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Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/Géométrie élémentaire, article 2

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QUESTIONS RÉSOLUES.

Démonstration du théorème de géométrie énoncé à la
page 384 du V.e volume de ce recueil ;

Par M. J. B. Durrande.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Théorème. Tout quadrilatère, plan ou gauche, rectiligne ou sphérique, dans lequel la somme de deux côtés opposés est égale à la somme des deux autres côtés, est circonscriptible au cercle.

Démonstration I. Soit le quadrilatère plan (fig. 3) dans lequel on suppose

(1)

Soient divisés les angles en deux parties égales, par des droites concourant en Soit joint ce point aux sommets et et du même point soient abaissées sur les directions des côtés les perpendiculaires l’équation (1) deviendra d’après cela

(2)

Les triangles-rectangles qui ont l’hypothénuse commune et un angle oblique égal, par construction, sont égaux ; et il en est de même, pour de semblables raisons, des triangles rectangles donc d’abord

(3)

et ensuite

(4)

Au moyen des équations (4), l’équation (2) se réduit à

(5)

Présentement étant l’une et l’autre hypothénuses communes de deux triangles rectangles, on doit avoir

retranchant donc, et ayant, égard à l’équation (3), il viendra

ou

ou, simplement, en vertu de (5),

ou encore en ajoutant et retranchant cette dernière à l’équation (5), transposant, réduisant et divisant par 2.

les deux triangles rectangles sont donc égaux, ainsi que les deux triangles rectangles on a donc

et par conséquent le cercle décrit du point comme centre, et avec l’une quelconque de ces quatre droites pour rayon, touchera les côtés du quadrilatère aux points et lui sera en effet circonscrit.[1]

II. Si le quadrilatère est sphérique, après avoir fait une construction analogue et démontré comme ci-dessus que

(6)

et que

(7)

les couples de triangle sphériques dont les hypothénuses communes sont et donneront

prenant successivement la somme et la différence de ces deux équations, en ayant égard à l’équation (6), on aura

ou, en dédoublant et divisant,

ou, en décomposant, par les formules connues,

ou, en simplifiant, au moyen de l’équation (7), et passant ensuite des tangentes aux doubles des arcs

en combinant cette dernière équation, par addition et soustraction avec l’équation (7), ou en tirera, en transposant et réduisant,

et l’on achèvera comme ci-dessus.[2]

III. Soit enfin le quadrilatère gauche (fig. 4), dont une des diagonales soit et concevons d’abord qu’on ait fait tourner autour de cette diagonale l’un des triangles qu’elle détermine pour l’amener dans le plan de l’autre, de manière que le quadrilatère devienne plan.

Soient inscrits aux deux triangles des cercles, dont soient les centres les points de contact avec la diagonale, les points de contact du premier avec les côtés et enfin les points de contact du second avec les côtés

Si, comme nous le supposons, on a la relation

On pourra la transformer en celle-ci :

mais on a, par la propriété des tangentes,

ajoutant donc toutes ces équations à l’équation (2), il viendra, en réduisant

mais, on a aussi

ajoutant donc ou retranchant, on tirera de ces deux dernières

ou

ainsi, les points de contact se confondent en un seul qu’à l’avenir nous désignerons simplement par et qui se trouve conséquemment avec et sur une même droite perpendiculaire à

Concevons que des points pris successivement pour centres, et avec des rayons respectifs on décrive deux cercles, leurs tangentes extérieures concourront en quelque point du prolongement de la droite qui joint leurs centres. Soient encore décrits des points comme centres et avec les rayons ils toucheront les deux autres, le premier en et le second en donc, par les théories connues, les droites iront concourir en sur le prolongement de la diagonale

Concevons présentement que l’on relève le plan de l’un des deux triangles en le faisant tourner autour de de manière à reconstruire le quadrilatère gauche ; les droites ne cesseront pas, dans ce mouvement, de concourir en et d’être conséquemment dans un même plan, lequel contiendra aussi les quatre points et ne cesseront pas pareillement d’être dans un même plan perpendiculaire à

Les axes de ces deux cercles, c’est-à-dire, les perpendiculaires menées à leurs plans par leurs centres, seront aussi dans ce dernier plan, et se couperont conséquemment en un certain point lequel, appartenant à ces deux axes, sera également distant des points puis donc que ces points sont sur un même plan ; ils appartiennent à une même circonférence à laquelle conséquemment notre quadrilatère est circonscrit[3].

Si les deux diagonales étaient telles que leur somme fût égale à celle des côtés opposés, ces côtés et les deux diagonales ne seraient autres que les six arêtes du tétraèdre dont il a été question à la page 304 du V.e volume de ce recueil[4].


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  1. On aurait pu ne point mener d’abord démontrer, comme ci-dessus, que déterminer le point par la condition d’où et mener alors On aurait remarqué ensuite que d’après cette construction les cercles décrits des points comme centres et avec les rayons respectifs ou ou ou ou se touchent deux à deux aux points qui sont conséquemment sur une même circonférence ; on en aurait conclu De là serait résulté l’égalité soit entre les triangles soit entre les triangles et, par suite, la perpendicularité de sur ce qui aurait établi que le cercle touchant les trois premiers côtés en touchait aussi le quatrième en
    (Note de l’auteur.)
  2. Ceci démontre que, sur une sphère comme sur un plan, lorsque quatre cercles se touchent deux à deux, leurs quatre points de contact sont situés sur une même circonférence, et conséquemment dans un même plan.
    (Note de l’auteur.)
  3. Dans le vrai, si l’on veut appeler polygone circonscrit à un cercle, comme on le fait communément, un polygone dont tous les côtés sont des tangentes à ce cercle, notre quadrilatère gauche ne sera point proprement circonscriptible au cercle, mais à une sphère ayant le point pour centre et pour rayon.
    J. D. G.
  4. Le théorème étant ainsi démontré pour le quadrilatère gauche, se trouve l’être aussi pour le quadrilatère plan, qui n’en est qu’un cas particulier. Il n’est pas même difficile d’en conclure aussi la démonstration pour le quadrilatère sphérique. En y faisant, en effet, une semblable construction, on s’assurera, par les mêmes moyens, que les points se confondent. Imaginant alors par les points des tangentes aux cercles, ces tangentes formeront par leurs concours un quadrilatère gauche dans lequel les sommes de côtés opposés seront égales ; il sera donc circonscriptible au cercle, et le cercle qu’on lui inscrira sera aussi inscrit au quadrilatère sphérique.
    (Note de l’auteur.)