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Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/Géométrie élémentaire, article 3

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Solution du premier des deux problèmes de géométrie
proposés à la page 328 du V.e volume des
Annales ;

Par M. Zindrini, professeur de mathématiques au lycée,
et secrétaire perpétuel de l’institut royal à Venise[1].
≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Problème. Diviser graphiquement l’aire d’un triangle en parties égales, par des parallèles à sa base ?

Construction. Soit le triangle (fig, 5) qu’il faille, par exemple, diviser en cinq parties égales, par des parallèles à sa base.

Par son sommet soit menée une droite parallèle à sa base et égale à sa hauteur Soit le milieu de cette parallèle, et soit divisée en cinq parties égales, aux points De ces points, pris successivement pour centres, et avec leurs distances au point pour rayon, soient décrits des arcs coupant respectivement la hauteur en les parallèles menées à la base par ces derniers points seront les droites cherchées.

Il ne serait pas difficile, d’après cela, de diviser la surface convexe d’une pyramide ou d’un cône en parties égales, par des plans parallèles à sa base.

Si, au lieu de diviser en parties égales, on l’eût divisée en parties proportionnelles à des nombres donnés quelconques, les parallèles à la base, au lieu de diviser l’aire du triangle en parties égales, l’auraient divisée en parties proportionnelles à ces même nombres.

Le premier cas n’étant même qu’un cas particulier de ce dernier, c’est celui-ci qu’il suffira de démontrer. Il est évident d’ailleurs que tout se réduit à savoir diviser l’aire d’un triangle, par une parallèle à sa base en deux parties qui aient entre elles un rapport donné, celui de à par exemple.

Démonstration. Tout étant dans la figure 6 comme dans la figure 5, si ce n’est que est le milieu de que est partagée en en deux parties proportionnelles à et que est le centre d’un demi-cercle coupant la hauteur en et qu’enfin est la parallèle à conduite par soient les deux segmens du triangle.

Nous aurons

c’est-à-dire,

donc, en retranchant,

donc enfin

[2].

  1. Ce problème, de première facilité, ne pouvant offrir d’intérêt qu’à raison de l’élégance de la construction, nous avons cru pouvoir passer sous silence une multitude d’autres solutions qu’on en a données.
    J. D. G.
  2. M. Tédenat observe qu’en divisant la hauteur du triangle à partir du sommet dans le rapport de à désignant par le premier des deux segmens, par la hauteur du triangle total, et enfin par celle du triangle à retrancher, on a l’équation qui appartient à la parabole et peut fournir une construction.

    À la vérité, cette construction n’est point élémentaire, mais M. Tédenat remarque que son analogue est peut-être la plus simple qu’on puisse appliquer au second problème de géométrie de la page 328 du V.e volume, relatif à la pyramide ; problème non susceptible de solution élémentaire et qui conduit à l’équation de la première parabole cubique.

    J. D. G.