Cours d'analyse de l'école royale polytechnique

Cours d’analyse de l’école royale polytechnique

Paris, Gauthier-Villars, 1882 (Série 2, Tome 3, p. 17-TDM).

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COURS D’ANALYSE
DE
L’ÉCOLE ROYALE POLYTECHNIQUE

(ANALYSE ALGÉBRIQUE).

Le Cours d’Analyse devait comprendre plusieurs Parties dont la première seule a été publiée par Cauchy. L’indication de « Première Partie » a cependant été conservée dans cette édition afin d’éviter toute confusion.

COURS D’ANALYSE
DE
L’ÉCOLE ROYALE POLYTECHNIQUE ;

Par M. Augustin-Louis CAUCHY,

Ingénieur des Ponts et Chaussées, Professeur d'Analyse à l’École polytechtnique,
Membre de l’Académie des sciences, Chevalier de la Légion d’honneur.

I^re PARTIE. Analyse algébrique.

DE L’IMPRIMERIE ROYALE.

Chez Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi,
rue Serpente, n.° 7.

1821

INTRODUCTION.

Quelques personnes, qui ont bien voulu guider mes premiers pas dans la carrière des sciences, et parmi lesquelles je citerai avec reconnaissance MM. Laplace et Poisson, ayant témoigné le désir de me voir publier le Cours d’analyse de l’École royale polytechnique, je me suis décidé à mettre ce Cours par écrit pour la plus grande utilité des élèves. J’en offre ici la première partie connue sous le nom d’Analyse algébrique, et dans laquelle je traite successivement des diverses espèces de fonc tions réelles ou imaginaires, des séries convergentes ou divergentes, de la résolution des équations, et de la décomposition des fractions rationnelles. En parlant de la continuité des fonctions, je n’ai pu me dispenser de faire connaître les propriétés principales des quantités infiniment petites, propriétés qui servent de base au calcul infinitésimal. Enfin, dans les préliminaires et dans quelques notes placées à la fin du volume, j’ai présenté des développemens qui peuvent être utiles soit aux Professeurs et aux Élèves des Collèges royaux, soit à ceux qui veulent faire une étude spéciale de l’analyse.

Quant aux méthodes, j’ai cherché à leur donner toute la rigueur qu’on exige en géométrie, de manière à ne jamais recourir aux raisons tirées de la généralité de l’algèbre. Les raisons de cette espèce, quoique assez communément admises, sur-tout dans le passage des séries convergentes aux séries divergentes, et des quantités réelles aux expressions imaginaires, ne peuvent être considérées, ce me semble, que comme des inductions propres à faire pressentir quelquefois la vérité, mais qui s’accordent peu avec l’exactitude si vantée des sciences mathématiques. On doit même observer qu’elles tendent à faire attribuer aux formules algébriques une étendue indéfinie, tandis que, dans la réalité, la plupart de ces formules subsistent uniquement sous certaines conditions, et pour certaines valeurs des quantités qu’elles renferment. En déterminant ces conditions et ces valeurs, et en fixant d’une manière précise le sens des notations dont je me sers, je fais disparaître toute incertitude ; et alors les différentes formules ne présentent plus que des relations entre les quantités réelles, relations qu’il est toujours facile de vérifier par la substitution des nombres aux quantités elles-mêmes. Il est vrai que, pour rester constamment fidèle à ces principes, je me suis vu forcé d’admettre plusieurs propositions qui paraîtront peut-être un peu dures au premier abord. Par exemple, j’énonce dans le chapitre VI, qu’une série divergente n’a pas de somme ; dans le chapitre VII, qu’une équation imaginaire est seulement la représentation symbolique de deux équations entre quantités réelles ; dans le chapitre IX, que, si des constantes ou des variables comprises dans une fonction, après avoir été supposées réelles, deviennent imaginaires, la notation à l’aide de laquelle la fonction se trouvait exprimée, ne peut être conservée dans le calcul qu’en vertu d’une convention nouvelle propre à fixer le sens de cette notation dans la dernière hypothèse ; &c. Mais ceux qui liront mon ouvrage reconnaîtront, je l’espère, que les propositions de cette nature, entraînant l’heureuse nécessité de mettre plus de précision dans les théories, et d’apporter des restrictions utiles à des assertions trop étendues, tournent au profit de l’analyse, et fournissent plusieurs sujets de recherches qui ne sont pas sans importance. Ainsi, avant d’effectuer la sommation d’aucune série, j’ai dû examiner dans quels cas les séries peuvent être sommées, ou, en d’autres termes, quelles sont les conditions de leur convergence ; et j’ai, à ce sujet, établi des règles générales qui me paraissent mériter quelque attention.

Au reste, si j’ai cherché, d’une part, à perfectionner l’analyse mathématique, de l’autre, je suis loin de prétendre que cette analyse doive suffire à toutes les sciences de raisonnement. Sans doute, dans les sciences qu'on nomme naturelles, la seule méthode qu’on puisse employer avec succès consiste à observer les faits et à soumettre ensuite les observations au calcul. Mais ce serait une erreur grave de penser qu’on ne trouve la certitude que dans les démonstrations géométriques, ou dans le témoignage des sens ; et quoique personne jusqu’à ce jour n’ait essayé de prouver par l’analyse l’existence d’Auguste ou celle de Louis XIV, tout homme sensé conviendra que cette existence est aussi certaine pour lui que le carré de l’hypoténuse ou le théorème de Maclaurin. Je dirai plus ; la démonstration de ce dernier théorème est à la portée d’un petit nombre d’esprits, et les savans eux-mêmes ne sont pas tous d’accord sur l’étendue qu’on doit lui attribuer ; tandis que tout le monde sait fort bien par qui la France a été gouvernée dans le dix-septième siècle, et qu’il ne peut s’élever à ce sujet aucune contestation raisonnable. Ce que je dis ici d’un fait historique peut s’appliquer également à une foule de questions, en religion, en morale, en politique. Soyons donc persuadés qu’il existe des vérités autres que les vérités de l’algèbre, des réalités autres que les objets sensibles. Cultivons avec ardeur les sciences mathématiques, sans vouloir les étendre au-delà de leur domaine ; et n’allons pas nous imaginer qu’on puisse attaquer l’histoire avec des formules, ni donner pour sanction à la morale des théorèmes d’algèbre ou de calcul intégral.

En terminant cette Introduction, je ne puis me dispenser de reconnaître que les lumières et les conseils de plusieurs personnes m’ont été fort utiles, particulièrement ceux de MM. Poisson, Ampère et Coriolis. Je dois à ce dernier, entre autres choses, la régie sur la convergence des produits composés d’un nombre infini de facteurs, et j’ai profité plusieurs fois des observations de M. Ampère, ainsi que des méthodes qu’il développe dans ses Leçons d’analyse.

COURS D’ANALYSE

DE

L’ÉCOLE ROYALE POLYTECHNIQUE.

PRÉLIMINAIRES.

revue des diverses espèces de quantités réelles que l’on peut considérer, soit en algèbre, soit en trigonométrie, et des notations à l’aide desquelles on les représente. — des moyennes entre plusieurs quantités.

Pour éviter toute espèce de confusion dans le langage et l’écriture algébriques, nous allons fixer dans ces préliminaires la valeur de plusieurs termes et de plusieurs notations que nous emprunterons soit à l’Algèbre ordinaire, soit à la Trigonométrie. Les explications que nous donnerons à ce sujet sont nécessaires, pour que nous ayons la certitude d’être parfaitement compris de ceux qui liront cet Ouvrage. Nous allons indiquer d’abord quelle idée il nous paraît convenable d’attacher à ces deux mots, nombre et quantité.

Nous prendrons toujours la dénomination de nombres dans le sens où on l’emploie en Arithmétique, en faisant naître les nombres de la mesure absolue des grandeurs, et nous appliquerons uniquement la dénomination de quantités aux quantités réelles positives ou négatives, c’est-à-dire aux nombres précédés des signes $+$ ou $-$ . De plus, nous regarderons les quantités comme destinées à exprimer des accroissements ou des diminutions ; en sorte qu’une grandeur donnée sera simplement représentée par un nombre, si l’on se contente de la comparer à une autre grandeur de même espèce prise pour unité, et par ce nombre précédé du signe $+$ ou du signe $-$ , si on la considère comme devant servir à l’accroissement ou à la diminution d’une grandeur fixe de la même espèce. Cela posé, le signe $+$ ou $-$ placé devant un nombre en modifiera la signification, à peu près comme un adjectif modifie celle du substantif. Nous appellerons valeur numérique d’une quantité le nombre qui en fait la base, quantités égales celles qui ont le même signe avec la même valeur numérique, et quantités opposées deux quantités égales quant à leurs valeurs numériques, mais affectées de signes contraires. En partant de ces principes, il est facile de rendre compte des diverses opérations que l’on peut faire subir aux quantités. Par exemple, deux quantités étant données, on pourra toujours en trouver une troisième qui, prise pour accroissement d’un nombre fixe, si elle est positive, et pour diminution dans le cas contraire, conduise au même résultat que les deux quantités données, employées l’une après l’autre à pareil usage. Cette troisième quantité, qui à elle seule produit le même effet que les deux autres, est ce qu’on appelle leur somme. Ainsi les deux quantités $-10$ et $+7$ ont pour somme $-3$ , attendu qu’une diminution de $10$ unités, jointe à une augmentation de $7$ unités, équivaut à une diminution de $3$ unités. Ajouter deux quantités, c’est former leur somme. La différence entre une première quantité et une seconde, c’est une troisième quantité qui, ajoutée à la seconde, reproduit la première. Enfin, on dit qu’une quantité est plus grande ou plus petite qu’une autre, suivant que la différence de la première à la seconde est positive ou négative. D’après cette définition, les quantités positives surpassent toujours les quantités négatives, et celles-ci doivent être considérées comme d’autant plus petites que leurs valeurs numériques sont plus grandes.

En Algèbre, on représente, non seulement les nombres, mais aussi les quantités, par des lettres. Comme on est convenu de ranger les nombres absolus dans la classe des quantités positives, on peut désigner la quantité positive qui a pour valeur numérique le nombre $\mathrm {A}$ , soit par $+\mathrm {A}$ , soit par $\mathrm {A}$ seulement, tandis que la quantité négative opposée se trouve représentée par $-\mathrm {A}$ . De même, dans le cas où la lettre a représente une quantité, on est convenu de regarder comme synonymes les deux expressions $a$ et $+a$ , et de représenter par $-a$ la quantité opposée à $+a$ . Ces remarques suffisent pour établir ce qu’on appelle la règle des signes (voir la Note I).

On nomme quantité variable celle que l’on considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres. On désigne une semblable quantité par une lettre prise ordinairement parmi les dernières de l’alphabet. On appelle au contraire quantité constante, et l’on désigne ordinairement par une des premières lettres de l’alphabet toute quantité qui reçoit une valeur fixe et déterminée. Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s’approchent indéfiniment d’une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l’on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. Ainsi, par exemple, un nombre irrationnel est la limite des diverses fractions qui en fournissent des valeurs de plus en plus approchées. En Géométrie, la surface du cercle est la limite vers laquelle convergent les surfaces des polygones inscrits, tandis que le nombre de leurs côtés croît de plus en plus, etc.

Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable décroissent indéfiniment, de manière à s’abaisser au-dessous de tout nombre donné, cette variable devient ce qu’on nomme un infiniment petit ou une quantité infiniment petite. Une variable de cette espèce a zéro pour limite.

Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable croissent de plus en plus, de manière à s’élever au-dessus de tout nombre donné, on dit que cette variable a pour limite l’infini positif, indiqué par le signe $\infty$ , s’il s’agit d’une variable positive, et l’infini négatif, indiqué par la notation $-\infty$ , s’il s’agit d’une variable négative. Les infinis positif et négatif sont désignés conjointement sous le nom de quantités infinies.

Les quantités qui se présentent, dans le calcul, comme résultats d’opérations faites sur une ou plusieurs autres quantités constantes ou variables, peuvent être divisées en plusieurs espèces suivant la nature des opérations qui les produisent. C’est ainsi que l’on distingue, en Algèbre, les sommes et différences, les produits et quotients, les puissances et racines, les exponentielles et les logarithmes ; en Trigonométrie, les sinus et cosinus, sécantes et cosécantes, tangentes et cotangentes, et les arcs de cercle dont une ligne trigonométrique est donnée. Pour bien comprendre ce qui est relatif à ces dernières espèces de quantités, il est nécessaire de se rappeler les principes suivants.

Une longueur, comptée sur une ligne droite ou courbe, peut être, comme toute espèce de grandeurs, représentée soit par un nombre, soit par une quantité, savoir : par un nombre, lorsqu’on a simplement égard à la mesure de cette longueur, et par une quantité, c’est-à-dire par un nombre précédé du signe $+$ ou $-$ , lorsque l’on considère la longueur dont il s’agit comme portée, à partir d’un point fixe, sur la ligne donnée dans un sens ou dans un autre, pour servir soit à l’augmentation, soit à la diminution d’une autre longueur constante aboutissant à ce point fixe. Le point fixe dont il est ici question, et à partir duquel on doit porter les longueurs variables désignées par des quantités, est ce qu’on appelle l’origine de ces mêmes longueurs. Deux longueurs comptées à partir d’une origine commune, mais en sens contraires, doivent être représentées par des quantités de signes différents. On peut choisir à volonté le sens dans lequel on doit compter les longueurs désignées par des quantités positives ; mais, ce choix une fois fait, il faudra nécessairement compter dans le sens apposé les longueurs qui seront désignées par des quantités négatives.

Dans un cercle dont le plan est supposé vertical, on prend ordinairement pour origine des arcs l’extrémité du rayon tiré horizontalement de gauche à droite, et c’est en s’élevant au-dessus de ce point que l’on compte les arcs positifs, c’est-à-dire ceux que l’on désigne par des quantités positives. Dans le même cercle, lorsque le rayon se réduit à l’unité, le sinus d’un arc, c’est-à-dire la projection sur le diamètre vertical du rayon qui passe par l’extrémité de cet arc, se compte positivement de bas en haut et négativement en sens contraire, à partir du centre du cercle pris pour origine des sinus. La tangente se compte positivement dans le même sens que le sinus, mais à partir de l’origine des arcs et sur la verticale menée par cette origine. Enfin, la sécante se compte à partir du centre sur le rayon mené à l’extrémité de l’arc que l’on considère, et positivement dans le sens de ce rayon.

Souvent le résultat d’une opération effectuée sur une quantité peut avoir plusieurs valeurs différentes les unes des autres. Lorsque nous voudrons désigner indistinctement une quelconque de ces valeurs, nous nous servirons de notations dans lesquelles la quantité sera entourée de doubles traits ou de doubles parenthèses, et nous réserverons la notation ordinaire pour la valeur la plus simple ou celle qui paraîtra mériter davantage d’être remarquée. Ainsi, par exemple, $a$ étant une quantité positive, la racine carrée de cette quantité aura deux valeurs numériquement égales, mais de signes contraires, dont l’une quelconque sera exprimée par la notation

((a))^{\frac {1}{2}}

ou

{\sqrt {\sqrt {a}}}

,

tandis que la valeur positive seule sera représentée par

a^{\frac {1}{2}}

ou

{\sqrt {a}}

;

en sorte qu’on aura

(1)

{\sqrt {\sqrt {a}}}=\pm {\sqrt {a}}

ou, ce qui revient au même,

(2)

((a))^{\frac {1}{2}}=\pm a^{\frac {1}{2}}

De même encore, si l’on représente par

a

une quantité positive ou négative, la notation

\operatorname {arc\ sin} ((a))

ou

\operatorname {arc\ tang} ((a))

désignera un quelconque des arcs qui ont la quantité

a

pour sinus ou pour tangente, tandis que la notation

\operatorname {arc\ sin} (a)

ou

\operatorname {arc\ tang} (a)

indiquera seulement celui de ces arcs qui a la plus petite valeur

numérique. À l’aide de ces conventions, on évite la confusion que pourrait entraîner l’emploi de signes dont la valeur n’aurait pas été déterminée d’une manière assez précise. Afin de lever à cet égard toute difficulté, je vais présenter ici le Tableau des notations dont nous ferons usage pour exprimer les résultats des opérations algébriques ou trigonométriques.

La somme de deux quantités sera indiquée à l’ordinaire par la juxtaposition de ces deux quantités, chacune d’elles étant exprimée par une lettre précédée du signe $+$ ou $-$ , que l’on pourra supprimer (si c’est le signe $+$ ) devant la première lettre seulement. Ainsi

+a+b\quad {\text{ou simplement}}\quad a+b

désignera la somme des deux quantités

+a

,

+b

, et

+a-b\quad {\text{ou simplement}}\quad a-b

désignera la somme des deux quantités $+a$ , $-b$ , équivalente à la différence des deux quantités $+a$ , $+b$ .

On indiquera l’égalité des deux quantités $a$ et $b$ par le signe $=$ interposé entre elles, comme il suit, $a=b,$

et l’on exprimera que la première surpasse la seconde, c’est-à-dire que la différence $a-b$ est positive, en écrivant

a>b\quad {\text{ou}}\quad b<a

Nous représenterons encore à l’ordinaire par

+a\times +b,\quad {\text{ou simplement}}\quad a.b

ou

ab

le produit des deux quantités $+a,+b$ , et par

{\frac {a}{b}}\quad {\text{ou}}\quad b:a

leur quotient.

Soient maintenant $m$ et $n$ deux nombres entiers, $\mathrm {A}$ un nombre quelconque, et $a$ , $b$ deux quantités quelconques positives ou négatives. $\mathrm {A} ^{m},\qquad \mathrm {A} ^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},\qquad \mathrm {A} ^{\pm {\frac {m}{n}}},\qquad \mathrm {A} ^{b}$

représenteront les quantités positives qu’on obtient en élevant le nombre $\mathrm {A}$ à des puissances respectivement marquées par les exposants

$m,\qquad {\frac {1}{n}},\qquad \pm {\frac {m}{n}},\qquad b,$

et

$a^{\pm {\frac {m}{n}}}$

la quantité positive ou négative que produit l’élévation de la quantité $a$ à la puissance $\pm m$ . Quant aux notations

$((a))^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\sqrt {a}}},\qquad ((a))^{\pm {\frac {m}{n}}}$

nous nous en servirons pour exprimer, non seulement les valeurs positives ou négatives, lorsqu’il en existe, des puissances de la quantité $a$ marquées par les exposants

${\frac {1}{n}},\qquad \pm {\frac {m}{n}}$

mais encore les valeurs imaginaires de ces mêmes puissances (voir ci-après, Chap. VII, ce qu’on entend par expressions imaginaires). Il est bon d’observer que, si l’on désigne par $\mathrm {A}$ la valeur numérique de $a,$ et si l’on suppose la fraction ${\frac {m}{n}}$ réduite à sa plus simple expression, la puissance

$((a))^{\frac {m}{n}}$

aura une seule valeur réelle positive ou négative, savoir

+\mathrm {A} ^{\frac {m}{n}}\quad {\text{ou}}\quad -\mathrm {A} ^{\frac {m}{n}}

lorsque ${\frac {m}{n}}$ sera une fraction de dénominateur impair ; tandis qu’elle admettra les deux valeurs réelles dont on vient de parler, ou qu’elle

n’en admettra aucune, si

{\frac {m}{n}}

est une fraction de dénominateur pair.

On peut faire une semblable remarque à l’égard de l’expression $((a))^{-{\frac {m}{n}}}$

Dans le cas particulier où, la quantité $a$ étant positive, on suppose ${\frac {m}{n}}={\frac {1}{2}}$ l’expression $((a))^{\frac {m}{n}}$ n’a que deux valeurs réelles l’une et l’autre, et données par la formule (2) ou, ce qui revient au même, par la formule (1).

Les notations $l\mathrm {(\mathrm {B} } ),\quad \operatorname {L} (\mathrm {B} ),\quad \operatorname {L} '(\mathrm {B} ),\quad \dots$

indiqueront les logarithmes réels du nombre $\mathrm {B}$ dans différents systèmes, tandis que chacune des suivantes

l((b)),\quad \operatorname {L} ((b)),\quad \operatorname {L} '((b)),\quad \dots

pourra servir à désigner, outre le logarithme réel de la quantité $b$ , lorsqu’il existe, un quelconque des logarithmes imaginaires de cette même quantité (voir ci-après, Chap. IX, ce qu’on entend par logarithmes imaginaires).

En Trigonométrie

\sin a,\quad \cos a,\quad \operatorname {tang} a,\quad \cot a,\quad \operatorname {\text{séc}} a,\quad \operatorname {\text{coséc}} a,\quad \operatorname {siv} a,\quad \operatorname {cosiv} a

exprimeront respectivement le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente, la sécante, la cosécante, le sinus verse ou le cosinus verse de l’arc $a$ , et les notations

{\begin{array}{lll}\operatorname {arc\ sin} ((a)),&\operatorname {arc\ cos} ((a)),&\operatorname {arc\ tang} ((a)),\\\operatorname {arc\ cot} ((a)),&\operatorname {\mathrm {arc\ s{\acute {e}}c} } ((a)),&\operatorname {\mathrm {arccos{\acute {e}}c} } ((a))\end{array}}

indiqueront un quelconque des arcs qui ont la quantité $a$ pour sinus, ou cosinus, ou tangente, ou cotangente, ou sécante, ou cosécante. Nous nous servirons des notations simples

\operatorname {arc\ sin} (a),\quad \operatorname {arc\ cos} (a),\quad \operatorname {arc\ tang} (a),\quad \operatorname {arc\ cot} (a),\quad \operatorname {\mathrm {arc\ s{\acute {e}}c} } (a),\quad \operatorname {\mathrm {arc\ cos{\acute {e}}c} } (a),

ou même, en supprimant tout à fait les parenthèses, des notations

suivantes

\operatorname {arc\ sin} a,\;\operatorname {arc\ cos} a,\;\operatorname {arc\ tang} a,\;\operatorname {arc\ cot} a,\;\operatorname {\mathrm {arc\ s{\acute {e}}c} } a,\;\operatorname {\mathrm {arc\ cos{\acute {e}}c} } a,

lorsque, parmi les arcs dont une ligne trigonométrique est égale $a$ , nous voudrons désigner celui qui a la plus petite valeur numérique, ou, si ces arcs sont deux à deux égaux et de signes contraires, celui qui a la plus petite valeur positive. En conséquence,

\operatorname {arc\ sin} a,\quad \operatorname {arc\ tang} a,\;\operatorname {arc\ cot} \ a,\;\operatorname {\mathrm {arc\ cos{\acute {e}}c} } a,

indiqueront des arcs positifs ou négatifs, mais compris entre les limites

$-{\frac {\pi }{2}},\quad +{\frac {\pi }{2}},$

$\pi$ désignant la demi-circonférence dans le cercle qui a pour rayon l’unité, tandis que

$\operatorname {arc\ cos} a,\quad \operatorname {\mathrm {arc\ s{\acute {e}}c} } a$ indiqueront des arcs positifs compris entre les limites $0$ et $\pi$ .

En vertu des conventions que l’on vient d’établir, si l’on désigne par $k$ un nombre entier arbitraire, on aura évidemment, pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la quantité $a$ ,

(3)

{\begin{cases}\operatorname {arc\ sin} ((a))={\cfrac {\pi }{2}}\pm \left({\cfrac {\pi }{2}}-\operatorname {arc\ sin} a\right)\pm 2k\pi ,\\\operatorname {arc\ cos} ((a))=\operatorname {arc\ cos} a\pm 2k\pi ,\\\operatorname {arc\ tang} ((a))=\operatorname {arc\ tang} a\pm k\pi ,\\\operatorname {arc\ cos} a+\operatorname {arc\ sin} a={\cfrac {\pi }{2}},\\\operatorname {\mathrm {arc\ cos{\acute {e}}c} } a+\operatorname {\mathrm {arcs{\acute {e}}c} } a={\cfrac {\pi }{2}}.\end{cases}}

On trouvera de plus, pour des valeurs positives de $a$ ,

(4)

\operatorname {arc\ cot} a+\operatorname {arc\ tang} a={\frac {\pi }{2}}

et, pour des valeurs négatives de $a$ ,

(5)

\operatorname {arc\ cot} a+\operatorname {arc\ tang} a=-{\frac {\pi }{2}}

Lorsqu’une quantité variable converge vers une limite fixe, il est souvent utile d’indiquer cette limite par une notation particulière ; c’est ce que nous ferons, en plaçant l’abréviation $\lim$ devant la quantité variable dont il s’agit. Quelquefois, tandis qu’une ou plusieurs variables convergent vers des limites fixes, une expression qui renferme ces variables converge à la fois vers plusieurs limites différentes les unes des autres. Nous indiquerons alors une quelconque de ces dernières limites à l’aide de doubles parenthèses placées à la suite de l’abréviation $\lim$ , de manière à entourer l’expression que l’on considère. Supposons, pour fixer les idées, qu’une variable positive ou négative représentée par $x$ converge vers la limite $o$ , et désignons par $\mathrm {A}$ un nombre constant : il sera facile de s’assurer que chacune des expressions $\lim \mathrm {A} ^{x},\quad \lim \sin x$ a une valeur unique déterminée par l’équation $\lim \mathrm {A} ^{x}=1$ ou $\lim \sin x=0,$ tandis que l’expression $\lim \left(\left({\frac {1}{x}}\right)\right)$ admet deux valeurs, savoir, $+\infty$ , $-\infty$ , et $\lim \left(\left(\sin {\frac {1}{x}}\right)\right)$ une infinité de valeurs comprises entre les limites $-1$ et $+1$ .

Nous allons terminer ces préliminaires en présentant, sur les quantités moyennes, plusieurs théorèmes dont la connaissance nous sera fort utile dans la suite de cet Ouvrage. On appelle moyenne entre plusieurs quantités données une nouvelle quantité comprise entre la plus petite et la plus grande de celles que l’on considère. D’après cette définition, il est clair qu’il existe une infinité de moyennes entre plusieurs quantités inégales, et que la moyenne entre plusieurs quantités égales se confond avec chacune d’elles. Cela posé, on établira facilement, ainsi qu’on peut le voir dans la Note II, les propositions suivantes :

Théorème I. — Soient $b,\;b',\;b'',\;\dots$ plusieurs quantités de même signe en nombre $n$ , et $a,\;a',\;a'',\;\dots$ des quantités quelconques en nombre égal à celui des premières, La fraction ${\frac {a+a'+a''+\dots }{b+b'+b''+\dots }}$ sera moyenne entre les suivantes ${\frac {a}{b}},\quad {\frac {a'}{b'}},\quad {\frac {a''}{b''}},\quad \dots$

Corollaire. — Si l’on suppose $b=b'=b''=\dots =1,$ on conclura du théorème précédent que la quantité ${\frac {a+a'+a''+\dots }{n}}$ est moyenne entre les suivantes $a,\quad a',\quad a'',\quad \dots .$ Cette espèce particulière de moyenne est ce qu’on nomme une moyenne arithmétique.

Théorème II. — Soient $\mathrm {A,A',A''} ,\dots ;\mathrm {B,B',B''} ,\dots$ deux suites de nombres pris à volonté, et formons avec ces deux suites, que nous supposons renfermer chacune un nombre $n$ de termes, les racines ${\rm {{\sqrt[{B}]{A}},\quad {\sqrt[{B'}]{A'}},\quad {\sqrt[{B''}]{A''}},\;\dots ;}}$ $\mathrm {\sqrt[{B+B'+B''\dots }]{AA'A''\dots }}$ sera une nouvelle racine moyenne entre toutes les autres.

Corollaire. — Si l’on prend $\mathrm {B=B'=B''} =\dots =1,$ on trouvera que la quantité positive ${\sqrt[{n}]{\mathrm {AA'A''\dots } }}$ est moyenne entre les suivantes $\mathrm {A,\quad A',\quad A''} ,\;\dots .$ Cette moyenne, d’une espèce particulière, est celle que l’on nomme moyenne géométrique.

Théorème III. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème I, si $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\dots$ désignent encore des quantités de même signe, la fraction ${\frac {\alpha a+\alpha 'a'+\alpha ''a''+\cdots }{\alpha b+\alpha 'b'+\alpha ''b''+\cdots }}$ sera moyenne entre les suivantes ${\frac {a}{b}}\quad {\frac {a'}{b'}},\quad {\frac {a''}{b''}},\quad \dots .$

Corollaire. — Si l’on suppose $b=b'=b''=\dots =1,$ on conclura du théorème précédent que la somme $a\alpha +a'\alpha '+a''\alpha ''+\cdots$ est équivalente au produit de $\alpha +\alpha '+\alpha ''+\cdots$ par une moyenne entre les quantités $a,a',a'',\dots$ .

Pour abréger, lorsque nous voudrons désigner une moyenne entre plusieurs quantités $a,a',a'',\dots$ , nous nous servirons de la notation $\operatorname {M} (a,a',a'',\dots )$

Cela posé, les théorèmes qui précèdent et leurs corollaires se trouveront compris dans les formules

(6)	${\frac {a+a'+a''+\dots }{b+b'+b''+\dots }}$	$=\operatorname {M} \left({\frac {a}{b}},{\frac {a'}{b'}},{\frac {a''}{b''}},\dots \right)$ ,
(7)	${\frac {a+a'+a''+\dots }{n}}$	$=\operatorname {M} \left(a,a',a'',\dots \right)$ ,
(8)	$\mathrm {\sqrt[{B+B'+B''+\dots }]{AA'A''\dots }}$	$=\operatorname {M} \mathrm {\left({\sqrt[{B}]{A}},{\sqrt[{B'}]{A'}},{\sqrt[{B''}]{A''}},\dots \right)}$ ,
(9)	${\sqrt[{n}]{\mathrm {AA'A''\dots } }}$	$=\operatorname {M} (\mathrm {A,A',A''} ,\dots )$ ,
(10)	${\frac {a\alpha +a'\alpha '+a''\alpha ''+\dots }{b\alpha +b'\alpha '+b''\alpha ''+\dots }}$	$=\operatorname {M} \left({\frac {a}{b}},{\frac {a'}{b'}},{\frac {a''}{b''}},\dots \right)$ ,
(11)	$a\alpha +a'\alpha '+a''\alpha ''+\dots$	$=(\alpha +\alpha '+\alpha ''+\dots )\operatorname {M} (a,a',a'',\dots )$ .

Dans ces formules,

$a,\;a',\;a'',\;\dots ;\quad b,\;b',\;b''\;\dots ;\quad \alpha ,\;\alpha ',\;\alpha '',\;\dots$ représenteront trois suites de quantités, et $\mathrm {A,\;A',\;A'',\;\dots ;\quad B,\;B',\;B'',\;\dots }$ deux suites de nombres formées chacune de n termes différents. La troisième suite est, ainsi que la seconde, uniquement composée de quantités de même signe.

La notation que nous venons d’adopter fournit le moyen d’exprimer qu’une quantité est comprise entre deux limites données. En effet, toute quantité comprise entre les limites $a,b$ étant une moyenne entre ces mêmes limites, on pourra la désigner par $\operatorname {M} (a,b).$ Ainsi, par exemple, toute quantité positive pourra être représentée par $\operatorname {M} (0,\infty )$ , toute quantité négative par $\operatorname {M} (-\infty ,0)$ , et toute quantité réelle par $\operatorname {M} (-\infty ,+\infty )$ . Lorsque nous voudrons indiquer indistinctement une quelconque des quantités renfermées entre les limites $a$ et $b$ , nous doublerons les parenthèses, et nous écrirons $\operatorname {M} ((a,b))$ Par exemple, si l’on suppose que la variable $x$ converge vers zéro, on aura $\lim \left(\left(\sin {\frac {1}{x}}\right)\right)=\operatorname {M} ((-1,+1)),$ attendu que l’expression $\lim \left(\left(\sin {\frac {1}{x}}\right)\right)$ admettra une infinité de valeurs comprises entre les valeurs extrêmes $-1$ et $+1$ .

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PREMIÈRE PARTIE.
ANALYSE ALGÉBRIQUE.

CHAPITRE I.
DES FONCTIONS RÉELLES.

§ I. — Considérations générales sur les fonctions.

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, la valeur de l’une d’elles étant donnée, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on conçoit d’ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l’une d’entre elles, qui prend alors le nom de variable indépendante ; et les autres quantités exprimées au moyen de la variable indépendante sont ce qu’on appelle des fonctions de cette variable.

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, les valeurs de quelques-unes étant données, on puisse en conclure celles de toutes les autres, on conçoit ces diverses quantités exprimées au moyen de plusieurs d’entre elles, qui prennent alors le nom de variables indépendantes ; et les quantités restantes, exprimées au moyen des variables indépendantes, sont ce qu’on appelle des fonctions de ces mêmes variables.

Les diverses expressions que fournissent l’Algèbre et la Trigonométrie, lorsqu’elles renferment des variables considérées comme indépendantes, sont autant de fonctions de ces mêmes variables. Ainsi, par exemple,

$\operatorname {L} (x),\quad \sin x,\dots$ sont des fonctions de la variable $x$ ; $x+y,\quad x^{y},\quad xyz,\quad \dots$ des fonctions des variables $x$ et $y$ ou $x$ , $y$ et $z,\;\dots$ .

Lorsque des fonctions d’une ou de plusieurs variables se trouvent, comme dans les exemples précédents, immédiatement exprimées au moyen de ces mêmes variables, elles sont nommées fonctions explicites. Mais, lorsqu’on donne seulement les relations entre les fonctions et les variables, c’est-à-dire les équations auxquelles ces quantités doivent satisfaire, tant que ces équations ne sont pas résolues algébriquement, les fonctions, n’étant pas exprimées immédiatement au moyen des variables, sont appelées fonctions implicites. Pour les rendre explicites, il suffit de résoudre, lorsque cela se peut, les équations qui les déterminent. Par exemple, $y$ étant une fonction implicite de $x$ déterminée par l’équation $\operatorname {L} (y)=x,$ si l’on nomme $\mathrm {A}$ la base du système de logarithmes que l’on considère, la même fonction, devenue explicite par la résolution de l’équation donnée, sera $y=\mathrm {A} ^{x}.$

Lorsqu’on veut désigner une fonction explicite d’une seule variable $x$ ou de plusieurs variables $x,\;y,\;z,\;\dots$ , sans déterminer la nature de cette fonction, on emploie l’une des notations $f(x),\quad \operatorname {F} (x),\quad \varphi (x),\quad \chi (x),\quad \psi (x),\quad \omega (x),\quad \dots ,$ $f(x,y,z,\dots ),\quad \operatorname {F} (x,y,z,\dots ),\quad \varphi (x,y,z,\dots ),\quad \dots .$

Pour qu’une fonction d’une seule variable soit complètement déterminée, il est nécessaire et il suffit que de chaque valeur particulière attribuée à la variable on puisse déduire la valeur correspondante de la fonction. Quelquefois, pour chaque valeur de la variable, la fonction donnée en obtient plusieurs différentes les unes des autres. Conformément aux conventions adoptées dans les préliminaires, nous désignerons d’ordinaire ces valeurs multiples d’une fonction par des notations dans lesquelles la variable sera entourée de doubles traits ou de doubles parenthèses. Ainsi, par exemple, $\operatorname {arc\ sin} ((x))$ indiquera un quelconque des arcs qui ont $x$ pour sinus ; ${\sqrt {\sqrt {x}}}=\pm {\sqrt {x}}$ l'une quelconque des deux racines carrées de la variable $x$ supposée positive, etc.

§ II. — Des fonctions simples.

Parmi les fonctions d’une variable $x$ , on appelle simples celles qui résultent d’une seule opération effectuée sur cette variable. Les fonctions simples que l’on considère ordinairement en Analyse sont en très petit nombre, et se rapportent les unes à l’Algèbre, les autres à la Trigonométrie. L’addition et la soustraction, la multiplication et la division, l’élévation aux puissances et l’extraction des racines, enfin la formation des exponentielles et des logarithmes produisent les fonctions simples qui se rapportent à l’Algèbre. En conséquence, si l’on désigne par $\mathrm {A}$ un nombre constant, et par $a=\pm \mathrm {A}$ une quantité constante, les fonctions algébriques simples de la variable $x$ seront

$a+x,\quad a-x,\quad ax,\quad {\frac {a}{x}},\quad \mathrm {A} ^{x},\quad \operatorname {L} (x).$ Nous ne tenons pas ici compte des racines, parce qu’on peut toujours les ramener aux puissances. Quant aux fonctions simples qui se rapportent à la Trigonométrie, on pourrait en compter un grand nombre, si l’on rangeait parmi les fonctions simples toutes les lignes trigonométriques et les arcs qui correspondent à ces mêmes lignes ; mais nous les réduirons aux quatre suivantes $\sin x,\;\cos x,$ $\operatorname {arc\ sin} x,\quad \operatorname {arc\ cos} x,$ et nous mettrons au nombre des fonctions composées les autres lignes trigonométriques $\operatorname {tang} x,\;\operatorname {\mathrm {s{\acute {e}}c} } x,\;\dots$ avec les arcs correspondants $\mathrm {arc\ tang} \ x,\;\mathrm {arc\ s{\acute {e}}c} \ x,\;\dots ,$ attendu que ces dernières lignes peuvent toujours être exprimées par le moyen du sinus et du cosinus. Nous pourrions même, à la rigueur, réduire les deux fonctions simples $\sin x$ et $\cos x$ à une seule, puisqu’elles sont liées entre elles par l’équation $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ ; mais l’emploi de ces deux fonctions est si fréquent, qu’il est utile de les conserver toutes deux à la fois dans le calcul comme fonctions simples.

§ III. — Des fonctions composées.

Les fonctions qui se déduisent d’une variable à l’aide de plusieurs opérations prennent le nom de fonctions composées ; et l’on distingue parmi ces dernières les fonctions de fonctions qui résultent de plusieurs opérations successives, la première opération étant effectuée sur la variable, et chacune des autres sur le résultat de l’opération précédente. En vertu de ces définitions, $x^{x},\quad {\sqrt[{x}]{x}},\quad {\frac {lx}{x}},\quad \dots$ sont des fonctions composées de la variable $x$ ; et $l(\sin x),\quad l(\cos x),\quad \dots$ des fonctions de fonctions, dont chacune résulte de deux opérations successives.

Les fonctions composées se distinguent les unes des autres par la nature des opérations qui les produisent. Il semble que l’on devrait nommer fonctions algébriques toutes celles que fournissent les opérations de l’Algèbre ; mais on a réservé particulièrement ce nom à celles que l’on forme en n’employant que les premières opérations algébriques, savoir, l’addition et la soustraction, la multiplication et la division, enfin l’élévation à des puissances fixes ; et, dès qu’une fonction renferme des exposants variables ou des logarithmes, elle prend le nom de fonction exponentielle ou logarithmique.

Les fonctions que l’on nomme algébriques se divisent en fonctions rationnelles et fonctions irrationnelles. Les fonctions rationnelles sont celles dans lesquelles la variable ne se trouve élevée qu’à des puissances entières. On appelle, en particulier, fonction entière tout polynôme qui ne renferme que des puissances entières de la variable, par exemple, $a+bx+cx^{2}+\dots ,$ et fonction fractionnaire on fraction rationnelle le quotient de deux semblables polynômes. Le degré d’une fonction entière de $x$ est l’exposant de la plus haute puissance de $x$ dans cette même fonction. La fonction entière du premier degré, savoir $a+bx$ s’appelle aussi fonction linéaire, parce que, dans l’application à la Géométrie, on s’en sert pour représenter l’ordonnée d’une ligne droite. Toute fonction entière ou fractionnaire est par cela même rationnelle, et toute autre espèce de fonction algébrique est irrationnelle.

Les fonctions que produisent les opérations de la Trigonométrie sont désignées sous le nom de fonctions trigonométriques ou circulaires.

Les divers noms que l’on vient d’attribuer aux fonctions composées d’une seule variable s’appliquent également aux fonctions de plusieurs variables, lorsque ces dernières fonctions jouissent, par rapport à chacune des variables qu’elles renferment, des propriétés que supposent les noms dont il s’agit. Ainsi, par exemple, tout polynôme qui ne contiendra que des puissances entières des variables $x,\;y,\;z,\;\dots ,$ sera une fonction entière de ces variables. On appelle degré de cette fonction entière la somme des exposants des variables dans le terme où cette somme est la plus grande. Une fonction entière du premier degré, telle que $a+bx+cy+dz+\dots ,$ prend le nom de fonction linéaire.

‌

a,b,c,\dots

désignant des quantités constantes. Alors,

u

étant fonction

continue de $x,y,z,\dots$ entre des limites quelconques de ces variables, et $x,y,z,\dots$ fonctions continues de la variable $t$ entre des limites quelconques de cette dernière, on conclura du théorème III que la fonction $u=a+bt+ct^{2}+\cdots$ est elle-même continue par rapport à $t$ entre des limites quelconques. Par suite, comme $t=0$ donne $a=a$ , si l’on fait converger $t$ vers la limite zéro, la fonction $u$ convergera vers la limite $a$ et finira par obtenir le même signe que cette limite, ce qui s’accorde avec le théorème IV du § I.

Une propriété remarquable des fonctions continues d’une seule variable, c’est de pouvoir servir à représenter en Géométrie les ordonnées de lignes continues droites ou courbes. De cette remarque on déduit facilement la proposition suivante :

Théorème IV. — Si la fonction /(^x) est continue par rapport à la variable X entre les limites ^- = ^r,,, ^ = X, et que l’on désigne par h une quantité intermédiaire entre fi^x^) et f{), on pourra toujours satisfaire à r équation

par une ou plusieurs valeurs réelles de x comprises entre .r^ et X.

Démonstration. — Pour établir la proposition précédente, il suffît de faire voir que la courbe qui a pour, équation $y=f(x)$ rencontrera une ou plusieurs fois la droite qui a pour équation $y=b$ dans l’intervalle compris entre les ordonnées qui correspondent aux abscisses $x_{0}$ et $X$ ; or c’est évidemment ce qui aura lieu dans l’hypothèse admise. En effet, la fonction $f(x)$ étant continue entre les limites

x_{0}

,

X

, la courbe qui a pour équation

y=f(x)

NOTES.

NOTE I.
SUR LA THÉORIE DES QUANTITÉS POSITIVES ET NÉGATIVES.

On a beaucoup disputé sur la nature des quantités positives ou négatives, et l’on a donné à ce sujet diverses théories. Celle que nous avons adoptée (voir les Préliminaires, pages 2 et 3) nous paraît la plus propre à éclaircir toutes les difficultés. Nous allons d’abord la rappeler en peu de mots. Nous montrerons ensuite comment l’on en déduit la règle des signes.

De même qu’on voit l’idée de nombre naître de la mesure des grandeurs, de même on acquiert l’idée de quantité (positive ou négative) lorsque l’on considère chaque grandeur d’une espèce donnée comme devant servir à l’accroissement ou à la diminution d’une autre grandeur fixe de même espèce. Pour indiquer cette destination, on représente les grandeurs qui doivent servir d’accroissements par des nombres précédés du signe $+,$ et les grandeurs qui doivent servir de diminutions par des nombres précédés du signe $-.$ Cela posé, les signes $+$ ou $-$ placés devant les nombres peuvent être comparés, suivant la remarque qui en a été faite^[1], à des adjectifs placés auprès de leurs substantifs. On désigne les nombres précédés du signe $+$ sous le nom de quantités positives, et les nombres précédés du signe $-$ sous le nom de quantités négatives. Enfin, l’on est convenu de ranger les nombres absolus qui ne sont précédés d’aucun signe dans la classe des quantités positives ; et c’est pour cette raison qu’on se dispense quelquefois d’écrire le signe $+$ devant les nombres qui doivent représenter des quantités de cette espèce.

En Arithmétique, on opère toujours sur des nombres dont la valeur particulière est connue, et qui sont par conséquent donnés en chiffres ; tandis que dans l’Algèbre, où l’on considère les propriétés générales des nombres,

on représente ordinairement ces mêmes nombres par des lettres. Une quantité se trouve alors exprimée par une lettre précédée du signe + ou −. Au reste, rien n’empêche de représenter les quantités par de simples lettres aussi bien que les nombres. C’est un artifice qui augmente les ressources de l’Analyse ; mais, lorsqu’on veut en faire usage, il est nécessaire d’avoir égard aux conventions suivantes.

Comme, dans le cas où la lettre $A$ représente un nombre, on peut, d’après ce qui a été dit ci-dessus, désigner la quantité positive dont la valeur numérique est égale à $\mathrm {A}$ , soit par $+\mathrm {A}$ , soit par $\mathrm {A}$ seulement, tandis que $-\mathrm {A}$ désigne la quantité opposée, c’est-à-dire la quantité négative dont $\mathrm {A}$ est la valeur numérique : ainsi, dans le cas où la lettre $a$ représente une quantité, on regarde comme synonymes les deux expressions $a$ et $+a$ , et l’on désigne par $-a$ la quantité opposée.

D’après ces conventions, si l’on représente par $\mathrm {A}$ soit un nombre, soit une quantité quelconque, et que l’on fasse $a=+\mathrm {A} ,\qquad b=-\mathrm {A} ,$ on aura

{\begin{alignedat}{2}+a=&+\mathrm {A} ,\qquad &+b=&-\mathrm {A} ,\\-a=&-\mathrm {A} ,&-b=&+\mathrm {A} \end{alignedat}}

Si dans les quatre dernières équations on remet pour $a$ et $b$ leurs valeurs entre parenthèses, on obtiendra les formules

(1)		$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$+(+\mathrm {A} )=+\mathrm {A}$ ,	$+(-\mathrm {A} )=-\mathrm {A}$
(1)		$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$-(+\mathrm {A} )=-\mathrm {A}$ ,	$-(-\mathrm {A} )=+\mathrm {A}$ .

Dans chacune de ces formules le signe du second membre est ce qu’on appelle le produit des deux signes du premier. Multiplier deux signes l’un par l’autre, c’est former leur produit. L’inspection seule des équations (1) suffît pour établir la règle des signes, comprise dans le théorème que je vais énoncer.

Théorème I. — Le produit de deux signes semblables est toujours $+,$ et le produit de deux signes opposés est toujours $-.$

Il suit encore des mêmes équations que le produit de deux signes, lorsque l’un des deux est +, reste égal à l’autre. Si donc on a plusieurs signes à multiplier entre eux, on pourra faire abstraction de tous les signes +. De cette remarque on déduit facilement les propositions suivantes :

Théorème II. — Si l'on multiplie plusieurs signes les uns par les autres Théorèmedans un ordre quelconque, le produit sera toujours $+,$ lorsque les signes $-$ seront en nombre pair, et le produit sera $-,$ dans le cas contraire.

Théorème III. — Le produit de tant de signes que l’on voudra reste le même, dans quelque ordre qu’on les multiplie.

Une conséquence immédiate des définitions qui précèdent, c’est que la multiplication des signes n’a aucun rapport avec la multiplication des nombres. Mais on n’en sera point étonné, si l’on observe que la notion du produit de deux signes se présente dès les premiers pas que l’on fait en Analyse, puisque dans l’addition ou la soustraction d’un monôme on multiplie réellement le signe de ce monôme par le signe $+$ ou $-.$

En partant des principes que nous venons d’établir, on lèvera facilement toutes les difficultés que peut offrir l’emploi des signes $+$ et $-$ dans les opérations de l’Algèbre et de la Trigonométrie. Seulement il faudra distinguer avec soin les opérations relatives aux nombres de celles qui se rapportent aux quantités positives ou négatives. On devra surtout s’attacher à fixer d’une manière précise le but des unes et des autres, à définir leurs résultats et à en montrer les propriétés principales. C’est ce que nous allons essayer de faire en peu de mots, pour les diverses opérations que l’on a coutume d’exécuter.

ADDITION ET SOUSTRACTION.

Sommes et différences des nombres. — Ajouter au nombre $\mathrm {A}$ le nombre $\mathrm {B}$ ou, en d’autres termes, faire subir au nombre $\mathrm {A}$ l’accroissement $+\mathrm {B}$ , c’est ce qu’on appelle faire une addition arithmétique. Le résultat de cette opération s’appelle somme. On l’indique en plaçant à la suite du nombre $\mathrm {A}$ son accroissement $+\mathrm {B}$ , ainsi qu’il suit : $\mathrm {A+B}$ On ne démontre pas, mais on admet comme évident que la somme de plusieurs nombres reste la même dans quelque ordre qu’on les ajoute. C’est un axiome fondamental sur lequel reposent l’Arithmétique, l’Algèbre et toutes les sciences de calcul.

La soustraction arithmétique est l’inverse de l’addition. Elle consiste à retrancher d’un premier nombre $\mathrm {A}$ un second nombre $\mathrm {B}$ , c’est-à-dire à chercher un troisième nombre $\mathrm {C}$ qui, ajouté au second, reproduise le premier. C’est là aussi ce qu’on appelle faire subir au nombre $\mathrm {A}$ la diminution $-\mathrm {A}$ . Le résultat de cette opération se nomme différence. On l’indique en plaçant à la suite du nombre $\mathrm {A}$ la diminution $-B$ , ainsi qu’il suit : $\mathrm {A-B}$ Quelquefois on désigne la différence $\mathrm {A-B}$ sous le nom d’excès, ou de reste, ou de rapport arithmétique entre les deux nombres $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$

Sommes et différences des quantités. — Nous avons expliqué dans les préliminaires ce que c’est qu’ajouter deux quantités entre elles. En ajoutant plusieurs quantités les unes aux autres, on obtient ce qu’on appelle leur somme. Il est facile de démontrer, en s’appuyant sur l’axiome relatif à l’addition des nombres, la proposition suivante :

Théorème IV. — La somme de plusieurs quantités reste la même, dans quelque ordre qu’on les ajoute.

On indique la somme unique de plusieurs quantités par la simple juxtaposition des lettres qui représentent soit leurs valeurs numériques, soit les quantités elles-mêmes, chaque lettre étant précédée du signe qu’elle doit avoir pour rester ou devenir propre à exprimer la quantité correspondante. Les différentes lettres peuvent d’ailleurs être disposées dans un ordre quelconque, et il est permis de supprimer le signe + devant la première lettre. Considérons, par exemple, les quantités $a,\;b,\;c,\;\dots ,\quad -f,\;-g,\;,-h,\;\dots .$ Leur somme pourra être représentée par l’expression $a-f-g+b-h+c+\cdots .$ Dans une semblable expression, chacune des quantités $a,\;b,\;c,\;\dots ,\quad -f,\;-g,\;,-h,\;\dots .$ est ce qu’on appelle un monôme. L’expression elle-même est un polynôme dont les monômes en question sont les différents termes.

Lorsqu’un polynôme renferme seulement deux, trois, quatre, ... termes, il prend le nom de binôme, trinôme, quadrinôme, ....

On prouve aisément que deux polynômes dont tous les termes sont égaux et de signes contraires représentent deux quantités opposées.

La différence entre une première quantité et une seconde, c’est une troisième quantité qui, ajoutée à la seconde, reproduit la première. En parlant de cette définition, on démontre que, pour soustraire d’une première quan- tité a une seconde quantité b, il suffit d’ajouter à la première la quantité opposée à $b$ , c’est-à-dire $-b$ . On en conclut que la différence des deux quantités a et b doit être représentée par $a-b,$

Nota. — La soustraction étant l’inverse de l’addition peut toujours s’indiquer de deux manières. Ainsi, par exemple, pour exprimer que la quantité $c$ est la différence des deux quantités $a$ et $b$ , on peut écrire indifféremment $a-b=c\qquad {\text{ou}}\qquad a=b+c.$

MULTIPLICATION ET DIVISION.

Produits et quotients des nombres. — Multiplier le nombre $A$ par le nombre $B$ , c’est opérer sur le nombre $A$ précisément comme on opère sur l’unité pour obtenir $B$ . Le résultat de cette opération est ce qu’on appelle le produit de $A$ par $B$ . Pour bien comprendre la définition précédente de la multiplication, il faut distinguer différents cas suivant l’espèce du nombre $B$ . Or ce nombre peut être tantôt rationnel, c’est-à-dire entier ou fractionnaire, tantôt irrationnel, c’est-à-dire non rationnel.

Lorsque $B$ est un nombre entier, il suffit, pour obtenir $B$ , d’ajouter l’unité plusieurs fois de suite à elle-même. Il faudra donc alors, pour former le produit de $A$ par $B$ , ajouter le nombre $A$ à lui-même un pareil nombre de fois, c’est-à-dire faire la somme d’autant de nombres égaux à $A$ qu’il y a d’unités dans $B$ .

Lorsque $B$ est une fraction qui a pour numérateur $m$ et pour dénominateur $n$ , l’opération par laquelle on parvient au nombre $B$ consiste à partager l’unité en $n$ parties égales et à répéter $m$ fois le résultat trouvé. On obtiendra donc alors le produit de $A$ par $B$ , en partageant le nombre $A$ en $n$ parties égales, et répétant l’une de ces parties $m$ fois.

Lorsque $B$ est un nombre irrationnel, on peut en obtenir en nombres rationnels des valeurs de plus en plus approchées. On fait voir aisément que dans la même hypothèse le produit de $A$ par les nombres rationnels dont il s’agit s’approche de plus en plus d’une certaine limite. Cette limite sera le produit de $A$ par $B$ . Si l’on suppose, par exemple, $B=0$ , on trouvera une limite nulle, et l’on en conclura que le produit d’un nombre quelconque par zéro s’évanouit.

Dans la multiplication de $A$ par $B$ , le nombre $A$ s’appelle multiplicande, et le nombre $B$ multiplicateur. Ces deux nombres sont aussi désignés conjointement sous le nom de facteurs du produit.

Pour indiquer le produit de $A$ par $B$ , on emploie indifféremment l’une des trois notations suivantes : $B\times A,\;B.A,\;BA.$

Le produit de plusieurs nombres reste le même dans quelque ordre qu’on les multiplie. Cette proposition, lorsqu’il s’agit de deux ou trois facteurs entiers seulement, se déduit de l’axiome relatif à l’addition des nombres. On peut ensuite la démontrer successivement : 1° pour deux ou trois facteurs rationnels ; 2° pour deux ou trois facteurs irrationnels ; 3° enfin pour un nombre quelconque de facteurs rationnels ou irrationnels.

Diviser le nombre $A$ par le nombre $B$ , c’est chercher un troisième nombre dont le produit par $B$ soit égal à $A$ . L’opération par laquelle on y parvient s’appelle division, et le résultat de cette opération quotient. De plus, le nombre $A$ prend le nom de dividende, et le nombre $B$ celui de diviseur.

Pour indiquer le quotient de $A$ par $B$ , on emploie à volonté l’une des deux notations suivantes : ${\frac {A}{B}},\;A:B.$ Quelquefois on désigne le quotient $A:B$ sous le nom de rapport ou raison géométrique des deux nombres $A$ et $B$ .

L’égalité de deux rapports géométriques $A:B$ , $C:D$ ou, en d’autres termes, l’équation $A:B=C:D$ est ce qu’on appelle une proportion géométrique. Ordinairement au lieu du signe $=$ on emploie le suivant $::$ qui a la même valeur, et l’on écrit $A:B::C:D.$

Nota. — Lorsque $B$ est un nombre entier, diviser $A$ par $B$ , c’est, d’après la définition, chercher un nombre qui, répété $B$ fois, reproduise $A$ . C’est donc partager le nombre $A$ en autant de parties égales qu’il y a d’unités dans $B$ . On conclut facilement de cette remarque que, si $m$ et $n$ désignent deux nombres entiers, la $n$ ^ième partie de l’unité devra être représentée par ${\frac {1}{n}},$ et la fraction, qui a pour numérateur $m$ et pour dénominateur $n$ , par $m\times {\frac {1}{n}}.$ Telle est, en effet, la notation par laquelle on doit naturellement désigner la fraction dont il s’agit. Mais, comme on prouve aisément que le produit $m\times {\frac {1}{n}}$ est équivalent au quotient de $m$ par $n$ , c’est-à-dire à ${\frac {m}{n}}$ il en résulte que la même fraction peut être représentée plus simplement par la notation ${\frac {m}{n}}.$

Produits et quotients des quantités. — Le produit d’une première quantité par une seconde est une troisième quantité qui a pour valeur numérique le produit des valeurs numériques des deux autres, et pour signe le produit de leurs signes. Multiplier deux quantités l’une par l’autre, c’est former leur produit. L’une des deux quantités s’appelle multiplicateur, l’autre multiplicande, et toutes les deux conjointement facteurs du produit.

Ces définitions étant admises, on établira facilement la proposition suivante :

Théorème V. — Le produit de plusieurs quantités reste le même, dans quelque ordre qu’on les multiplie.

Pour démontrer cette proposition, il suffit de combiner la proposition semblable relative aux nombres avec le théorème III relatif aux signes (voir ci-dessus, page 335).

Diviser une première quantité par une seconde, c’est chercher une troisième quantité qui, multipliée par la seconde, reproduise la première. L’opération par laquelle on y parvient s’appelle division ; la première quantité dividende, la seconde diviseur, et le résultat de l’opération quotient. Quelquefois on désigne le quotient sous le nom de rapport ou raison géométrique des deux quantités données. En partant des définitions précédentes, on prouve facilement que le quotient de deux quantités a pour valeur numérique le quotient de leurs valeurs numériques, et pour signe le produit de leurs signes.

La multiplication et la division des quantités s’indiquent tout comme la multiplication et la division des nombres.

Nous dirons que deux quantités sont inverses l’une de l’autre lorsque le produit de ces deux quantités sera l’unité. D’après cette définition, la quantité $a$ aura pour inverse ${\frac {1}{a}}$ et réciproquement.

On a remarqué plus haut que ce qu’on appelle fraction en Arithmétique est égal au rapport ou quotient de deux nombres entiers. En Algèbre, on désigne aussi sous le nom de fraction le rapport ou quotient de deux quantités quelconques. Si donc $a$ et $b$ représentent deux quantités, leur rapport ${\frac {a}{b}}$ sera une fraction algébrique.

Nous observerons encore que la division, étant une opération inverse de la multiplication, peut toujours s’indiquer de deux manières. Ainsi, par exemple, pour exprimer que la quantité $c$ est le quotient de deux quantités $a$ et $b$ , on peut écrire indifféremment ${\frac {a}{b}}=c\qquad {\text{ou}}\qquad a=bc$

Les produits et quotients de nombres et de quantités jouissent de propriétés générales auxquelles on a souvent recours. Nous avons déjà parlé de celle qu’a tout produit de rester le même, dans quelque ordre que l’on multiplie ses facteurs. D’autres propriétés non moins remarquables se trouvent comprises dans les formules que je vais écrire.

Soient $a,b,c,\dots ,k,a',b',\dots ,a'',b'',\dots ,\dots$ plusieurs suites de quantités positives ou négatives. On aura, pour toutes les valeurs possibles de ces mêmes quantités,

(1)	$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$k(a+b+c+\cdots )$	$=ka+kb+kc+\cdots ,$
		${\frac {a+b+c+\cdots }{k}}$	$={\frac {a}{k}}+{\frac {b}{k}}+{\frac {c}{k}}+\cdots ,$
		${\frac {a}{b}}\times {\frac {a'}{b'}}\times {\frac {a''}{b''}}\times \cdots$	$={\frac {aa'a''\cdots }{bb'b''\cdots }}$ ,
		${\frac {k}{\frac {a}{b}}}={\frac {bk}{a}}$	$={\frac {b}{a}}\times k$ .

Les quatre formules qui précèdent donnent lieu à une foule de conséquences

qu’il serait trop long d’énumérer ici en détail. On conclura, par exemple, de

la troisième formule : 1° que les fractions ${\frac {a}{b}},\;{\frac {ka}{kb}}$ sont égales entre elles, $a,b,k$ désignant des quantités quelconques ; 2° que la fraction ${\frac {a}{b}}$ pour inverse ${\frac {b}{a}}$ ; 3° que, pour diviser une quantité $k$ par une autre quantité $a$ , il suffit de multiplier $k$ par la quantité inverse de $a$ , c'est-à-dire par ${\frac {1}{a}}$

ÉLVATION AUX PUISSANCES. EXTRACTION DES RACINES.

Puissances et racines des nombres. Exposants positifs. — Élever le nombre $A$ à la puissance marquée par le nombre $B$ , c’est chercher un troisième nombre qui soit formé de $A$ par la multiplication, comme $B$ est formé de l’unité par l’addition. Le résultat de cette opération faite sur le nombre $A$ est ce qu’on appelle sa puissance du degré $B$ . Pour bien concevoir la définition précédente de l’élévation aux puissances, il faut distinguer trois cas, suivant que le nombre $B$ est entier, fractionnaire ou irrationnel.

Lorsque $B$ désigne un nombre entier, ce nombre est la somme de plusieurs unités. La puissance de $A$ , du degré $B$ , doit donc alors être le produit d’autant de facteurs égaux à $A$ qu’il y a d’unités dans $B$ .

Lorsque $B$ représente une fraction ${\frac {m}{n}}$ ( $m$ et $n$ étant deux nombres entiers), il faut, pour obtenir cette fraction : 1° chercher un nombre qui, répété $n$ fois, reproduise l’unité ; 2° répéter $m$ fois le nombre dont il s’agit. Il faudra donc alors, pour obtenir la puissance de $A$ , du degré ${\frac {m}{n}}$ : 1° chercher un nombre tel que la multiplication de $n$ facteurs égaux à ce nombre reproduise $A$ ; 2° former un produit de $m$ facteurs égaux à ce même nombre. Quand on suppose en particulier $m=1$ , la puissance de $A$ que l’on considère se réduit à celle du degré ${\frac {1}{n}}$ et se trouve déterminée par la seule condition que le nombre $A$ soit équivalent au produit de $n$ facteurs égaux à cette m puissance.

Lorsque $B$ est un nombre irrationnel, on peut en obtenir en nombres rationnels des valeurs de plus en plus rapprochées. On prouve facilement que dans la même hypothèse les puissances de $A$ , marquées par les nombres rationnels dont il s’agit, s’approchent de plus en plus d’une certaine limite. Cette limite est la puissance de $A$ du degré $B$ .

Dans l’élévation du nombre $A$ à la puissance du degré $B$ , le nombre $A$ s’appelle racine, et le nombre $B$ , qui marque le degré de la puissance, exposant. Pour représenter la puissance de A du degré B, on se sert de la notation suivante $A^{B}$

D’après les définitions qui précèdent, la première puissance d’un nombre n’est autre chose que ce nombre lui-même. Sa seconde puissance est le produit de deux facteurs égaux à ce nombre, sa troisième de trois semblables facteurs, et ainsi de suite. Des considérations géométriques ont conduit à désigner la seconde puissance sous le nom de carré, et la troisième sous le nom de cube. Quant à la puissance du degré zéro, elle sera la limite vers laquelle converge la puissance du degré B, tandis que le nombre B décroît indéfiniment. Il est aisé de faire voir que cette limite se réduit à l’unité ; d’où il résulte qu’on a, en général, $A^{0}=1$ Nous supposons toutefois que la valeur du nombre A reste finie et diffère de zéro.

Extraire du nombre $A$ la racine marquée par le nombre $B$ , c’est chercher un troisième nombre qui, élevé à la puissance du degré $B$ , reproduise $A$ . L’opération par laquelle on y parvient s’appelle extraction, et le résultat de l’opération est la racine de $A$ du degré $B$ . Le nombre $B$ , qui marque le degré de la racine, se nomme indice. Pour la représenter, on se sert de la notation suivante : ${\sqrt[{B}]{A}}$ Les racines du second et du troisième degré sont ordinairement désignées sous le nom de racines carrées et cubiques. Lorsqu’il s’agit d’une racine carrée, on se dispense presque toujours d’écrire au-dessus du signe $\surd$ l’indice 2 de cette racine. Ainsi les deux notations ${\sqrt[{2}]{A}},\;{\sqrt {A}}$ doivent être considérées comme équivalentes.

Nota. — L’extraction des racines des nombres, étant l’inverse de leur élévation aux puissances, peut toujours être indiquée de deux manières. Ainsi, par exemple, pour exprimer le nombre $C$ est égal à la racine, de $A$ , du degré $B$ , on peut écrire à volonté $A=C^{B}\qquad {\text{ou}}\qquad C={\sqrt[{B}]{A}}$

Remarquons encore qu’en vertu des définitions, si l’on désigne par $n$ un nombre entier quelconque, $A^{n}$ sera un nombre tel que la multiplication de $n$ facteurs égaux à ce nombre reproduise $A$ . En d’autres termes, on aura $\left(A^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=A$ d’où l’on conclura $A^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{A}}$ Ainsi, lorsque $n$ est un nombre entier, la puissance de $A$ , du degré ${\frac {1}{n}}$ et la racine $n$ ^ième de $A$ sont des expressions équivalentes. On prouve facilement qu’il en est de même dans le cas où l’on remplace le nombre entier $n$ par un nombre quelconque.

Puissances des nombres. Exposants négatifs. — Élever le nombre $A$ à la puissance marquée par l'exposant négatif $-B$ , c’est diviser l’unité par $A^{B}$ . La valeur de l’expression $A^{-B}$ se trouve donc déterminée par l’équation $A^{-B}={\frac {1}{A^{B}}},$ qu’on peut aussi mettre sous la forme $A^{B}A^{-B}=1.$ Par suite, si l’on élève un même nombre à deux puissances marquées par deux quantités opposées, on obtiendra pour résultats deux quantités positives inverses l’une de l’autre.

Puissances et racines réelles des quantités. — Si, dans les définitions que nous avons données des puissances et racines des nombres correspondantes à des exposants, ou entiers, ou fractionnaires, on substitue le mot de quantités à celui de nombres, on obtiendra les définitions suivantes pour les puissances et racines réelles des quantités.

Élever la quantité $a$ à la puissance réelle du degré $m$ , $m$ étant un nombre entier, c’est former le produit d’autant de facteurs égaux à $a$ qu’il va d’unités dans $m$ .

Élever la quantité $a$ à la puissance réelle du degré ${\frac {m}{n}}$ , $m$ et $n$ étant deux nombres entiers, c’est, en supposant, pour éviter toute incertitude, la fraction ${\frac {m}{n}}$ réduite à sa plus simple expression, former un produit de $m$ facteurs égaux et tellement choisis que la $n$ ^ième puissance de chacun d’eux soit équivalente à la quantité $a$ .

Extraire de la quantité $a$ la racine réelle du degré $m$ ou ${\frac {m}{n}}$ , c’est chercher une nouvelle quantité qui, élevée à la puissance réelle du degré $m$ ou ${\frac {m}{n}}$ reproduise $a$ . D’après cette définition, la $n$ ^ème racine réelle d’une quantité est évidemment la même chose que sa puissance réelle du degré ${\frac {1}{n}}$ . De plus, on prouvera facilement que la racine du degré ${\frac {n}{m}}$ équivaut à la puissance du degré ${\frac {m}{n}}$ .

Enfin, élever la quantité $a$ à la puissance réelle du degré $-m$ ou $-{\frac {m}{n}}$ c’est diviser l’unité par cette même quantité $a$ élevée à la puissance réelle du degré $m$ ou ${\frac {m}{n}}$

Dans les opérations dont on vient de parler, le nombre ou la quantité qui marque le degré d’une puissance réelle de $a$ s’appelle l’exposant de cette puissance, tandis que le nombre qui marque le degré d’une racine réelle se nomme l’indice de cette racine.

Toute puissance de $a$ qui correspond à un exposant dont la valeur numérique est entière, c’est-à-dire à un exposant de la forme $+m$ ou $-m$ , $m$ représentant un nombre entier, admet une valeur unique et réelle que l’on désigne par la notation $a^{m}\qquad {\text{ou}}\qquad a^{-m}$

Quant aux racines, et quant aux puissances dont la valeur numérique est fractionnaire, elles peuvent admettre ou deux valeurs réelles, ou une seule valeur réelle, ou n’en admettre aucune. Les valeurs réelles dont il est ici question sont nécessairement des quantités positives ou des quantités négatives. Mais, outre ces quantités, on emploie encore en Algèbre des symboles qui, n’ayant aucune signification par eux-mêmes, reçoivent néanmoins, à cause de leurs propriétés, les noms de puissances et de racines. Ces symboles sont du nombre des expressions algébriques auxquelles on a donné le nom d’imaginaires, par opposition à celui d´expressions réelles, qui ne s’applique jamais qu’à des nombres ou à des quantités.

Cela posé, il résulte des principes établis dans le Chapitre VII que la racine $n$ ^ième d’une quantité quelconque $a$ et ses puissances des degrés ${\frac {m}{n}}$ , $-{\frac {m}{n}}$ , $n$ étant un nombre entier et ${\frac {m}{n}}$ une fraction irréductible, admettent chacune $n$ valeurs distinctes réelles ou imaginaires. Conformément aux notations adoptées dans le même Chapitre, on désignera l’une quelconque de ces valeurs, s’il s’agit de la racine $n$ ^ième par la notation ${\sqrt[{n}]{\sqrt {a}}}=((a))^{\frac {1}{n}},$ et, s’il s’agit de la puissance qui a pour exposant ${\frac {m}{n}}$ ou $-{\frac {m}{n}}$ , par la notation

((a))^{\frac {m}{n}}

ou

((a))^{-{\frac {m}{n}}}

Ajoutons que l’expression $((a))^{\frac {1}{n}}$ est comprise comme cas particulier dans l’expression plus générale $((a))^{\frac {m}{n}}$ , et que, en appelant $A$ la valeur numérique de $a$ , on trouvera pour les valeurs réelles des deux expressions

$((a))^{\frac {m}{n}},\;((a))^{-{\frac {m}{n}}}:$

Si $n$ désigne un nombre impair,

a

étant

+A

+A^{\frac {m}{n}},+A^{-{\frac {m}{n}}}

,

a

étant

-A

-A^{\frac {m}{n}},-A^{-{\frac {m}{n}}}

;

Si $n$ désigne un nombre pair,

a

étant

+A

\pm A^{\frac {m}{n}},\pm A^{-{\frac {m}{n}}}

.

Lorsque, dans le dernier cas, on suppose a négatif, toutes les valeurs de chacune des expressions

((a))^{\frac {m}{n}}

,

((a))^{-{\frac {m}{n}}}

deviennent imaginaires.

Si l’on fait varier la fraction ${\frac {m}{n}}$ de manière qu’elle s’approche indéfiniment d’un nombre irrationnel $B$ , le dénominateur $n$ croissant alors au delà de toute limite assignable, il en sera de même du nombre des valeurs imaginaires qu’obtiendra chacune des expressions $((a))^{\frac {m}{n}},\;((a))^{-{\frac {m}{n}}}$ Par suite on ne peut admettre dans le calcul les notations $((a))^{B},\;((a))^{-B}$ si l’on fait $b=\pm B$ , la notation $((a))^{b}$ à moins de considérer une semblable notation comme propre à représenter une infinité d’expressions imaginaires. Pour éviter cet inconvénient, nous n’emploierons jamais l’expression algébrique $((a))^{b}$ dans le cas où la valeur numérique de $b$ sera irrationnelle. Seulement, dans cette hypothèse, lorsque $a$ obtiendra une valeur positive $+A$ , on pourra faire usage de la notation

a^{b}

ou

(a)^{b}

que l’on devra considérer comme équivalente à $+A^{b}$ (voir Chapitre VII, § IV).

Les puissances de nombres et de quantités jouissent de plusieurs propriétés remarquables qu’il est facile de démontrer. Nous citerons entre autres celles qui se trouvent comprises dans les formules que je vais écrire.

Soient $a,a',a'',\dots ,b,b',b'',\dots$ des quantités quelconques positives ou négatives ; $A,A',A'',\dots$ des nombres quelconques, et $m,m',m'',\dots$ des nombres entiers. On aura

(3)	$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$A^{b}A^{b'}A^{b''}\cdots =A^{b+b'+b''+\cdots }$ ,
		$A^{b}A'^{b}A''^{b}\cdots =(AA'A''\cdots )^{b}$ ,
		$(A^{b})^{b'}=A^{b'b}$ ,
(4)	$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$a^{\pm m}a^{\pm m'}a^{\pm m''}\dots =a^{\pm m\pm m'\pm m''\dots }$	(chacun des nombres $m,m',m'',\dots$ devant être affecté du même signe dans les deux membres),
		$a^{m}{a'}^{m}{a''}^{m}\dots ={(aa'a''\dots )}^{m}$
		$a^{-m}{a'}^{-m}{a''}^{-m}\dots ={(aa'a''\dots )}^{-m}$
		$(a^{m})^{m'}=(a^{-m})^{-m'}=a^{mm'}$
		$(a^{m})^{-m'}=(a^{-m})^{m'}=a^{-mm'}$

Les formules (3) et (4) donnent lieu à une foule de conséquences, parmi lesquelles nous nous contenterons d’indiquer la suivante. On lire de la seconde des formules (3) $A^{b}\left({\frac {1}{A}}\right)^{b}=1^{b}=1$ et l’on en conclut $\left({\frac {1}{A}}\right)^{b}={\frac {1}{A^{b}}}$

Donc, si l’on élève deux quantités positives inverses l’une de l’autre à une même puissance, les résultats seront encore deux quantités inverses.

FORMATION DES EXPONENTIELLES ET DES LOGARITHMES.

Lorsque dans l’expression $A^{x}$ on regarde le nombre $A$ comme fixe, et la quantité $x$ ; comme variable, la puissance $A^{x}$ prend le nom d'exponentielle. Si, dans la même hypothèse, on a, pour une valeur particulière de $x$ , $A^{x}=B,$ cette valeur particulière sera ce qu’on appelle le logarithme du nombre B dans le système dont la base est $A$ . On indique ce logarithme en plaçant devant le nombre la lettre initiale $l$ ou $L$ , ainsi qu’il suit $lB\qquad {\text{ou}}\qquad LB.$ Toutefois, comme une semblable notation ne fait pas connaître la base du système de logarithmes auquel elle se rapporte, il est indispensable d’énoncer dans le discours la valeur de cette base. Cela posé, si l’on se sert de la caractéristique $L$ pour désigner les logarithmes pris dans le système dont la base est $A$ , l’équation $A^{x}=B$ entraînera la suivante $x=LB.$

Quelquefois, lorsqu’on doit traiter en mme temps des logarithmes pris dans différents systèmes, on distingue les uns des autres à l’aide d’un ou plusieurs accents placés à la droite de la lettre $L$ , et l’on désigne en conséquence par cette lettre dépourvue d’accents les logarithmes d’un premier système, par la même lettre suivie d’un seul accent les logarithmes d’un second système, etc.

En s’appuyant sur les définitions qui précèdent et sur les propriétés générales des puissances des nombres, on reconnaîtra facilement : 1° que l’unité a zéro pour logarithme dans tous les systèmes ; 2° que dans tout système de logarithmes dont la base surpasse l’unité, tout nombre supérieur à l’unité a un logarithme positif, et tout nombre inférieur à l’unité un logarithme négatif ; 3° que dans tout système de logarithmes dont la base est au-dessous de l’unité, tout nombre inférieur à l’unité a un logarithme positif, et tout nombre supérieur à l’unité un logarithme négatif ; 4° enfin que, dans deux systèmes dont les bases sont inverses l’une de l’autre, les logarithmes d’un même nombre sont égaux et de signes contraires. De plus, on démontrera sans peine les formules qui établissent les propriétés principales des logarithmes, et parmi lesquelles on doit remarquer celles que je vais écrire.

Si l’on désigne par $B,B',B'',\dots ,C$ des nombres quelconques, par les caractéristiques $L,L'$ des logarithmes pris dans deux systèmes différents dont les bases soient $A,A'$ , et par $k$ une quantité quelconque positive ou négative, on aura

(5)	$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$LBB'B''\dots$	$=LB+LB'+LB''\dots$ ,
		$LB^{k}$	$=kLB$ ,
		$B^{LC}$	$=A^{LB.LB}=C^{LB}$ ,
		${\frac {LC}{LB}}$	$={\frac {L'C}{L'B}}$ .

On tire de la première de ces formules

$LB+L{\frac {1}{B}}=L1=0$ et, par suite, $L{\frac {1}{B}}=-LB,$ d’où il résulte que deux quantités positives inverses l’une de l’autre ont des logarithmes égaux et de signes contraires. Ajoutons que la quatrième formule peut facilement se déduire de la seconde. En effet, supposons que la quantité $k$ représente le logarithme du nombre $C$ dans le système dont la base est $B$ . On aura $C=B^{k}$ et, par suite, $LC=kLB,\qquad L'C=kL'B$ d’où l’on conclura immédiatement ${\frac {LC}{LB}}={\frac {L'C}{L'B}}=k$ On peut remarquer encore que, si l’on prend $B=A$ , on tirera de la quatrième formule, à cause de $LA=1$ , $L'C=L'A.LC,$ ou, en faisant, pour abréger, $L'A=\mu$ , $L'C=\mu LC.$ Ainsi, pour passer du système de logarithmes dont la base est $A$ à celui dont la base est $A'$ , il suffit de multiplier les logarithmes pris dans le premier système par un certain coefficient $\mu$ égal au logarithme de $A$ pris dans le second système.

Les logarithmes dont nous venons de parler sont ceux qu’on nomme logarithmes réels, parce qu’ils se réduisent toujours à des quantités positives ou négatives. Mais, outre ces quantités, il existe des expressions imaginaires qui ont également reçu, à cause de leurs propriétés, le nom de logarithmes. Nous renvoyons sur ce sujet au Chapitre IX, dans lequel nous avons exposé la théorie des logarithmes imaginaires.

FORMATION DES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES ET DES ARCS DE CERCLE.

Nous avons remarqué dans les Préliminaires qu’une longueur comptée sur une ligne droite ou courbe peut être représentée tantôt par un nombre, tantôt par une quantité, suivant qu’on a simplement égard à la mesure de cette longueur, ou qu’on la considère comme devant être portée sur la ligne donnée dans un sens ou dans un autre, à partir d’un point fixe que l’on nomme origine, pour servir soit à l’augmentation, soit à la diminution d’une autre longueur constante aboutissant à ce point. Nous avons ajouté que, dans un cercle dont le plan est supposé vertical, on fixe ordinairement l’origine des arcs à l’extrémité du rayon tiré horizontalement de gauche à droite, et que, à partir de cette origine, les arcs se comptent positivement ou négativement suivant que, pour les décrire, on commence par s’élever au-dessus d’elle ou par s’abaisser au-dessous. Enfin, nous avons indiqué les origines de plusieurs lignes trigonométriques qui correspondent à ces mêmes arcs dans le cas où le rayon du cercle se réduit à l’unité. Nous allons revenir un instant sur cet objet et compléter les notions qui s’y rapportent.

D’abord on établira facilement, à l’égard des longueurs comptées sur une même ligne droite ou courbe à partir d’une origine donnée, les propositions suivantes :

Théorème VI. — Soient $a,b,c,\dots$ des quantités quelconques positives ou négatives. Pour obtenir sur une ligne droite ou courbe l’extrémité de la longueur $a+b+c+\dots$ comptée à partir d’une origine donnée dans le sens déterminé par le signe de la quantité $a+b+c+\dots ,$ il suffira de porter sur cette ligne : 1° la longueur a à partir de l'origine, dans le sens déterminé par le signe de $a$ ; 2° la longueur b à partir de l’extrémité de $a$ , dans le sens déterminé par le signe de $b$ ; S° la longueur c à partir de l’extrémité de $b$ , dans le sens déterminé par le signe de $c$ , et ainsi de suite.

Théorème VII. — Soient $a$ et $b$ deux quantités quelconques. Supposons de plus que l’on porte sur une ligne droite ou courbe et à partir d’une origine donnée : 1° une longueur égale à la valeur numérique de $a$ , dans le sens déterminé par le signe de $a$ ; 2° une longueur égale à la valeur numérique de $b$ , dans le sens déterminé par le signe de $b$ . Pour passer de l’extrémité de la première longueur à celle de la seconde, ou réciproquement, en suivant la ligne que l’on considère, il suffira de parcourir une troisième longueur égale à la valeur numérique de la différence $a-b$ .

Théorème VIII. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, l’extrémité de la longueur représentée par ${\frac {a+b}{2}}$ sera sur la ligne donnée un point situé à distances égales des extrémités des longueurs $a$ et $b$ (les distances étant comptées sur la ligne elle-même).

Appliquons maintenant ces théorèmes aux arcs mesurés sur la circonférence d’un cercle dont le plan est vertical, et dont le rayon équivaut à l’unité, l’origine des arcs étant fixée à l’extrémité du rayon tiré horizontalement de gauche à droite. Si l’on désigne par $\pi$ , suivant l’usage, le rapport de la circonférence au diamètre, le diamètre étant égal à 2, la circonférence entière se trouvera exprimée par le nombre $2\pi$ , la moitié de la circonférence par le nombre $\pi$ , et le quart par ${\frac {\pi }{2}}$ Si, de plus, on désigne par $a$ un arc quelconque positif ou négatif, on conclura du théorème VI que, pour obtenir l’extrémité de l’arc $a+2m\pi \quad {\text{ou}}\quad a-2m\pi$ ( $m$ étant un nombre entier), il faut porter sur la circonférence, à partir de l’extrémité de l’arc $a$ , soit dans le sens des arcs positifs, soit dans le sens des arcs négatifs, une longueur égale à $2m\pi$ , c’est-à-dire parcourir $m$ fois la circonférence entière dans un sens ou dans l’autre, ce qui ramènera nécessairement au point d’où l’on était parti. Il en résulte que les extrémités des arcs $a\quad {\text{et}}\quad a\pm 2m\pi$ coïncident.

On conclura également des théorèmes VI ou VII : 1° que les extrémités des arcs $a\quad {\text{et}}\quad a\pm \pi$ comprennent entre elles un arc égal à r, et se confondent par conséquent avec les extrémités d’un même diamètre ; 2° que les extrémités des arcs $a\quad {\text{et}}\quad a\pm {\frac {\pi }{2}}$ comprennent entre elles un quart de circonférence, en sorte qu’elles coïncident avec les extrémités de deux rayons perpendiculaires l’un à l’autre.

Enfin, on conclura du théorème VIII : 1° que les extrémités des arcs $a\quad {\text{et}}\quad \pi -a$ sont situées à égales distances de l’extrémité de l’arc ${\frac {\pi }{2}},$ et par conséquent placées symétriquement de part et d’autre du diamètre vertical ; 2° que les extrémités des arcs $a\quad {\text{et}}\quad a-{\frac {\pi }{2}}$ sont situées à égales distances de l’extrémité de l’arc ${\frac {\pi }{4}}.$ Les arcs $\pi -a\quad {\text{et}}\quad {\frac {\pi }{2}}-a$ dont il est ici question, sont respectivement appelés le supplément et le complément de l’arc $a$ . En d’autres termes, deux arcs représentés par deux quantités $a$ et $b$ sont suppléments ou compléments l’un de l’autre suivant que l’on a $a+b=\pi \qquad {\text{ou}}\qquad a+b={\frac {\pi }{2}}.$

Puisque les angles au centre qui ont pour côté commun le rayon mené par l’origine des arcs croissent ou diminuent proportionnellement aux arcs qui leur servent de mesure, et que ces angles eux-mêmes peuvent être considérés comme les accroissements ou diminutions de l’un d’eux pris à volonté, rien ne s’oppose à ce qu’ils soient désignés par les mêmes quantités que les arcs. C’est une convention que l’on a effectivement, adoptée. On dit aussi que deux angles sont compléments ou suppléments l’un de l’autre, lorsque les arcs correspondants sont eux-mêmes compléments ou suppléments l’un de l’autre.

Passons maintenant à l’examen des lignes trigonométriques ; et, dans ce dessein, considérons un seul arc représenté par la quantité $a$ . Si on le projette successivement : 1° sur le diamètre vertical ; 2° sur le diamètre horizontal, les deux projections seront ce qu’on appelle le sinus et le sinus verse de l’arc $a$ . On peut observer que la première est en même temps la projection, sur le diamètre vertical, du rayon qui passe par l’extrémité de l’arc. Si l’on prolonge ce même rayon jusqu’à la rencontre de la tangente au cercle mené par l’origine des arcs, la partie de cette tangente interceptée entre l’origine et le point de rencontre sera ce qu’on appelle la tangente trigonométrique de l’arc $a$ . Enfin la longueur comptée sur le rayon prolongé entre le centre et le point de rencontre sera la sécante de ce même arc.

Les cosinus et cosinus verse d’un arc, sa cotangente et sa cosécante ne sont autre chose que les sinus et sinus verse, la tangente et la sécante de son complément, et constituent, avec le sinus, le sinus verse, la tangente et la sécante de ce même arc, le système complet de ses lignes trigonométriques.

D’après ce qui a été dit ci-dessus, le sinus d’un arc se compte sur le diamètre vertical, le sinus verse sur le diamètre horizontal, la tangente sur la ligne qui touche le cercle à l’origine des arcs, et la sécante sur le diamètre mobile qui passe par l’extrémité de l’arc donné. De plus, les sinus et sécantes ont pour origine commune le centre du cercle, tandis que l’origine des tangentes et des sinus verses se confond avec celle des arcs. Enfin, on est généralement convenu de représenter par des quantités positives les lignes trigonométriques de l’arc $a$ , dans le cas où cet arc est positif et moindre qu’un quart de circonférence ; d’où il suit que l’on doit compter positivement le sinus et la tangente de bas en haut, le sinus verse de droite à gauche, et la sécante dans le sens du rayon mené à l’extrémité de l’arc $a$ .

En partant des principes que nous venons d’adopter, on reconnaîtra immédiatement que le sinus verse, et par suite le cosinus verse, sont toujours positifs ; et, de plus, on déterminera sans peine les signes qui doivent affecter les autres lignes trigonométriques d’un arc dont l’extrémité est donnée. Pour rendre cette détermination plus facile, on conçoit le cercle divisé en quatre parties égales par deux diamètres perpendiculaires entre eux, l’un horizontal, l’autre vertical ; et ces quatre parties sont respectivement désignées sous les noms de premier, second, troisième et quatrième quart de cercle. Les deux premiers quarts de cercle sont situés au-dessus du diamètre horizontal, savoir le premier à droite et le second à gauche. Les deux derniers sont situés au-dessous du même diamètre, savoir le troisième à gauche et le quatrième à droite. Cela posé, comme les extrémités de deux arcs, compléments l’un de l’autre, sont également distantes de l’extrémité de l’arc ${\frac {\pi }{4}}$ on en conclura qu’elles sont placées symétriquement de part et d’autre du diamètre qui divise en deux parties égales le premier et le troisième quart de cercle. Si l’on cherche ensuite quels signes doivent être attribués aux diverses lignes trigonométriques d’un arc autres que le sinus verse et le cosinus verse, suivant que l’extrémité de cet arc tombe dans un quart de cercle ou dans un autre, on trouvera que ces signes sont respectivement

	Dans le 1^er quart de cercle.	Dans le 2^e quart de cercle.	Dans le 3^e quart de cercle.	Dans le 3^e quart de cercle.
Pour le sinus et la cosécante	+	+	−	−
Pour le cosinus et la sécante	+	−	−	+
Pour la tangente et la cotangente	+	−	+	−

On peut remarquer à ce sujet que le signe de la tangente est toujours le produit du signe du sinus par le signe du cosinus.

Les considérations précédentes conduisent encore à reconnaître que le cosinus d’un arc se confond avec la projection du rayon qui passe par l’extrémité de cet arc sur le diamètre horizontal, et que sur ce même diamètre il doit être compté positivement de gauche à droite, à partir du centre pris pour origine ; que le cosinus verse peut être mesuré sur le diamètre vertical entre le point le plus élevé de la circonférence pris pour origine et l’extrémité du sinus ; que la cotangente, comptée positivement de gauche à droite sur la tangente horizontale menée au cercle par l’origine des cosinus verses, se réduit à la longueur comprise entre cette origine et le prolongement du diamètre mobile dont une moitié est le rayon mené à l’extrémité de l’arc ; enfin que la cosécante, mesurée sur ce diamètre mobile, se compte positivement dans le sens du rayon dont il s’agit, et à partir du centre pris pour origine jusqu’à l’extrémité de la cotangente.

Nous avons suffisamment développé dans les préliminaires le système des notations à l’aide desquelles nous représentons les diverses lignes trigonométriques et les arcs qui leur correspondent. Nous ne reviendrons pas sur cet objet, et nous nous contenterons d’observer que les lignes trigonométriques d’un arc sont censées appartenir en même temps à l’angle au centre qu’il mesure, et que l’on désigne par la même quantité. Ainsi, par exemple, $a,b,\dots$ représentant des quantités quelconques, on peut dire également que les notations $\sin a,\;\cos b,\;\dots$ expriment le sinus de l’arc ou de l’angle $a$ , le cosinus de l’arc ou de l’angle $b$ , ….

Nous terminerons cette Note en rappelant quelques propriétés remarquables des lignes trigonométriques.

D’abord, si l’on désigne par a une quantité quelconque, on trouvera que le sinus et le cosinus de l’angle a sont toujours liés entre eux par l’équation

(6)

\sin ^{2}a+\cos ^{2}a=1

,

et que les autres lignes trigonométriques peuvent être exprimées au moyen de ces deux premières ainsi qu’il suit :

(7)		$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$\operatorname {siv} a$	$=1-\cos a$ ,	$\operatorname {tang} a$	$={\frac {\sin a}{\cos a}}$ ,	$\operatorname {s{\acute {e}}c} a$	$={\frac {1}{\cos a}}$ ;
(7)		$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$\operatorname {cosiv} a$	$=1-\sin a$ ,	$\operatorname {cot} a$	$={\frac {\cos a}{\sin a}}$ ,	$\operatorname {cos{\acute {e}}c} a$	$={\frac {1}{\sin a}}$ .

Des formules (6) et (7) on déduira facilement plusieurs autres équations, par exemple

(8)

\operatorname {cot} ={\frac {1}{\operatorname {tang} a}},\;\operatorname {s{\acute {e}}c} ^{2}a=1+\operatorname {tang} ^{2}a,\;\operatorname {cos{\acute {e}}c} ^{2}a=1+\operatorname {cot} ^{2}a,\;\dots

Il est encore aisé de voir que, si la quantité positive $R$ représente la longueur d’une droite entre deux points, et a l’angle aigu ou obtus que forme cette droite avec un axe fixe, la projection de la longueur donnée sur l’axe fixe sera mesurée par la valeur numérique du produit $R\cos \ \alpha ,$ et la projection de la même longueur sur une perpendiculaire à l’axe par la valeur numérique du produit $R\sin \ \alpha ,$

Enfin on reconnaîtra sans peine que, si, en partant d’un point pris au hasard sur la circonférence du cercle qui a pour rayon l’unité, on parcourt sur cette circonférence, dans un sens ou dans un autre, une longueur égale à la valeur numérique d’une quantité quelconque $c$ , le plus petit arc compris entre les extrémités de cette longueur sera inférieur ou supérieur à ${\frac {\pi }{2}}$ suivant que $\cos \ c$ sera positif ou négatif.

Ces principes étant admis, concevons que sur la circonférence dont on vient de parler on détermine : 1° les extrémités $A$ et $B$ des arcs représentés par deux quantités quelconques $a$ et $b$ ; 2° l’extrémité $N$ d’un troisième arc représenté par ${\frac {a+b}{2}}$ . Soit, en outre, $M$ le milieu de la corde qui joint les points $A$ , $B$ , et supposons que le point $M$ se projette sur le diamètre horizontal du cercle en un certain point $P$ . Si les longueurs mesurées sur ce diamètre, à partir du centre pris pour origine, sont comptées positivement de gauche à droite, ainsi que les cosinus, la distance du centre au point $P$ devra être représentée (en vertu du théorème VIII) par la quantité ${\frac {\cos \ a+\sin \ b}{2}}$

De plus, comme (en vertu du même théorème) le point $N$ est situé à égales distances des points $A$ et $B$ , le diamètre qui passe par le point $N$ renfermera le milieu $M$ de la corde ${\overline {AB}}$ ; et la distance de ce milieu $M$ au centre du cercle sera égale (abstraction faite du signe) au cosinus de chacun des arcs ${\overline {NA}}$ , ${\overline {NB}}$ , ou, ce qui revient au même, à $\cos \left({\frac {a+b}{2}}-a\right)=\cos \left({\frac {a+b}{2}}-b\right)=\cos {\frac {a+b}{2}}$ Pour obtenir la projection horizontale de cette distance, il suffira de la multiplier par le cosinus de l’angle aigu compris entre le rayon tiré horizontalement de gauche à droite et le diamètre qui renferme le point $N$ , c’est-à-dire par un facteur égal (au signe près) à $cos{\frac {a+b}{2}}$ . En d’autres termes, la distance du centre au point $P$ aura pour mesure la valeur numérique du produit $\cos {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}.$ J’ajoute que ce produit sera positif ou négatif, suivant que le point $M$ sera situé à droite ou à gauche du diamètre vertical. En effet, $\cos {\frac {a+b}{2}}$ est positif ou négatif, suivant que le point $N$ est situé par rapport à ce diamètre du côté droit ou du côté gauche, et $\cos {\frac {a-b}{2}}$ est produit ou négatif ; par suite le produit $\cos {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}$ est de même signe que $\cos {\frac {a+b}{2}}$ ou de signe contraire, suivant que, chacun des arcs ${\overline {NA}}$ , ${\overline {NB}}$ étant inférieur ou supérieur à ${\frac {\pi }{2}}$ le point $M$ se trouve situé du même côté que le point $N$ ou du côté opposé. Comme d’ailleurs la verticale qui passe par le point $M$ renferme aussi le point $P$ , il suit de la remarque précédente que la distance du centre au point $P$ , dans le cas même où l’on a égard aux signes, peut être représentée par le produit $\cos {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}.$ Ce produit et la quantité ${\frac {\cos a+\cos b}{2}}$ ont donc le même signe, avec la même valeur numérique ; et l’on a, par conséquent, pour toutes les valeurs possibles des quantités $a$ et $b$ ,

(9)

\cos a+\cos b=2\cos {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}

Si dans l’équation (9) on remplace

b

par

\pi +b

, on en tirera

(10)

\cos a-\cos b=2\sin {\frac {a-b}{2}}\sin {\frac {a+b}{2}}

De plus, si dans les équations (9) et (10) on substitue aux angles

a

et

b

leurs

compléments

{\frac {\pi }{2}}-a

,

{\frac {\pi }{2}}-b

on obtiendra les suivantes :

(11)		$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$\sin a+\sin b=2\cos {\frac {a-b}{2}}\sin {\frac {a+b}{2}}$ ,
(11)		$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$\sin a-\sin b=2\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}$ .

Les formules (9), (10) et (11) une fois établies, on en déduira facilement un grand nombre d’autres. On trouvera, par exemple,

(12)		$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	${\frac {\sin a-\sin b}{\sin a+\sin b}}={\frac {\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(a-b)}{\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(a+b)}}$ ,
			${\frac {\cos a-\cos b}{\cos a+\cos b}}=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(a-b)\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(a+b)$ ,

(13)		$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$\cos(a-b)+\cos(a+b)=2\cos a\cos b$ ,
			$\cos(a-b)-\cos(a+b)=2\sin a\sin b$ ,

(14)		$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$\sin(a-b)+\sin(a+b)=2\sin a\cos b$ ,
			$\sin(a-b)-\sin(a+b)=2\sin b\cos a$ ,

(15)		$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$ ,
			$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm \sin b\cos a$ ,

(16)

\operatorname {tang} (a\pm b)={\frac {\operatorname {tang} a\pm \operatorname {tang} b}{1\mp \operatorname {tang} a\operatorname {tang} b}}

,

(17)		$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	$\cos(2a)=\cos ^{2}a-\sin ^{2}b=2\cos ^{2}a-1=1-2\sin ^{2}a$ ,
			$\sin(2a)=2\sin a\cos a$ ,

Soient maintenant $a$ , $b$ , $c$ trois angles quelconques. On tirera de la première des formules (13)

(18)

[formule mathématique]

Si dans la formule précédente, au lieu de

a

,

b

,

c

, on écrit

{\frac {1}{2}}a

,

{\frac {1}{2}}b

,

{\frac {1}{2}}c

, puis que l’on suppose

(19)

a+b+c=\pi

,

on trouvera

(20)

\sin a+\sin b+\sin c=4\cos {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}\cos {\frac {c}{2}}

,

Page:Cauchy - Œuvres complètes, 1882, Série 2, Tome 3.djvu/370 des équations (12)

(26)

\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(a-b)={\frac {A-B}{A+B}}\cot {\frac {1}{2}}c

.

Les formules (19), (24), (25) et (26) suffisent pour déterminer trois des six éléments d’un triangle rectiligne, lorsque les trois autres éléments sont connus, et que cette détermination est possible. On peut remarquer en outre que les valeurs de $\cos a$ et de $\sin a$ , déduites des équations (25) à l’aide des formules (17), sont respectivement

(27)

[formule mathématique]

La première de ces valeurs peut se tirer directement d’un théorème connu de Géométrie. Quant à la seconde, elle fournit le moyen d’exprimer la surface du triangle en fonction des trois côtés. En effet, cette surface, équivalente au produit de la base $C$ par la moitié de la hauteur correspondante $B\sin a$ , sera

(28)

[formule mathématique]

‌

TABLE DES MATIÈRES
DU TOME TROISIÈME.

SECONDE SÉRIE.
MÉMOIRES DIVERS ET OUVRAGES.

II. — OUVRAGES CLASSIQUES

COURS D’ANALYSE DE L’ÉCOLE ROYALE POLYTECHNIQUE.
ANALYSE ALGÉBRIQUE.

Pages

préliminaires du cours d’analyse. — Revue des diverses espèces de quantités réelles que l’on considère, soit en Algèbre, soit en Trigonométrie, et des notations à l’aide desquelles on les représente. Des moyennes entre plusieurs quantités.

17

PREMIÈRE PARTIE.
ANALYSE ALGÉBRIQUE.

Chapitre I. — Des fonctions réelles.

§ 1.

Considérations générales sur les fonctions.

31

§ 2.

Des fonctions simples.

33

§ 3.

Des fonctions composées.

34

Chapitre II. — Des quantités infiniment petites ou infiniment grandes, et de la continuité des fonctions. Valeurs singulières des fonctions dans quelques cas particuliers.

§ 1.

Des quantités infiniment petites et infiniment grandes.

37

§ 2.

De la continuité des fonctions.

43

§ 3.

Valeurs singulières des fonctions dans quelques cas particuliers.

51

Chapitre III. — Des fonctions symétriques et des fonctions alternées. Usage de ces fonctions pour la résolution des équations du premier degré à un nombre quelconque d’inconnues. Des fonctions homogènes.

§ 1.

Des fonctions symétriques

71

§ 2.

Des fonctions alternées

73

§ 3.

Des fonctions homogènes

80

Chapitre IV. — Détermination des fonctions entières, d’après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues. Applications.

§ 1.

Recherche des fonctions entières d’une seule variable, pour lesquelles on connaît un certain nombre de valeurs particulières

83

§ 2.

Détermination des fonctions entières de plusieurs variables, d’après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues

89

§ 3.

Applications

93

Chapitre V. — Détermination des fonctions continues d’une seule variable propres à vérifier certaines conditions.

§ 1.

Recherche d’une fonction continue formée de telle manière que deux semblables fonctions de quantités variables, étant ajoutées ou multipliées entre elles, donnent pour somme ou pour produit une fonction semblable de la somme ou du produit de ces variables

93

§ 2.

Recherche d’une fonction continue formée de telle manière qu’en multipliant deux semblables fonctions de quantités variables, et doublant le produit, on trouve un résultat égal à celui qu"on obtiendrait en ajoutant les fonctions semblables de la somme et de la différence de ces variables.

106

Chapitre VI. — Des séries (réelles) convergentes et divergentes. Règles sur la convergence des séries. Sommation de quelques séries convergentes.

§ 1.

Considérations générales sur les séries

114

§ 2.

Des séries dont tous les termes sont positifs

121

§ 3.

Des séries qui renferment des termes positifs et des termes négatifs

128

§ 4.

Des séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières d’une seule variable

135

Chapitre VII. — Des expressions imaginaires et de leurs modules.

§ 1.

Considérations générales sur les expressions imaginaires

153

§ 2.

Sur les modules des expressions imaginaires et sur les expressions réduites

159

§ 3.

Sur les racines réelles ou imaginaires des deux quantités +1, −1, et sur leurs puissances fractionnaires

128

§ 4.

Sur les racines des expressions imaginaires, et sur leurs puissances fractionnaires et irrationnelles

186

§ 5.

Application des principes établis dans les paragraphes précédents

196

Chapitre VIII. — Des variables et des fonctions imaginaires.

§ 1.

Considérations générales sur les variables et les fonctions imaginaires

204

§ 2.

Sur les expressions imaginaires infiniment petites, et sur la continuité des fonctions imaginaires

211

§ 3.

Des fonctions imaginaires symétriques, alternées ou homogènes

214

§ 4.

Sur les fonctions imaginaires et entières d’une ou de plusieurs variables

214

§ 5.

Détermination des fonctions imaginaires continues d’une seule variable propres à vérifier certaines conditions

220

Chapitre IX. — Des séries imaginaires convergentes et divergentes. Sommation de quelques séries imaginaires convergentes. Notations employées pour représenter quelques fonctions imaginaires auxquelles on se trouve conduit par la sommation de ces mêmes séries.

§ 1.

Considérations générales sur les séries imaginaires

230

§ 2.

Des séries imaginaires ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières d’une variable

289

§ 3.

Notations employées pour représenter quelques fonctions imaginaires auxquelles on est conduit par la sommation des séries convergentes. Propriétés de ces mômes fonctions

256

Chapitre X. — Sur les racines réelles ou imaginaires des équations algébriques dont le premier membre est une fonction rationnelle et entière d’une seule variable. Résolution de quelques équations de cette espèce par l’Algèbre ou la Trigonométrie.

§ 1.

On peut satisfaire à toute équation dont le premier membre est une fonction rationnelle et entière de la variable x par des valeurs réelles ou imaginaires de cette variable. Décomposition des polynômes en facteurs du premier et du second degré. Représentation géométrique des facteurs réels du second degré

274

§ 2.

Résolution algébrique ou trigonométrique des équations binômes et de quelques équations trinômes. Théorèmes de Moivre et de Cotes

288

§ 3.

Résolution algébrique ou trigonométrique des équations du troisième et du quatrième degré

298

Chapitre XI. — Décomposition des fractions rationnelles.

§ 1.

Décomposition d’une fraction rationnelle en deux autres fractions de même espèce

302

§ 2.

Décomposition d’une fraction rationnelle, dont le dénominateur est le produit de plusieurs facteurs inégaux, en fractions simples qui aient pour dénominateurs respectifs ces mômes facteurs linéaires, et des numérateurs constants

306

§ 3.

Décomposition d’une fraction rationnelle donnée en d’autres plus simples qui aient pour dénominateurs respectifs les facteurs linéaires du dénominateur de la première ou des puissances de ces mômes facteurs, et pour numérateurs des constantes

314

Chapitre XII. — Des séries récurrentes.

§ 1.

Considérations générales sur les séries récurrentes

321

§ 2.

Développement des fractions rationnelles en séries récurrentes

322

§ 3.

Sommation des séries récurrentes, et fixation de leurs termes généraux

330

NOTES SUR L’ANALYSE ALGÉBRIQUE.

Note I. — Sur la théorie des quantités positives et négatives

333

Note II. — Sur les formules qui résultent de l'emploi du signe > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités

360

Note III. — Sur la résolution numérique des équations

378

Note IV. — Sur le développement de la fonction alternée

(y-x)\times (z-x)(z-y)\times \dots \times (v-x)(v-y)(v-z)\cdots (v-u)

426

Note V. — Sur la formule de Lagrange relative à l’interpolation

429

Note VI. — Des nombres figurés

434

Note VII. — Des séries doubles

441

Note VIII. — Sur les formules qui servent à convertir les sinus ou cosinus des multiples d’un arc en polynômes dont les différents termes ont pour facteurs les puissances ascendantes du sinus ou cosinus de ce même arc

449

Note IX. — Sur les produits composés d’un nombre infini de facteurs

459

FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES DU TOME III DE LA SECONDE SÉRIE.

↑ Transactions philosophiques, année 1806.

[1] Transactions philosophiques, année 1806.

[1]

INTRODUCTION.

PRÉLIMINAIRES.

PREMIÈRE PARTIE.ANALYSE ALGÉBRIQUE.

CHAPITRE I.DES FONCTIONS RÉELLES.

§ I. — Considérations générales sur les fonctions.

§ II. — Des fonctions simples.

§ III. — Des fonctions composées.

NOTES.

NOTE I. SUR LA THÉORIE DES QUANTITÉS POSITIVES ET NÉGATIVES.

ADDITION ET SOUSTRACTION.

TABLE DES MATIÈRES DU TOME TROISIÈME.

PREMIÈRE PARTIE.
ANALYSE ALGÉBRIQUE.

CHAPITRE I.
DES FONCTIONS RÉELLES.

NOTE I.
SUR LA THÉORIE DES QUANTITÉS POSITIVES ET NÉGATIVES.

TABLE DES MATIÈRES
DU TOME TROISIÈME.