De l'inutilité des mathématiques pour la formation de l'esprit

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De l’inutilité des mathématiques pour la formation de l’esprit
Préface de Théorie de l’élasticité - Résistance des matériaux

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DE L’INUTILITÉ DES MATHÉMATIQUES

POUR LA FORMATION DE L’ESPRIT


Depuis cinquante ans les mathématiciens s’abattent sur notre malheureuse Université comme une armée de criquets néfastes et encombrants. On n’a même pas la consolation de les manger au court-bouillon, comme les criquets d’Algérie. Fourrés dans tous les coins, ils remplissent toutes les places avec une égale incompétence. Ils mettent partout le désordre, grâce à leur ignorance foncière de ce qui n’est pas plus moins Ils ont tout gâché, déversant leur incomparable bêtise sur les sciences les plus étrangères à leurs habituelles occupations, y compris la philosophie des sciences.

Ils ont perverti les enseignements fondamentaux. Celui de la Mécanique n’existe plus en France, parce que les professeurs de Mécanique ne sont que des mathématiciens camouflés, connaissant peut-être les équations de la Mécanique, mais ignorants comme des carpes des phénomènes qu’elles représentent. Nulle part en France la Théorie de l’Elasticité n’est exposée d’une façon raisonnable, parce que les mathématiciens qui s’en chargent ignorent ses relations avec la Théorie de la Résistance des Matériaux. L’Hydrostatique, l’Hydrodynamique deviennent prétexte à développements mathématiques n’ayant avec le réel pas le moindre rapport. Bref, toutes les sciences qui sont à la base de l’art de l’Ingénieur sont en France des repaires à équations, des antres à théorèmes, des formes vides, des caricatures du bon sens.

Non contents de tout gâcher, les mathématiciens prétendent que les mathématiques sont l’α et l’ω de toute pédagogie, et qu’on ne peut s’élever à l’Intelligence (avec un I, s’il vous plaît) que si l’on possède la théorie de l’élimination ou des déterminants fonctionnels. Ils ont trouvé des imbéciles ou des malins pour les croire ou faire semblant. Ils se sont déclarés aptes à tout, comme parfaitement

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intelligents : on les consulte sur la valeur des physiciens et des géologues ; ils font le succès ou la ruine des inventeurs.

Faut-il répéter pour la centième fois que je n’en veux pas aux braves gens qui se confinent dans l’étude des mathématiques, aux mathématiciens comme tels. Ils sont dangereux, parce qu’on les met là où ils n’ont que faire, parce qu’ils occupent une place éminente dans la collection d’abrutis qui dirigent notre malheureuse Université.

Les mathématiques les menant à tout, même à la fortune, ils sont excusables de leur découvrir une valeur éducative inestimable. Conséquemment ils trouvent naturel d’en accabler tous les jeunes Français, ne voulant du reste que leur bien. Il est donc du plus haut intérêt pratique de discuter cette valeur éducative et de montrer qu’elle est nulle.

Commençons par distinguer les déformations professionnelles, devenues vices intellectuels, en conséquence desquels les mathématiciens gâchent tout.




Le mathématicien a le réel en horreur, le cas particulier en abomination : l’abstraction et la généralisation sont les idoles auxquelles il sacrifie le bon sens. Pour généraliser il réduit la nature à des schèmes ; des faits il ne garde qu’un fantôme ; il dépouille la réalité de ses contingences. Quand des phénomènes il ne reste plus rien, il déduit à son aise ; le vide est son élément, la forme est son dieu.

Abstraction, généralisation, horreur du réel et du cas particulier, telles sont les caractéristiques du mathématicien et les raisons de son rôle néfaste quand il se mêle de professer les sciences expérimentales et les mathématiques envisagées comme un outil.

Expliquons le singulier paradoxe qu’il n’existe pas de pays où l’on apprenne plus de mathématiques qu’en France, pas de pays où l’on en sache moins.

Il y a vingt ans, les professeurs de l’Université de Toulouse obtinrent la création d’un cours de Mathématiques appliquées aux Sciences expérimentales, qu’aussitôt la Sorbonne adopta. Elle le décora du titre de Mathématiques Générales, pour donner le change sur son lieu d’origine. La Sorbonne est juste capable de piller les idées d’autrui pour en faire la caricature : c’était une sottise de supprimer le titre original, sottise où l’on vit un délicieux trait d’esprit (Spécial, Général).

Malheureusement, de ce cours on chargea des mathématiciens professionnels. Bientôt il perdit son caractère utilitaire pour devenir une transposition des Mathématiques Spéciales dont on voulait épargner l’horreur aux étudiants.

Bien qu’il fût entendu qu’il s’agissait de mathématiques utilisables,

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les mathématiciens retournèrent à leurs marottes, à leur mépris du calcul. Nous en sommes au point qu’on reçoit au certificat de Mathématiques Générales des candidats qui ne savent pas calculer un cosinus avec une table de logarithmes ; le professeur a le toupet ou l’inconscience de déclarer qu’à son avis trouver 123 ou 1230, c’est exactement la même chose (Toulouse, novembre 1918).

Évidemment dans ces faits vous pouvez soutenir qu’entrent pour une bonne part la surenchère à la baisse et la pleutrerie générale, honte de nos facultés et de nos diplômes. Je crois cependant le professeur sincère dans son mépris pour le cas particulier et l’exactitude numérique. Il trouve un calcul bien fait au-dessous de ses merveilleuses aptitudes à déduire ; son idéal est de dérouler un sorite et non d’aboutir à un résultat numérique.

Pour la plupart, nos étudiants sont dégoûtés par celte déduction indéfinie de propositions inapplicables. On les rase ; ils se vengent en n’écoutant pas. À l’examen, ils récitent des théorèmes appris par cœur, qu’ils n’ont jamais cherché à comprendre et qu’ils s’empressent d’oublier. Et voilà comment nos enseignements mathématiques, en apparence très complets et très forts, aboutissent au néant.

Nos mathématiciens gâchent jusqu’à l’enseignement des mathématiques.




Cependant quelques-uns, pris d’un beau zèle utilitaire, se sont déclarés pour les calculs graphiques et les méthodes simplifiées de calcul. Mais leur dada prenant le mors aux dents, de ces méthodes simplifiées, de ces calculs graphiques ils ont fait un corps de doctrine : par cela même ils les ont stérilisés.

Cette transformation de procédés pratiques en théorèmes généraux est une preuve singulière de l’impossibilité foncière du mathématicien à demeurer dans l’applicable et le réel.

Evidemment passer de longs mois à l’étude des méthodes simplifiées, expliquer aux étudiants à grand renfort de théorèmes la manière d’abréger toutes les opérations imaginables (qu’ils ne rencontreront peut-être jamais), est une bien étrange façon de comprendre un enseignement pratique. D’abord il est impossible de retenir toutes ces règles, toutes ces formules ; ensuite, si par hasard vous devez effectuer un grand nombre d’opérations similaires, les méthodes ordinaires pour la construction de tables à double ou triple entrées sont plus simples, plus correctes, souvent plus rapides que le tracé des abaques. Enfin il suffirait qu’on publiât de bonnes tables numériques, qui ne soient pas trop chères, pour rendre inutiles tous ces petits trucs.

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Le mathématicien est dans la joie de son cœur : il se croit un homme pratique, un homme éminemment moderne,… tout en suivant son dada qui est de chercher des propositions aussi générales, et, par suite, aussi abstraites que possible.

Enseigner la trigonométrie rectiligne ou sphérique, ce n’est plus démontrer trois ou quatre formules, puis obtenir que les étudiants sachent calculer ; c’est établir la théorie générale de la transformation d’une formule en une autre calculable par logarithme : il semble alors que tout soit dit. Tels les anciens élèves de l’X, je dis les meilleurs, qui croient un problème achevé quand ils l’ont réduit à une quadrature.

Tout à l’avenant.

On trouve dans le commerce une douzaine de machines à calculer (addition et multiplication) ; elles se ramènent à deux ou trois types. Il semble naturel de s’y borner ; c’est tout ce que l’étudiant demande. Le mathématicien fait la théorie générale de la machine à calcul. Pour juger le degré de sottise auquel il parvient, feuilletez le tome I, volume 4, de l’Encyclopédie mathématique. Vous alléguerez comme excuse que cet ouvrage superpose la sottise française à la sottise boche : c’est une explication de sa prodigieuse réussite comme monument de bêtise. Du reste il peut être admirable pour les mathématiciens : je suis en train de vous montrer que mon étalon n’est pas le leur.

Même histoire pour les planimètres.

Il en existe une centaine ; dans le tas cinq ou six sont usuels. L’étudiant réclame leur explication simple et directe. Les mathématiciens l’assomment d’une théorie complète, d’où le planimètre disparaît absolument. Pour vous édifier sur leur méthode, ouvrez le tome I de la Physique de Ghwolson (traduction française). Vous y trouverez une note sur les Intégrateurs par un ingénieur de la marine. On pourrait croire que, sortie d’un tel père, elle comblera les désirs utilitaires de l’étudiant. Malheureusement nos ingénieurs ont l’esprit faussé par les Spéciales, puis par les tristes professeurs dont l’X et l’École Centrale feignent de s’honorer. Dans la noie citée vous trouverez donc une foule de propositions curieuses, avec une foule de renvois à des mémoires mathématiques intéressants (paraissons érudits, ça ne coûte rien) ; mais en cherchant bien, vous découvrirez trois lignes sur le planimètre d’Amsler.

Qu’un mathématicien trouve cette note remarquable, est naturel ; je la rencontrerais dans le Journal de Liouville, que je n’aurais pas l’idée de m’en plaindre. Mais dans un Cours de Physique j’ai le regret de la trouver stupide. Les cheveux sont exquis sur la tête d’une jolie femme, ils me dégoûtent dans le potage ; comme l’autre, je demande qu’on les serve à part.

De bonnes mathématiques sont bonnes ; admettons pour vous plaire

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que les Mathématiques appliquées aux Sciences expérimentales ne sont pas de bonnes mathématiques. Toujours est-il que ces mathématiques-là, les mathématiciens de métier les enseignent comme des imbéciles. Et j’espère que vous n’aurez pas l’outrecuidance de m’apprendre ce qu’elles doivent être, à moi qui depuis trente-cinq ans, et du matin au soir, m’en sers sans discontinuer. Experto crede Roberto !




La déformation que le mathématicien ne peut s’empêcher de faire subir à tout ce qu’il touche est un sujet d’étonnement, puis de comique.

Ouvrez l’ineffable Statique graphique de Maurice Lévy (8 volumes). D’abord vous demeurez stupide : c’est un enchevêtrement de théorèmes, de lemmes, de corollaires,… à révolter le plus respectueux. Jamais ingénieur n’a pris la peine de débrouiller ce fouillis, y compris les notes et les appendices. Acharnez-vous : vous finirez par éclater de rire. Dans cet amoncellement logique, dans cet énorme fatras, vous découvrirez une science très simple, très utile, que l’auteur semble avoir eu pour but principal de dissimuler.

Au mathématicien ne demandez pas de figures, il ne sait pas dessiner. Quand il s’y emploie, ses figures sont illisibles, le plus souvent fausses. Dans les cours de l’illustre Henri Poincaré sur la Physique mathématique, collection dont, pour sa gloire, il aurait dû se dispenser, les rares figures sont insignifiantes ou erronées.

C’est même à l’incapacité de voir les choses que le mathématicien doit son aisance à discuter l’absurde. Pour lui, le raisonnement est une manivelle qu’il tourne en aveugle ; pour le cerveau normal, c’est un lien entre deux aspects d’un mécanisme.

Parfois cependant le mathématicien dessine !

Le résultat est la Géométrie descriptive des classes de Spéciales, aussi absurde en son genre (et pour les mêmes raisons) que la théorie générale des abaques et des opérations simplifiées. Pour apprendre le dessin industriel, on coupe des tores par des hyperboloïdes. On vous recommande surtout de ne pas « voir » ; il suffit de mettre et d’opérer comme une brute, pour épanouir feu Joseph et ses honorables héritiers. Monge et Hachette pâliraient de colère, voyant ce qu’on a fait de leur science. L’actuelle est en abomination à tous ceux qui plus tard seront physiciens et ingénieurs ; de sorte que dans les concours pour Écoles techniques, on donne une chance supplémentaire (après plusieurs autres) à ceux qui, par nature

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d’esprit, sont hostiles à toute technique. Au surplus, nos concours professionnels semblent destinés à repousser tous ceux qui deviendraient l’honneur de la profession.




Si le mathématicien sabote les mathématiques appliquées, on prévoit son rôle dans les sciences expérimentales, la Mécanique en particulier.

Les cours de M. X., professeur de Mécanique physique et expérimentale à la Sorbonne, montrent les déformations que subissent les sciences expérimentales entre les mains de ces gâcheurs. Assurément la théorique et l’expérimentale ne diffèrent que par l’état d’âme du professeur et la hiérarchie d’importance qu’il établit entre les aspects des mêmes problèmes ; mais précisément à cause de l’impossibilité de changer d’état d’âme, il est faux que de but en blanc, et parce qu’une chaire est vacante, on enseigne intelligemment une science expérimentale lorsque par tournure d’esprit on est le plus abstrait des mathématiciens. Décorer les théorèmes de l’épithète « applicable » n’en modifie pas la nature.




Des sciences de la nature le mathématicien ne connaît que les équationss.

Corollaire : quand il écrit un cours de Mécanique, il choisit d’instinct les exemples et problèmes irréalisables, ne correspondant à aucun appareil, n’ayant aucune application. Il suffirait parfois d’une petite modification d énoncé pour transformer le problème abstrait en une manipulation intéressante. De cette modification le mathématicien est incapable, faute de sens pratique. Indiquez-lui la manière d’être concret ; il ne comprend pas : « Qu’importe, dit-il, puisqu’on obtient les mêmes équations ! »

Ne le sortez pas d’ plus moins quand il n’a plus le caniche de ses algorithmes, il crie comme le roi Lear dans une lande déserte !

Je me rappelle l’ahurissement de mon collègue et ami Paraf, me proposant les problèmes choisis pour le certificat de Mécanique, quand je les discutais sur l’énoncé, sans poser une équation : « Comment fais-tu ? » disait-il. Sur quoi je lui montrais le problème ramené à tel dispositif expérimental dont.le fonctionnement est connu depuis longtemps. Malgré qu’il eût beaucoup d’esprit et du meilleur, il était

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mathématicien : il lui fallait des équations, il ne voyait pas les phénomènes sans les équations,… ni même à travers les équations.

Certes, quand le problème n’avait aucune réalité, j’étais logé à la même enseigne que lui : il fallait bien que j’en vinsse aux équations. Reste à décider si, pour la très grande majorité de ceux qui apprennent la Mécanique, il est profitable de résoudre un problème qui ne correspond à rien de réel, alors qu’il en existe des milliers traduisant des expériences et illustrant des appareils.

Je ne dis pas que, sans rien écrire, on résolve quantitativement les problèmes ; je dis que si l’on connaît à fond, et pour les avoir construits, un nombre très petit de dispositifs, on a l’intuition d’une infinité de phénomènes mécaniques. Nous devons éveiller chez nos étudiants l’esprit de finesse ; il est toujours temps de fourrer de l’algèbre, ce qui est trop souvent une occupation de manœuvre inintelligent. On se trompe bien moins en regardant le phénomène qu’en regardant son équation, proposition que nos mécaniciens à la manque sont bien incapables d’admettre, précisément parce que pour eux elle est radicalement fausse.




On s’accorde à trouver mes livres « vivants ».

Voici mon secret : je ne prends rien dans les ouvrages de seconde main ; je lis et relis les mémoires originaux.

Celui qui découvre un fait a toujours une vision concrète, ingénue, qui ne se retrouve plus dans la suite. Sans parler du tassement indispensable que subit la science au cours des temps, les questions perdent peu à peu leur existence individuelle pour se schématiser, s’abstraire : à quoi les mathématiciens s’emploient conformément à leur idéal. Ils ne s’arrêtent qu’après les avoir dépouillées de tout ce qu’elles ont d’intéressant. Après lecture de leurs traités de Mécanique, qui penserait qu’il s’agit d’une science expérimentale, dont, les postulats furent débattus pendant deux siècles, avec expériences à l’appui ?

Les mémoires de Mécanique du xviiie siècle sont la meilleure école pour acquérir l’esprit de finesse, que l’esprit géométrique ne peut suppléer. Certes leur lecture n’est pas commode. Tout de même comparez le Cercle des inflexions dans le mémoire de Lahire (1706) avec ce qu’il devient dans nos Cinématiques modernes : l’avantage reste à Lahire.

Il est particulièrement instructif de mettre en regard les Traités de Mécanique écrits depuis cent cinquante ans. D’Alembert ne méprisait pas l’expérience : on a de lui de bonnes mesures sur la résistance des fluides. Les choses se gâtèrent à la suite




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de Lagrange, dont la Mécanique analytique a malheureusement fait école. Cependant Poisson et Poinsot [1] avaient encore la vision nette des phénomènes ; la Mécanique du premier est d’une lecture intéressante. Après vint Cauchy, puis Sturm, puis Resal, puis d’autres dont il est superflu d’écrire les noms. Des ouvrages anglais auxquels ils font de larges emprunts (ce que je ne leur reproche certes pas), ils ne prennent que ce qui flatte leur marotte. Leurs cours sont la perfection d’un genre qui n’a plus de la Mécanique que le nom. Je parie que ces pauvres gens n’ont jamais démonté une horloge ni vu un rouage que sur le papier.

Encore une fois je ne les attaquerais pas s’ils restaient dans leurs coins à peloter leurs équations ; mais je n’admets pas qu’enseignant aux Écoles Polytechnique et Centrale, ils déforment à jamais le cerveau de leurs auditeurs.

Je n’admets pas ces cumuls autorisés par la pleutrerie générale, qui subordonne l’avenir de l’industrie française au profit d’un doyen ou d’un député.




Je passe au second point de ma thèse : l’étude des mathématiques est inutile pour la formation de l’esprit.

Question capitale, aujourd’hui qu’on remet en discussion notre système d’éducation scientifique. Il y a vingt ans on risquait d’être lapidé pour douter de la valeur éducative des déterminants, des formes quadratiques, des équations en S ou en λ. La cruelle expérience ramène le public à des idées plus sages ; il admet volontiers que si l’homographie est indispensable pour l’Optique géométrique, sa connaissance n’ajoute rien à notre valeur intellectuelle.

Personne ne conteste l’utilité des mathématiques comme outil, comme procédé mécanique de déduction. Apprenons-les, mais sans garder d’illusion sur leur valeur pédagogique. Apprenons-les seulement dans les limites où elles sont applicables (ce qui, pour le temps dont nos étudiants disposent, est la seule manière de les bien savoir), laissant le soin de les « pousser » à quelques intellects soigneusement tenus à l’écart des affaires, si reconnaissables que la sonnette ou la rouelle jaune sont inutiles pour les désigner à la curiosité publique.

C’est un lieu commun chez les philosophes intelligents et les hommes

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de bon sens qui se sont occupés de pédagogie, que l’étude des mathématiques est inutile pour développer la raison.

À peine recommandable dans ses parties élémentaires pour forcer l’attention, chez ceux qui en abusent elle exagère d’insupportables défauts.

Les mathématiciens se révoltent contre cet arrêt. Malheureusement, à le supposer équitable, leur opinion perd toute valeur. Si vous déclarez que les mathématiciens professionnels ont très souvent l’esprit faux hors de leur petit truc, le corollaire immédiat est de négliger ce qu’ils pensent hors de ce truc. Il serait trop naïf de leur dire :

« Nous vous considérons comme des minus habentes : qu’en pensez-vous ? » Nous prévoyons leur réponse, de même que celle des pensionnaires de Sainte-Anne.

Mais pour être impartiaux dans ce procès bizarre, nous sommes dans l’obligation de ne tenir compte des opinions qu’autant qu’elles confirment les arguments a priori. Les mathématiciens dont nous récusons le témoignage sur les faits, conservent le droit de démontrer la fausseté de nos raisonnements.

À la vérité, de ce droit ils n’useront pas.

La thèse de l’inutilité pédagogique des mathématiques est admirablement développée dans un opuscule, (de 90 pages) du philosophe écossais Hamilton (De l’étude des mathématiques, traduction Peisse, 1840). Il me suffirait d’y renvoyer, si le volume était moins rare.

Je le résumerai donc ; le lecteur ne verra dans ce qui suit qu’une transcription.

Inutile de soutenir que les arguments bons en 1835 ne le sont plus en 1919. Tout le monde sait que depuis lors les mathématiques se sont développées dans un sens qui les rend moins éducatives.




Énonçons la thèse.

L’étude des mathématiques est d’utilité minime dans une éducation libérale où l’individu est élevé, non comme un instrument en vue d’une fin ultérieure, mais comme étant sa propre fin ; dans une éducation ayant pour but immédiat la perfection comme homme et non la capacité professionnelle.

Il s’agit non pas de la valeur de là science mathématique, considérée en elle-même, mais de l’utilité des mathématiques comme exercice de l’esprit. Nous ne parlons pas d’une éducation professionnelle, qui fait de l’esprit un instrument pour l’application ou le perfectionnement d’une science ; nous parlons d’une éducation libérale, qui fait de la science un instrument pour le perfectionnement de l’esprit.

Pour préciser l’application actuelle de la thèse, on doit enseigner

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des mathématiques ce qui est applicable. En exigeant plus, on ne peut espérer un développement de l’intelligence ; on en doit craindre une déformation systématique. À supposer que l’étude des mathématiques se justifie par quelques avantages éducatifs secondaires (comme de forcer l’attention) les questions applicables suffisent, et au delà, à procurer ces avantages. Le reste est non seulement du temps perdu, mais doit amener dans les esprits l’exagération de certains défauts.





Nous poserons comme fait d’expérience que l’erreur dans nos conclusions résulte bien moins d’un vice logique de déduction que de l’admission de prémisses fausses.

On ne se trompe généralement pas en raisonnant ; on erre sur le point de départ du raisonnement. C’est tellement vrai que, sans risquer d’erreur, nous évitons de mettre nos syllogismes en forme. Leibnitz rappelle, pour s’en moquer, le mémorable exploit de deux logiciens zélés qui transcrivirent en syllogismes formels les six premiers livres d’Euclide.

La meilleure gymnastique pour l’esprit est donc le choix et la discussion des prémisses, et non pas le maniement de l’outil logique proprement dit, maniement dont on s’acquitte toujours assez bien.

De ces propositions les mathématiciens sont forcés de convenir, puisqu’ils ne s’inquiètent ni du mode ni de la figure de leurs arguments, puisqu’ils ne songent pas aux règles de la logique (pour la raison péremptoire, du reste, qu’ils les ignorent avec candeur).

Il est non moins évident que la déduction proprement dite est, de toutes les opérations intellectuelles, la plus aisée et la plus voisine de l’absence de pensée. On compare la gymnastique de l’esprit qui déduit, à celle du cheval qui tourne dans un manège pour actionner une roue de moulin. Le cheval pousse le manège qui, inversement, le force à décrite une trajectoire déterminée.

Notre thèse sera donc établie si nous montrons que les mathématiques, par leur nature même, n’obligent qu’à cet exercice de la raison quasiment automatique, ne réclamant qu’un minimum de pensée, n’exigeant qu’une attention continue.

Or, tout le monde sait que le raisonnement mathématique découle d’un postulat auquel on peut toujours le faire remonter. La conséquence la plus lointaine n’est que le dernier anneau d’une chaîne.

Quant au postulat, il est admis sans discussion.

D’où résulte que si les erreurs viennent habituellement d’un mauvais choix des prémisses, l’étude des mathématiques ne peut rien

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pour écarter ce danger, avant pour tâche exclusive de tirer des conclusions inévitables de data passivement acceptés. Dans les sciences morales ou physiques, l’esprit est toujours occupé à rechercher, à examiner, rassembler, balancer des probabilités, afin d’obtenir et de purifier les faits sur lesquels reposent les prémisses. Ce travail, mêlé de chutes et de succès, constitue une discipline pratique de prudence et de circonspection. Le travail du mathématicien, loin de le préparer à cet examen délicat, l’aveugle dès qu’il sort de la lumière crue de la démonstration déductive.

Voici donc l’argument capital.

Il est facile de bien raisonner au sens de la logique spéculative.

Il est difficile de bien choisir ses prémisses (logique pratique).

Les mathématiques raisonnent à partir de postulats admis sans discussion (délibérément absurdes dans certains cas).

Elles ne nous entraînent donc que pour un exercice sans difficulté et d où les chances d’erreur sont quasiment exclues.




Les sciences mathématiques sont limitées à un seul rapport entre les quantités, l’égalité et l’inégalité. Les autres sciences n’ont d’autres limites que celles de l’esprit humain.

Les mathématiques ne s’occupent point des choses : elles ne roulent que sur des notions ; toute la science mathématique consiste dans la séparation, la réunion et la comparaison des notions. Les autres sciences s’occupent de l’existence réelle et non pas seulement de l’existence abstraite.

En mathématiques, les principes sont donnés ; pour les autres sciences, il faut les découvrir.

La science mathématique est tout entière dans ses data. Dans les autres sciences, les principes sont des règles toujours provisoires, toujours soumises à enquête, toujours sous le coup d’une modification, d’une généralisation.

A chaque pas de la déduction mathématique, la possibilité du contraire est exclue par la position même des termes ; les déductions sont apodictiques. Dans les autres sciences, nous ne pouvons guère attendre qu’une certitude probable, c’est-à-dire où n’apparaît pas l’impossibilité du contraire. Mais précisément le raisonnement en général ayant pour objet le contingent, l’inutilité pratique du raisonnement mathématique apparaît avec évidence. L’art de raisonner juste ne peut être enseigné par une méthode dans laquelle il n’y a pas de raisonnements faux (les sophismes formels étant, répétons-le, la très

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rare exception). On n’apprend pas à nager dans l’eau par un exercice préalable dans un réservoir de mercure.

Le raisonnement mathématique est, autant que faire se peut, caractérisé par l’absence de toute pensée. Comme une faculté se développe proportionnellement à son degré d’exercice, il suit que les mathématiques n’accroissent la raison que d’une manière infime.

Corrélativement, les mathématiques sont les seules sciences dont le développement ne montre pas trace de rétrogradation : on n’y connaît pas la dispute, c’est-à-dire le doute. La routine de la démonstration est celle d’une roue de moulin.




Sans déprécier le génie mathématique qui invente de nouvelles méthodes et formules, ou applique les anciennes d’une manière neuve ou heureuse, on peut soutenir que par leur moyen l’intelligence la plus ordinaire reproduit et applique ce que le génie a découvert. Le mérite d’une invention mathématique se mesure à la somme d’activité intellectuelle dont elle tient lieu. Le plus beau compliment pour l’invention d’une machine arithmétique est de n’exiger que la dextérité d’un tournebroche ; l’analyse algébrique n’est pas un instrument parfait, car pour l’employer il faut encore un petit peu d’intelligence.

L’étude des mathématiques n’a d’autre avantage que de développer l’attention ; encore cette force d’attention doit être acquise, non par la pratique des méthodes modernes, mais par l’étude de la géométrie grecque. De plus, l’espèce d’attention qu’elles favorisent n’est pas celle que réclament les spéculations les plus élevées. Elle ne force pas à réunir et retenir devant l’esprit une multitude d’objets différents, bien moins encore à saisir les fugitives abstractions et généralités de l’intelligence réfléchie. L’attention nécessaire aux mathématiques est, pour ainsi dire, en ligne droite.

Encore peut-on soutenir que les esprits inattentifs auxquels on prescrit les mathématiques comme un spécifique contre leur maladie, sont incapables de se soumettre à la prescription : en effet, toute application est un acte de volonté, et la volonté ne peut être forcée.




Les mathématiques sont d’une extrême facilité. Leur apparente difficulté vient de ce que les enfants se dégoûtent de passer par des

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définitions et des axiomes pour aboutir à ce qui leur paraît évident. Ils n’ont pas la patience d’aller jusqu’aux premiers principes de choses qui, envisagées spéculativement, ne les intéressent pas, pour aboutir à des résultats dont l’utilité leur échappe. L’attention monotone qu’exige une longue déduction les ennuie ; le même acte intellectuel indéfiniment répété les fatigue.

On a pu soutenir que les mathématiques sont difficiles parce que trop aisées. Que de fois je inc suis aperçu, dans ma jeunesse, que je ne comprenais pas parce que je croyais qu’il y avait quelque chose à comprendre !

Pendant des siècles on a dit « lourd comme un géomètre : » Roger Bacon déclare que les écoliers les moins intelligents sont capables d’apprendre les mathématiques, bien qu’inaptes à cultiver les autres sciences. Qui n’a vu parmi ses camarades des mathématiciens de quinze ans étonnant leurs maîtres, mais restant toute leur vie des enfants prodiges. Sans peine ils réussissent aux concours, en raison même de leur stupidité et de l’absurdité de ces concours ; mais dans les fonctions qu’ils occupent, ce sont, ni plus ni moins, « d’anciens élèves de l’École Polytechnique ou de l’École normale. »

Ils sont particulièrement « merveilleux » dans la démonstration des théorèmes généraux. Si par malheur il s’agit de les appliquer, de mettre en œuvre un peu de jugement et d’esprit de finesse, ces prodiges deviennent des lourdauds. L’infaillible procédé pour les coller aux examens est de leur proposer une règle de trois simple, une application numérique, un tracé de courbe,… qui les forcent à quitter la manivelle algorithmique pour réfléchir â la question même.




J’ai naturellement connu nombre de mathématiciens de profession. Beaucoup d’entre eux étaient des minus habentes, déraisonnant quand on les sortait de leur petit truc, ne sachant se conduire dans la vie, d’une mentalité d’enfant, avec les défauts habituels aux enfants. Je me rappelle ma stupeur devant l’un d’eux disant textuellement à un ami : « J’ai des excuses à t’adresser : j’ai rapporté contre toi. » Dans la bouche d’un homme de quarante ans, l’aveu prenait une saveur… étrange.

Il n’y a rien de si déplorable que la conduite de quelques mathématiciens célèbres dans la gestion de leurs propres affaires, ni rien de si absurde que leurs sentiments sur les sciences qui sont hors de leur juridiction. Hamilton apporte de nombreuses citations, qui toutes montrent les mathématiciens se ruinant en procès mal fondés, dissipant leur bien à la recherche de la pierre philosophale, bâtissant

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avec extravagance, entreprenant des affaires ridicules, tremblant au moindre accident de la vie, ne formant que des chimères en politique, tranchant sur tout, grotesques, pédants, envieux,…, bref, à fuir dès qu’on les aperçoit à l’horizon.

Quoi qu’il en soit de ce tableau, il est incontestable que les mathématiciens présentent deux vices intellectuels en rapport avec leurs occupations journalières : une crédulité passive, un scepticisme agressif ; vices en apparence contradictoires, mais appliqués à des questions différentes. Pour les unes ils admettent comme vraies des histoires de la mère l’oie, pour les autres ils nient l’évidence. Il s’agit, par exemple, de prévoir si un projet peut avoir une heureuse issue. Généralement il comporte une série de cas qui peuvent se réaliser d’une multitude de manières, qui dépendent elles-mêmes de circonstances innombrables.

Ceux qui fréquentent les idées mathématiques, si faciles à distinguer et à classer, arrivent aux plus impertinentes conclusions quand ils veulent juger d’une affaire en y appliquant leurs règles coutumières. Ils ne considèrent que les possibilités abstraites et omettent toutes les contingences. Ils ne souffrent pas le raisonnement par analogie. Ils ne tiennent pas compte de l’accumulation des preuves tirées de plusieurs motifs probables, de la collision des preuves, des probabilités favorables, des exceptions…

D’où leur scepticisme devant l’impossibilité de fournir une preuve en forme. Qu’un homme soit coupable ou non, ne peut résulter d’un théorème : les preuves pour ou contre sa culpabilité sont affaire de sentiment. Aucun fait historique n’est établi avec la certitude (du reste logiquement illusoire) de légalité des angles alternes.

Le mot (faux ou vrai) du mathématicien sortant d’une tragédie : « Qu’est-ce que ça prouve ! » résume ce vice intellectuel. Au reste nos scandales politiques ont montré les mathématiciens devant les réalités de la vie : ils se conduisent comme de tristes imbéciles.

Naturellement qui se pique de ne croire à rien que démontré suivant les règles, est ordinairement le plus crédule des gogos.

Dugald Stewart dit : « Dans le cours de ma vie, je n’ai jamais rencontré un pur mathématicien qui ne fût crédule à l’excès, non seulement en fait de témoignages humains, mais encore dans les matières d opinion, et enclin à accorder beaucoup trop de confiance aux noms célèbres et consacrés. Le matérialisme professé par quelques-uns d’entre eux doit être attribué à la même crédulité, obéissant aussi aveuglément à l’irréligion à la mode, que celle de leurs prédécesseurs à l’autorité de l’Église. »

On ne peut mieux définir la platitude intellectuelle.

Les plus chimériques métaphysiciens ont été les plus mathématiques. Dans leur métaphysique ils perdent le sentiment de l’observation réelle et la faculté d’apprécier les degrés de probabilité. L’astro-

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logie fut la moins chimérique des imaginations de Kepler ; Napier et Newton trouvaient leurs rêveries dans l’Apocalypse.

Corrélativement leur crédulité engendre une confiance déraisonnable en leurs propres opinions. Ils sont d’une orgueilleuse présomption et d’une incurable arrogance intellectuelle. Ils s imaginent tout connaître en dehors des mathématiques : ils méprisent toutes les objections avec le dédain ou l’indignation qu’ils éprouveraient si l’on cherchait à leur persuader que deux et deux ne font pas quatre..

Je n’irai pas loin trouver un exemple : l’illustre Poincaré, en physique, a soutenu des sottises retentissantes.

Dugald Stewart dit : « Même en physique les mathématiciens sont portés à acquiescer à des conclusions qui paraissent ridicules aux hommes d’une autre profession. » Hamilton nous renvoie à cet auteur pour des exemples instructifs pris chez Euler, Leibnitz, etc., etc., etc.

On a remarqué cent fois qu’il n’y a pas de si grosse absurdité que nous ne soyons portés à admettre si nous la tirons rigoureusement de prémisses adoptées sans précautions. La solidité de la chaîne logique nous aveugle sur l’exactitude du principe qui est à son extrémité. Nous trouverions maints exemples dans la Théologie morale, où l’on est allé jusqu’à l’absurde sans l’ombre d’une hésitation ; il me suffit de rappeler les conséquences monstrueuses que les Boches ont déduites de postulats admis une fois pour toutes (excellence de leur culture, peuple choisi par Dieu, etc.). Pour manifestement absurdes (que soient les conclusions, ils les admettent sans broncher, tant les postulats leurs paraissent indiscutables, au lieu de poser que le bon sens est en définitive le critérium ultime de la vérité.

Hors de leur petit truc, les mathématiciens raisonnent comme des Boches. Et cet esprit géométrique, indispensable pour tirer toutes les conséquences d’une hypothèse, devient la source des pires erreurs quand l’hypothèse est saugrenue.




En définitive ; si nous consultons la raison, l’expérience, le témoignage commun des temps anciens et modernes, aucune étude ne cultive un moindre nombre de facultés et d’une manière plus incomplète que les mathématiques. C’est reconnu de tous les hommes qui ont écrit sur l’éducation avec un peu de jugement et d’expérience ; ce n’est même pas contesté par ceux qui veulent maintenir les mathématiques dans l’éducation libérale. Il ne s’agit évidemment pas de les supprimer en tant qu’outils, tout le monde reconnaissant leur rôle indispensable dans les sciences de la nature comme procédé mécanique de déduction : elles servent alors, non pas comme exercice

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pour le développement de l’intelligence, mais au même titre qu’une table de multiplication, un graphique, une machine arithmétique. Hamilton fournit un effrayant arsenal de citations.

En voici quelques-unes.

Descartes, dont nos mathématiciens ne sauraient récuser le témoignage, trouvait les mathématiques inutiles, à moins qu’on ne les appliquât à autre chose. Il les croyait même plus qu’inutiles, comme nous désaccoutumant de l’usage de notre raison.

Je citerai tout au long le fameux parallèle que Pascal établit entre l'esprit géométrique et l’esprit de finesse ; il est bon de mettre sous les yeux du lecteur un texte dont tout le monde parle, mais que personne ne lit, au moins parmi les scientifiques.

« Il y a beaucoup de différence entre l’esprit de géométrie et l’esprit de finesse. En l’un les principes sont palpables, mais éloignés de l’usage commun ; de sorte qu’on a peine à tourner la tête de ce côté-là, manque d’habitude ; mais pour peu qu’on s’y tourne, on voit les principes à plein. Et il faudrait avoir tout à fait l’esprit faux pour mal raisonner sur des principes si gros qu’il est presque impossible qu’ils échappent.

« Mais dans l’esprit de finesse les principes sont dans l’usage commun et devant les yeux de tout le monde. On n’a que faire de tourner la tête ni de se faire violence. Il n’est question que d’avoir bonne vue ; mais il faut l’avoir bonne, car les principes en sont si déliés et en si grand nombre qu’il est presque impossible qu’il n’en échappe. Or l’omission d’un principe mène à l’erreur. Mais il faut avoir la vue bien nette pour voir tous les principes, et ensuite l’esprit juste pour ne pas raisonner faussement sur des principes connus.

« Tous les géomètres seraient donc fins s’ils avaient la vue bonne ; car ils ne raisonnent pas faux sur les principes qu’ils connaissent. Et les esprits fins seraient géomètres s’ils pouvaient plier leur vue vers les principes inaccoutumés de géométrie.

« Ce qui fait donc que certains esprits fins ne sont pas géomètres, c’est qu’ils ne peuvent du tout se tourner vers les principes de géométrie ; mais ce qui fait que les géomètres ne sont pas fins, c’est qu’ils ne voient pas ce qui est devant eux, et qu’étant accoutumés aux principes nets et grossiers de la géométrie et à ne raisonner qu’après avoir bien vu et manié leurs principes, ils se perdent dans les choses de finesse où les principes ne se laissent pas ainsi manier. On les voit à peine ; on les sent plutôt qu’on ne les voit. On a des peines infinies à les faire sentir à ceux qui ne les sentent pas d’eux-mêmes : ce sont choses tellement délicates et si nombreuses qu’il faut un sens bien délié et bien net pour les sentir, et sans pouvoir le plus souvent les démontrer par ordre comme en géométrie, parce qu’on n’en possède pas les principes et que ce serait une chose infinie de l’entreprendre. Il faut tout d’un coup voir la chose d’un seul regard et non par progrès de raisonnement, au moins jusqu’à un certain degré.

« Et aussi il est rare que les géomètres soient fins, à cause que les géomètres veulent traiter géométriquement les choses fines et se rendent ridicules, voulant commencer par des définitions et ensuite par les principes : ce qui n’est pas la manière d’agir en cette sorte de raisonnement. Ce n’est pas que l’esprit ne le fasse ; mais il le fait tacitement, naturellement, sans art, car l’expression en passe tous les hommes et le sentiment n’en appartient qu’à peu.

« Et les esprits fins, au contraire, ayant accoutumé de juger d’une seule vue, sont si étonnés quand on leur présente des propositions où ils ne comprennent rien, et où pour entrer il faut passer par des définitions et des principes stériles


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et qu’ils n’ont pas accoutume de voir aussi en détail, qu’ils s’en rebutent et s’en dégoûtent.

« Mais les esprits faux [2] ne sont jamais ni fins, ni géomètres.

« Les géomètres qui ne sont que géomètres ont donc l’esprit droit, mais pourvu qu’on explique bien toutes choses par définitions et par principes. Autrement ils sont faux et insupportables, car ils ne sont droits que sur les principes bien éclaircis.

« Et les esprits fins qui ne sont que fins ne peuvent avoir la patience de descendre jusqu’aux premiers principes des choses spéculatives et d’imagination, qu’ils n’ont jamais vues dans le inonde et dans l’usage. »


Voici ce que pense d’Alembert :

« Il semble que les grands géomètres devraient être excellents métaphysiciens, au moins sur les objets dont ils s’occupent ; cependant ils s’en faut bien qu’ils le soient toujours. La logique de quelques-uns d’entre eux est renfermée dans leurs formules et ne s’étend point au delà. On peut la comparer à un homme qui aurait le sens de la vue contraire à celui du toucher, ou dans lequel le second de ces sens ne se perfectionnerait qu’aux dépens de l’autre. Ces mauvais métaphysiciens dans une science où il est si facile de ne pas l’être, le seront à plus forte raison infailliblement sur les matières où ils n’auront point le calcul pour guide. »


« En mathématiques, tout ce qui n’est pas démonstration n’est rien, ou du moins est dédaigné par le raisonneur. La probabilité avec ses degrés presque infinis, depuis l’ignorance jusqu’à la certitude, est la terra, incognita du géomètre. C’est pourtant la grande affaire de l’esprit humain : la recherche et la découverte de toutes les importantes vérités qui nous intéressent comme créatures raisonnables. Pour proportionner notre assentiment à la probabilité qui accompagne les divers degrés de l’évidence morale, il ne faut rien de moins que le plus large et le plus souverain exercice de la raison. Or, pour se perfectionner dans une chose, il faut une application soutenue et l’habitude. Comment donc le géomètre, toujours confiné dans la routine de sa démonstration, qui est le plus facile des exercices intellectuels et qui exige beaucoup moins de vigueur d’esprit que d’attention, pourrait-il juger sainement en des matières dont la vérité et la fausseté doivent être appréciées par les probabilités de l’évidence morale ? » (Warburton.)

« L’étude exclusive des mathématiques semble porter atteinte au mode de raisonnement le plus général et le plus profitable, celui par induction. » (Walpole.)


« L’arithmétique et l’algèbre se bornent à nous apprendre de mille manières des propositions toujours identiques. Les problèmes de la vie sont plus compliqués. Aucun n’est positif, aucun n’est absolu. Il faut deviner, il faut choisir, à l’aide d’aperçus et de suppositions qui n’ont aucun rapport avec le monde infaillible du calcul. » (De Staël.)


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Malheureusement l’étude des mathématiques est quasi la seule que l’on exige pour et dans l’École Polytechnique.

Et voilà comment s’expliquent nombre de choses trop connues tous !

Avec les mathématiciens, dans le même sac, je fourre les cultivateurs de Mécanique analytique, de Mécanique céleste, de Physique mathématique,… tous ceux qui se servent des choses uniquement comme prétextes à déductions géométriques.

Pour eux les mots perdent leur sens concret, Je transcris à leur usage une page du Système de Logique de Stuart Mill.


« Les mots tendent toujours, comme les monnaies, à s’effaccr ou passant de main en main ; et la seule manière de faire reparaître l’empreinte est de les remettre sous le coin, en vivant dans la contemplation des phénomènes eux-mêmes, et non seulement dans la familiarité des mots qui les expriment. Après avoir acquis la possession verbale de leurs lois, il ne faut pas se contenter de vivre ensuite au milieu des formules, d’y penser exclusivement et de les appliquer indéfiniment, sans garder sous les yeux les réalités qu’elles représentent. Outre que, sans cela, on échoue dans les recherches pratiques parce qu’on applique les formules sans considérer si d’autres lois ne viennent pas les modifier ou les annuler, elles perdent tout leur contenu, et l’on ne sait même plus reconnaître avec certitude dans quels cas elles conviennent.

« Bref, dans tous les sujets étrangers aux mathématiques pures, il est aussi indispensable de concevoir les choses eoncrétées et habillées de léurs circonstances qu’il l’est en algèbre de détourner son attention des particularités individuelles. »


À la vérité, les Sciences de la nature, la Physique en particulier, usent constamment du raisonnement déductif. Elles posent une hypothèse, en déduisent les conséquences logiques et les comparent aux faits observés : on vérifie si les faits se logent dans la forme, s’ils sont assimilables avec certains échelons du sorite.

Mais, à la différence des mathématiques, les prémisses ne sont pas imposées ; elles sont arbitraires. Tirées de l’expérience, elles restent toujours justiciables de l’expérience mieux interprétée, plus correcte ou plus générale. L’esprit de finesse peut se donner carrière ; son rôle subsiste à tout instant. Il n’est généralement pas facile devant un fait nouveau de savoir si l’on doit modifier les postulats dans leur essence, ou les conserver malgré les contradictions évidentes, espérant que l’avenir montrera le biais pour lever la contradiction. Dans ces circonstances difficiles, vous pouvez être sûr que le mathématicien professionnel se conduira comme un idiot : Henri Poincaré, par deux fois, n’a pas raté l’occasion (dispersion du vide, courants de convection).

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Finissons par l’irréfutable argument fourni par un mathématicien qui peut se vanter de rester éternellement fameux, malheureusement pour lui du reste. En quelques mois son exemple a plus solidement établi la thèse ici présentée que tous les philosophes passés, présents et futurs. Il a même obtenu que le litre jusqu’alors vénéré de mathématicien devint, pour le grand public, synonyme d’ahuri.

Ce pauvre homme écrit un volume sur le Frottement. Théorème par-ci, théorème par-là, remarque « ingénieuse » de ce coté, remarque « profonde » de cet autre (les épithètes ne coûtent rien aux comptes rendus bibliographiques quand il s’agit d’un membre de l’Institut). Un seul malheur : pour en discuter toutes les conséquences logiques, l’imprudent part d’une loi reconnue fausse depuis cinquante ans !

Au lecteur de voir si la déduction indéfinie des conséquences plus ou moins contradictoires d’une loi physiquemcnt erronée amènera chez l’auditeur autre chose qu’un délabrement intellectuel. Au lecteur de décider si l’auteur d’un si beau tour de force est particulièrement désigné pour enseigner la Mécanique dans une école que son titre donne comme plusieurs fois et surabondamment technique.




M. Lala, professeur à la Faculté des sciences de Toulouse, a bien voulu relire les épreuves de cet ouvrage. Le lecteur lui doit la table si commode et si complète qui termine le volume.


  1. Comme je recommandais à un professeur de Mécanique (mort récemment) la lecture de l’ouvrage de Poisson : « Ah ! oui, fit cet érudit, celui qui a étudié les couples ! » Voilà ce que Paris nous envoie pour enseigner la Mécanique dans les Facultés de province ! voilà le résultat de l’enseignement stupide que depuis trente ans déverse la Sorbonne !
  2. Faut-il prévenir le lecteur que Pascal appelle « esprit faux » un esprit incapable de raisonner, et non pas ce que nous appelons esprit faux ? S’il employait le terme au sens actuel, il dirait que, dans le commun de la vie, les mathématiciens professionnels ont beaucoup de chances d’avoir l’esprit faux. C’est au surplus ce qui résulte implicite ment de toute son argumentation et explicitement des phrases qui suivent.