quandoque circulus, quandoque ellipsis, et nihil practerea, superficies illa erit splcerois.

Pro locis ad conoides parabolicos aut hyperbolicos

4. Si superficies qucepiam planis quotlibet in infinitum secetur, et communes sectiones (ut supra) sint quandoque circulus, quandoque ellipsis, quandoque parabole aut 1hyperbole, et nihil prceterea, superficies primum posita erit conois parabolicus aut hyperbolicus.

Pro locis ad conicas superficies:

5. Si superfcies qucepiam planis quotlibet in infinitum secetur, et communes sectiones sint quandoque linece rectce, quandoque circuli, quandoque ellipses, quandoque parabolce nut 1iyperbolce, et nihil prceterea, superficies prrium posita erit conus.

Pro locis ad superficiem cylindricam

6. Si superficies qucepiam planis quotlibet in infinitum secetur, et communes sectiones sint quandoque line rect rec, quandoque circuli, quandoque ellipses, et nihil prceterea, superficiesprimum posita erit cylindrus.

Quia tamen sSepissime occurrunt loci in quibus sectiones sunt linea rectæ, parabolaw aut hyperbolœ et nihil præterea (quod ipsa statim quæs tionis analysis indicabit), conveniens < est > et necessaria omnino huic disputationi nova cylindrorum constitutio, in quibus bases inter se parallelae sint parabolae aut hyperbolae, et latera, bases hujusmodi connectentia, sint lineae rectae, inter se parallelae, ut accidit in cylindris communibus. Ita enim fiet ut nulla omnino cylindrorum hlujusmodi per planum sectio det circulos aut ellipses, eruntque aut scaleni aut recti ad imitationem communium, prout analysis topica propositte qusestionis exposcet.

Hos autem cylindros problemata ipsa topica necessarios innuunt quod addendum, ne videatur otiosa hujusmodi σχήματος expositio et inventio.

Imo et priusquam ulterius pergas, non omnino satisfacit huic operi Archimedea sphaeroideon et conoideon constructio [3]: scalenos enim, perinde ac rectos, quæstiones ipsæ repræsentabunt.

Ex præmissis sequuntur pulcherrimi primo ad superficiem sphaericam loci:

Si a quotcumque punctis datis in quibuslibet planis ad puncturn utnum inflectantur rectae, et sint quadrata quce ab omnibus fiunt dato spatio aequalia, punctum ad inflexionem erit ad superficiem sphaericam sive sphæram positione datam. - Sphaeram enim vocare possumus, ad imitationem Euclidis et veterum Geometrarum qui κύκλον non ipsius circuli τὸ ἐμϐαδόν, sed circumferentiam ipsam appellarunt: superficiem sane hujusmodi punctum quampiam describet.

Exponatur quodvis planum positione datum et in illo, juxta praeceptalocorum planorum et solidorum alias tradita, quaeratur locus ad quem a punctis datis inflexarum quadrata æquentur spatio dato.

Hoc autem est facile: sit factum et locus in piano exposito sit curva NIP (fig. 89). In illud planum, a punctis A, E, C datis ex hypothesi, demittantur normales AB, EF, CD. Quum igitur planum hoc sit positione datum, dabuntur in illud a punctis A, E, C datis demissae normales AB, EF, CD; dabuntur et puncta B, F, D in quibus dictw normales piano exposito occurrunt. Sumatur in quæsita linea locali NIP quodvis punctum, ut I, et jungantur recte AI, BI, El, IF, CI, DI.

Quum igitur a punctis datis A, C, E ad punctum I lineæ localis pertingant rectæ AI, El, CI, earum quadrata comprehendunt spatium datum. Si igitur ab eis quadratis auferas normalium AB, EF, CD quadrata, quæ jam probavimus data esse, supererunt quadrata BI, FI, DI, quorum summa proinde data est. Dantur etiam in exposito plano puncta B, F, D, ut similiter probatum est. Quum itaque a punctis B, F, D, datis in eoder piano, inflectantur rectæ ad locum in eodem etiam plano, et sint quadrata inflexarum, ut BI, FI, DI, æqualia spatio dato, patebit, ex Apolloniano [4] pridem restituto theoremate, locum NIP esse circulum positione datum, similisque omnino analysis in quovis alio piano exposito locum habebit.

Fig. 89.
Fermat - Livre I - Figure 89.png

Quum igiturI plana omnia exposita dent circulos locales in infinitum, ergo superficies primum quesita, ex vi secundi lemmatis, erit sphæra.

Quum enim superficiem localem proposito satisfacientem quæramus, quid vetat imaginari superficiem quæsitam piano exposito sectam? At sectio circulus esse duntaxat potest; quum enim circulus, ut jam demonstravimus, satisfaciat loco cui etiam superficies integra satisfacere debet, patet circulum in dicta superficie locali necessario collocandum. Constat igitur superficiem localerm in specie proposita, dum planis secatur, dare infinitos circulos ac proinde esse sphæram.

Eadem ratione demonstrabuntur et sequentes loci:

Si a quotcumque punctis in uno vel diversis planis ad punctum unum inflectantur rectae, et quadrata, quce ab aliquibus inflexarum Jiunt, ad quadrata quae a reliquis, sint vel in data ratione vel in data differentia vel dato majora aut minora quam in ratione, punctum ad injfexionem erit ad spharam positione datam.

Non dissimili artilicio pulcherrima in infinitum superficiei sphæricæ symptomata detegentur.

Si sint quotlibet plana positione data, et a puncto quodam in data plana demittantur rectae in angulis datis, quarum quadrata omnia simul sumpta aequentur spatio dato, punctum erit ad superficiem sphceroidis positione dati.

Fiat analysis et exponatur, ut docet methodus, planum quodlibet positione datum, in quo (juxta prxacepta locorum planorum et solidorum quxe in uno duntaxat piano olim expendebamus) queratur linea localis a cujus puncto quolibet in plana data demissarum in angulis datis quadrata æquentur spatio dato.

Facillima statim evadet constructio: quum enim planum expositum detur positione non secus ac plana data, ergo et communes plani expositi et datorum sectiones similiter dantur. Commodam igitur in analyticis denominationem accipiunt rectas a quovis puncto plani expositi in plana data demiss s. Harurn quadrata si jungas et sques spatio dato, exhibebit analysis in piano exposito circulos tantum aut ellipses locales, neque in quovis alio piano positione dato alium methodus locum poterit exhibere, ut ipse analyseos progressus indicabit.

Patet itaque, ex tertio lemmate, locum qutesitum, quum circulos det tantum aut ellipses, esse sphæroiden.

Si quadratorunm hujusmodi pars qucevis assignata ad reliquam sit in data differentia vel in data ratione vel dato major aut minor quam in ratione, fient superficies aut sphceroidis aut conoidis aut conicce aut cylindricce etc., prout positio datorumi planorum expostulabit, idque statim solerti analyseos filo deprehendetur. Verbi gratia, si sint in data ratione, fient superficies, ut plurimum, conoideon; si vero communes sectiones planorum datorum ad unum punctum concurrant, fient superficies mere conicae; et, si sectiones planorum datorum sint inter se parallela, fient superficies mere cylindricæ, hoc est, vel nostrorum vel communium cylindrorum.

Usus omnia statim patefaciet: generalia quippe summatim tradenda sunt, nec frequentibus nimis exemplis methodi perspicuitas obruenda.

Ultimum piano locali destinavimus exemplum, quod primam fortasse sedemr debuerat occupare.

Si sint quotlibet plana positione data, et apuncto quovis in dicta plana demittantur rectac in datis angulis, et sit rectarum omniumr demissarum summa cequalis rectce datce, punctum erit adplanum positione datum.

Secentur quippe, ex superiori methodo, plana data a piano quolibet positione dato, et in eo, juxta methodum locorum planorum jam traditam, quæratur locus propositioni satisfaciens. Erit ille linea recta, ut constabit ex analysi, et in quibuscumque per plana sectionibus idem continget. Patet igitur, ex primo lemmate, locum qutsitum esse superficiem planam.

Si hujusmodi rectarum pars qucevis assignata ad reliquam sit in data differentia vel ratione, vel datd major quanz in ratione, punctum erit siniliter ad superficiem planam positione datam.

Imo et in superioribus qunestionibus, si plana essent inter se parallela, superficies localis esset plana, quod vix erat ut admoneremus.

Coronidis loco addere libet et huic etiam aptare operi insigne illud, de loco ad tres < et > quatuor lineas Apollonii [5], ἐπιχείρημα.

Si sint tria plana positione data, et a puncto quodcam in dicta plana demittantur rectæ in datis angulis, et sit quod fit a duabus ductis rectangulum ad quadratum reliquæ in ratione data, punctum erit vel ad planum vel ad sphæram vel ad sphæroiden vel ad conoides vel etiam ad superficies conicam aut cylindricam (veterem aut novam), prout plana data positionem sortita fuerint.

Nec absimilis in quatuor planis inventio, ut cuilibet obvium.

Casus, determinationes, infinita problemata localia seu mavis theoremata, quæ brevitatis causa omisimus, lemmatum præmissorum demonstrationes, et reliqua quæ diligentius forsan fuerant explicanda, sedulus et accuratus Geometra, cui hæc venerint in manus, facillime supplebit, neque latebit deinceps arduæ, ut videbatur, materiæ proclivis intelligentia.

Tolosæ, 6 januarii 1643.
  1. Cet opuscule, jusqu'à present inédit, et qui contient le premier essai connu sur la théorie générale des surfaces du second degré, est publié d'après une copie d'Arbogast, faite elle-même de seconde main.
  2. Fermat, dont le point de départ est le Livre d'Archimède De conoidibus et sphaeroidibus, a bien reconnu la nécessité de généraliser la notion de la surface cylindrique, ainsi que celles des conoides (paraboloides elliptiques et hyperboloides à deux nappes) et spheroides (ellipsoides) d'Archimède, qui n'avait traité que des surfaces de révolution; mais il n'a pas soupconné l'existence du paraboloide hyperbolique ni de l'hyperboloide à une nappe. Son erreur apparaît au lemme 5.
  3. Voir la note 2 de la page 111 et la Préface du Traité d'Archimède Des conoïdes et spheroïdes (éd. Torelli, pages 257 à 259; éd. Heiberg, vol. I, pages 274 et suiv.).
  4. Voir plus haut Apollonii de locis planis Libr. II, prop. V, page 37.
  5. Pappi Alexandrini Collectionis quæ supersunt (éd. Hultsch, Berlin, 1876-1878), Livre VII, pages 674-681. Pappus (p. 678, 1. 15 à 25) définit le lieu a trois ou quatre lignes, à propos d'un passage de la Préface des Coniques d'Apollonius, qu'il reproduit et qu'il discute. Au reste, l'invention du probleme est antérieure au geomètre de Perge et doit remonter au moins à Aristée l'ancien, qui en avait probablement abordé l'analyse dans ses Livres perdus Des lieux solides; Apollonius reprochait à Euclide de n'avoir, dans ses Coniques, donné qu'une synthèse incomplète. La question était redevenue célèbre depuis l'apparition de la Géométrie de Descartes, où elle joue un rôle capital; voir notamment pages 324 et suivantes de l'édition originale (Discours de la Méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences. Plus la Dioptrique, les Météores et la Géométrie qui sont des essais de cette méthode. A Leyde, de l'imprimerie de Jan Maire, CID IDC XXXVII. Avec privilège); pages 9,1 à 28 de l'édition de Paris, Hermann, i886. Mais Fermat avait lui-même abordé des longtemps ce probleme: voir plus haut, pages 87 a 89.