Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 05/Analise élémentaire, article 1

Démonstration élémentaire d’un Lemme relatif aux maxima et aux minima ; par un Abonné.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 5, 1815 (p. 186-188).

CORRESPONDANCE.

Lettre au Rédacteur des Annales, contenant une
démonstration élémentaire du Lemme énoncé à la
page 345 du 4.^me volume de ce recueil.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Monsieur,

J’aurais bien désiré pouvoir répondre complètement à l’appel que vous faites aux géomètres, dans la note de la page 348 du 4.^me volume des Annales ; et rendre ainsi tout à fait élémentaire la belle théorie développée à la page 138 du même volume. En attendant que quelqu’un de plus adroit que moi y soit parvenu, je vais au moins donner du Lemme de la page 345 une démonstration, toujours algébrique, mais délivrée du moins de l’emploi du calcul différentiel.

La question dont il s’agit (pag. 346) est de rendre minimum, l’expression

$z=a{\sqrt {k^{2}+x^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}+b{\sqrt {k^{2}+y^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta }},\qquad$(1)

sous les conditions

$x+y=A,\qquad$(2)

$a\operatorname {Sin} .\alpha =b\operatorname {Sin} .\beta =\lambda k,\qquad$(3)

$A$ et $\lambda$ étant deux constantes.

Soient fait d’abord passer sous les radicaux, dans (1), les coefficiens qui les affectent ; en ayant égard à (3), cette équation deviendra

$z=k\left\{{\sqrt {a^{2}+\lambda ^{2}x^{2}}}+{\sqrt {b^{2}+\lambda ^{2}+y^{2}}}\right\}\,;$

d’où en quarrant et extrayant ensuite la racine quarrée,

$z=k{\sqrt {\left\{\left(a^{2}+b^{2}\right)+\lambda ^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+2{\sqrt {\left\{a^{2}b^{2}+\lambda ^{2}\left(a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}\right)+\lambda ^{4}x^{2}y^{2}\right\}}}\right\}}}\,;$

équation qui, à l’aide de (2), et en posant, pour abréger

$(a+b)^{2}+\lambda ^{2}A^{2}=C^{2},\qquad ab+\lambda ^{2}xy=Z,$

peut facilement être mise sous cette forme

$z=k{\sqrt {C^{2}+2\left\{{\sqrt {Z^{2}+\lambda ^{2}(ay-bx)^{2}}}-Z\right\}}}.\qquad$(4)

Or, on voit évidemment que, $C$ étant une constante, $z$ ne peut devenir minimum, qu’autant que la fonction

${\sqrt {Z^{2}+\lambda ^{2}(ay-bx)^{2}}}-Z$

sera la plus petite possible ; et, comme d’ailleurs elle ne peut jamais devenir négative, on ne peut parvenir au but qu’en la rendant absolument nulle, c’est-à-dire, en posant

$Z={\sqrt {Z^{2}+\lambda ^{2}(ay-bx)^{2}}}\,;$

ce qui donne, en quarrant, réduisant, divisant par $\lambda ^{2},$ extrayant la racine quarrée et transposant,

$bx=ay,$

En combinant cette équation avec (3), il vient

$xSin.\alpha =ySin.\beta ,$

d’où

$k^{2}x^{2}Sin.^{2}\alpha =k^{2}y^{2}Sin.^{2}\beta ,$

et

$k^{2}x^{2}Sin.^{2}\alpha +x^{2}y^{2}Sin.^{2}\alpha Sin.^{2}\beta =k^{2}y^{2}Sin.^{2}\beta +x^{2}y^{2}Sin.^{2}\alpha Sin.^{2}\beta ,$

ou encore

$x^{2}Sin.^{2}\alpha \left(k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta \right)=y^{2}Sin.^{2}\beta \left(k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha \right),$

ou enfin

${\frac {xSin.\alpha }{\sqrt {k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha }}}={\frac {ySin.\beta }{\sqrt {k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta }}},$

qui est précisément l’équation (6) de l’endroit cité.

Agréez, etc.

21 août 1814.