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Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/Géométrie élémentaire, article 8

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Solution du deuxième problème ;

Par M. Bérard, principal et professeur de mathématiques
du collège de Briançon, membre de plusieurs sociétés
savantes.

§. 1.

Trouver le rayon de la sphère inscrite à un tétraèdre ?

Soient le tétraèdre donné ;

le volume du tétraèdre ; le rayon de la sphère inscrite ;

le centre de la sphère inscrite, ses coordonnées respectivement parallèles à le sommet étant l’origine ;

les perpendiculaires abaissées des sommets sur les plans des faces opposées

Enfin, les angles que forment deux à deux les arêtes

En concevant le tétraèdre comme composé de quatre autres ayant leur sommet commun au point et ayant pour bases les quatre faces du premier ; leur hauteur commune sera le rayon cherché et l’on aura conséquemment

d’où on tire

(1)

est la diagonale d’un parallélipipède, dont les arêtes concourant en sont égales à et dans lequel les distances entre les faces opposées sont toutes égales à En conséquence, les triangles rectangles semblables donnent

(2)

Voilà donc les coordonnées du centre déterminées. On sait d’ailleurs que



au moyen de quoi peuvent, sans difficulté, être exprimés en fonction des six arêtes.

Les équations de sont

ou

ou

ou enfin

§. II.

Trouver le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre ?

Tout étant d’ailleurs comme ci-dessus, soient de plus le centre et le rayon de la sphère circonscrite en désignant par les coordonnées du centre de cette sphère, respectivement parallèles aux arêtes son équation sera

(4)

Pour exprimer que cette sphère passe par les quatre sommets il faudra écrire que son équation est également satisfaite par chacun des quatre systèmes de valeurs

Cela donne

(5)

Retranchant l’équation (5) de chacune des équations (6), celles-ci deviendront, en divisant la première par la seconde par et la troisième par

En se rappelant que

(7)

on en tire

substituant ces valeurs dans l’équation (5), et ayant toujours égard à l’équation (7), il viendra

(8)

§. III.

Trouver la distance entre les centres des sphères inscrite et circonscrite
à un même tétraèdre ?

En représentant par cette distance, et conservant d’ailleurs les mêmes dénominations que ci-dessus, on aura

(9)

formule dans laquelle il n’est plus question que de substituer pour les coordonnées des deux centres les valeurs trouvées ci-dessus, et qui se simplifierait peut-être, en y introduisant les rayons et [1]

  1. Il serait sur-tout intéressant de savoir si peut être exprimé uniquement en fonction de et
    J. D. G.