Essai sur la théorie des eaux courantes/Introduction

ESSAI
SUR LA THÉORIE DES EAUX COURANTES,

PAR M. J. BOUSSINESQ^[1]

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INTRODUCTION.

L’écoulement des fluides, bien continu dans les espaces capillaires, est tumultueux et tourbillonnant dans les grandes sectionsi. Les fluides se meuvent, de deux manières différentes, suivant, qu’ils coulent dans des tubes très-étroits ou dans des espaces ayant des sections comparables à celles des tuyaux de conduite ou des canaux découverts. Dans le premier cas, leurs mouvements sont bien continus, c’est-à-dire que les vitesses varient graduellement, à chaque instant, d’un point du fluide aux points voisins, et des formules très-connues, données par Navier pour représenter ces mouvements, les régissent avec toute l’approximation désirable, pourvu qu’on ait soin de supposer nulle la vitesse contre les parois mouillées^[2]. Mais le coefficient des frottements que développent des mouvements aussi réguliers est extrêmement petit, et, si une telle continuité existait dans les tuyaux de conduite ou dans les canaux découverts, les filets fluides très-voisins devraient acquérir, surtout près des parois, des différences de vitesse énormes : j’ai montré, par exemple, au § ix d’un mémoire Sur l’influence des frottements dans les mouvements réguliers des fluides (Journal de M. Liouville, t. xiii, 1868), que le filet central, dans un canal demi-circulaire de 1 mètre de rayon et d’une pente égale seulement à 0,0001, devrait avoir une vitesse de 187 mètres par seconde, même en supposant nulle la vitesse à la paroi, pour que les frottements développés entre les couches fluides pussent faire équilibre à la petite composante de leur poids suivant l’axe du canal. Or, bien avant que de pareilles vitesses aient pu être prises, les glissements des filets les uns sur les autres, combinés avec les mouvements oscillatoires ou de ballottement que rend possibles et inévitables une étendue suffisante de la section, déterminent dans le fluide une foule de ruptures. Celles-ci se produisent surtout près des parois, où les glissements atteignent leurs plus grandes valeurs, et où des chocs continuels ont lieu, soit à cause des rugosités plus ou moins visibles de la paroi même, soit principalement, comme il vient d’être dit, par suite des oscillations dont toute la masse se trouve constamment animée dans les grandes sections. Des volumes finis de fluide se détachent donc sans cesse du fond et des bords, en tournoyant sous la double action de la paroi et de la translation générale, et il se forme ainsi des tourbillons nombreux qui, sillonnant en tous sens le reste du fluide, glissent avec des vitesses relatives finies sur ce qui les environne. Il est clair que de pareils glissements doivent développer des résistances sans comparaison plus grandes que les frottements dus à des mouvements continus, et un régime d’une tout autre nature que celui qu’on observe dans des tubes capillaires, avec des vitesses transitoires bien moindres, s’établit peu à peu. Au reste, cette production d’une agitation tourbillonnaire au sein de toute masse fluide qui s’écoule à travers des sections d’une certaine étendue n’est pas seulement très-vraisemblable a priori : elle a été observée depuis longtemps, surtout dans les liquides, et remarquée, en particulier, par MM. Poncelet, de Saint-Venant, Boileau, Darcy, Bazin, qui l’ont signalée comme un moyen puissant employé par la nature pour éteindre là forcé vive (c’est-à-dire plutôt pour la changer en énergie interne ou en chaleur).

Il est vrai que des savants estimables ont tenté, tout récemment encore, d’expliquer l’écoulement dans les conduites et dans les canaux découverts en supposant, du moins à une première approximation, la continuité parfaite des mouvements du fluide. Mais une telle hypothèse me paraît être devenue complètement inadmissible depuis les expériences si précises du docteur Poiseuille sur l’écoulement dans les tubes capillaires, expériences qui prouvent : d’une part, l’exactitude des expressions des frottements intérieurs données par Navier pour les mouvements continus ; d’autre part, l’excessive petitesse du coefficient constant de ces frottements, qui est comme nul en comparaison de ceux que l’expérience oblige de prendre en hydraulique. Et il est bien inutile de joindre aux formules de Navier, pour en déduire l’explication de faits qui leur sont étrangers, des termes contenant, soit les puissances supérieures des dérivées premières des vitesses, soit surtout les dérivées secondes, troisièmes, de celles-ci ; car toutes ces dérivées atteignent, dans la plupart des écoulements étudiés par M. Poiseuille, où l’influence des termes complémentaires dont il s’agit n’a pu même être soupçonnée, des valeurs plus grandes que dans les mouvements, supposés à peu près continus, des eaux courantes. Comment

Comment on peut tenir compte analytiquement de l’agitation tourbillonnaire. Régime uniforme. ii. Il faut donc, si l’on veut que l’hydraulique cesse d’être, suivant l’expression de M. de Saint-Venant, une désespérante énigme^[3] : 1^o regarder les vitesses vraies, à l’intérieur d’un fluide qui s’écoule, comme rapidement ou même brusquement variables d’un point à l’autre, capables, en un mot, de produire des frottements d’un tout autre ordre de grandeur que dans le cas de mouvements continus ; 2^o faire dépendre les actions moyennes exercées à travers un élément plan fixe, non-seulement des vitesses moyennes locales, ou plutôt de leurs dérivées du premier ordre qui mesurent les glissements relatifs moyens des couches fluides, mais encore de l’intensité en chaque point de l’agitation tourbillonnaire qui y règne ; 3^o rechercher, par conséquent, les causes dont peut dépendre, aux divers points d’une section, l’agitation tourbillonnaire, et faire varier avec ces causes le coefficient des frottements intérieurs^[4] ; 4^o choisir, enfin, pour équations du mouvement, non pas les relations qui expriment à un moment donné l’équilibre dynamique des divers volumes élémentaires du fluide, mais les moyennes de ces relations pendant un temps assez court, ou ce que l’on peut appeler les équations de l’équilibre dynamique moyen des particules fluides qui passent successivement par un même point.

C’est le problème que j’ai essayé de résoudre dans ce mémoire, pour le cas où le fluide peut être supposé incompressible et où l’inclinaison mutuelle des filets, aux divers points d’une même section, est une petite quantité. Des considérations simples permettent d’ailleurs d’obtenir, pour ce cas, des expressions suffisamment approchées du coefficient des frottements intérieurs : ces expressions sont tout à fait explicites, à cela près qu’elles contiennent un coefficient lentement variable avec le rayon moyen, lorsque les mouvements se font parallèlement à un plan ou symétriquement tout autour d’un axe, c’est-à-dire à travers des sections rectangulaires très-larges ou à travers des sections circulaires. Elles contiennent une fonction inconnue des coordonnées transversales, quand les sections ont d’autres formes ; mais celles-ci se trouvant, dans la pratique, généralement comprises entre les deux précédentes, qui ne conduisent pas d’ailleurs à des résultats bien différents en tout ce qui concerne les vitesses moyennes ou les dépenses, une détermination plus précise de cette fonction n’est pas absolument nécessaire.

Le problème physique du mouvement se trouve ainsi ramené à une question de calcul intégral, qui peut être résolue par approximations successives, grâce à la petitesse supposée de l’inclinaison relative des filets. La première approximation donne les lois du régime uniforme telles qu’elles résultent des expériences de MM. Darcy et Bazin, tant pour la dépense que pour la répartition des vitesses aux divers points des sections ; la seconde contient les lois du mouvement varié, qui sont le principal objet du mémoire.

Mouvement permanent graduellement varié. Division des cours d’eau en deux classes principales, rivières et torrents. iii. J’étudie d’abord le mouvement permanent, et surtout celui qui est graduellement varié, c’est-à-dire tel, qu’on puisse négliger dans les formules qui le régissent, vis-à-vis des termes comparables à l’inclinaison mutuelle des filets fluides, ceux qui sont, ou de l’ordre du carré de cette inclinaison, ou de l’ordre de la courbure des mêmes filets. L’équation que j’obtiens pour le représenter diffère de celle qu’a établie M. Bélanger et qu’a modifiée Coriolis, en ce que le coefficient $\alpha$ du terme $\alpha {\tfrac {d}{ds}}\left({\tfrac {\mathrm {U} ^{2}}{2g}}\right)$ (qui exprime, dans l’équation de Coriolis, l’influence des inerties) doit être remplacé par un autre un peu plus grand, $\alpha ',$ composé de deux parties : la première, à laquelle Coriolis aurait réduit son coefficient, s’il avait pu évaluer exactement le travail des frottements, et que je représente par $1+\eta ,$ est le rapport du carré moyen des vitesses sur une section au carré de la vitesse moyenne, tandis que l’$\alpha$ de Coriolis (ou plutôt de Poncelet et Lesbros) désigne le rapport du cube moyen des vitesses au cube de la vitesse moyenne et vaut environ $1+3\eta \ ;$ la seconde, égale à peu près à $3,85\eta$ et négligée par Coriolis, provient de ce que le frottement du fond ou des parois, exprimé en fonction de la vitesse moyenne et rapporté à l’unité de section, contient, quand le mouvement est varié, de plus que lorsqu’il est uniforme, un terme valant environ $3,85\eta {\tfrac {d}{ds}}\left({\tfrac {\mathrm {U} ^{2}}{2g}}\right).$

Un tuyau ou un canal se compose, en général, de parties plus ou moins longues dans l’étendue desquelles le régime est graduellement varié, reliées les unes aux autres par d’autres parties courtes, où la courbure des filets n’est pas négligeable et où même parfois leur inclinaison mutuelle cesse d’être petite. La détermination de l’état hydraulique du tuyau ou du canal n’est possible qu’autant que l’on connaît, pour chacune de ces dernières parties auxquelles l’équation précédente n’est pas applicable, une loi spéciale, permettant de calculer le changement total qu’y subit la pression, dans le cas d’un tuyau, ou la section fluide, dans le cas d’un canal découvert. Les deux plus importantes de ces lois sont, avec les formules de l’écoulement par les orifices et par les déversoirs, le principe de Borda et la formule du ressaut. La mise en compte, sur la section d’aval ou sur les deux sections d’amont et d’aval, suivant les cas, de l’inégalité de vitesse des filets, et surtout de la partie du frottement extérieur qui provient de la variation du mouvement, m’a permis d’apporter à ces deux principes un perfectionnement au moyen duquel les résultats qu’ils donnent ne diffèrent pas sensiblement de ceux de l’expérience. J’arrive, par exemple, au vrai coefficient 0,82 de la dépense fournie par des ajutages cylindriques, tandis que le principe de Borda, tel qu’on l’applique d’ordinaire, donne 0,85.

Je montre ensuite qu’on peut, en combinant l’équation du mouvement permanent graduellement varié avec la formule du ressaut et avec certaines conséquences simples d’un principe de stabilité du mouvement, dont l’énoncé général est encore inconnu, mais dont l’admission me paraît inévitable, résoudre sans aucune indétermination le problème de l’état hydraulique de tout canal découvert qui est susceptible d’un régime uniforme, c’est-à-dire dont le lit a une forme assez peu différente de celle d’un prisme, ou d’un cylindre.

Cette étude me conduit à examiner la division bien connue des cours d’eau en deux principales catégories, cours d’eau de faible pente et cours d’eau de forte pente, ou encore rivières et torrents, se distinguant les uns des autres par la manière dont le régime uniforme s’y établit à l’amont des points où il existe, et surtout par la manière dont il se détruit à l’aval des mêmes points. Leur principale différence, trouvée par M. Belanger dès 1828, consiste en ce que le régime uniforme se détruit assez graduellement dans les premiers, pour que la forme des remous de gonflement et d’abaissement, produits aux points où s’opère cette destruction, puisse être déterminée au moyen de l’équation du mouvement permanent graduellement varié, tandis que, dans les seconds, dont les remous de gonflement sont des ressauts, le même régime se détruit trop rapidement pour que la courbure des filets fluides soit négligeable aux mêmes endroits. On peut y joindre un autre caractère, en quelque sorte inverse, consistant en ce que l’établissement du régime uniforme se fait graduellement dans les torrents, et trop rapidement ou avec trop d’ondulations, dans les rivières, pour qu’on puisse y négliger la courbure des filets fluides. Nous verrons un peu plus loin qu’il y a, outre ces deux principales classes de cours d’eau, une espèce intermédiaire, ne comprenant que des cours d’eau dont les pentes de fond tombent entre deux limites rapprochées, mais peu précises (0,0033 et 0,0039 en moyenne), et pour lesquels ces caractères deviennent indécis, par la raison que l’influence des courbures, tout en n’y étant négligeable, ni aux points où le régime uniforme s’établit, ni à ceux où il se détruit, produit cependant des effets moins frappants que dans les rivières aux premiers endroits, ou que dans les torrents aux seconds. C’est la valeur moyenne des pentes de fond de ces cours d’eau que l’on peut prendre pour pente limite séparant les rivières des torrents : cette valeur, moyennement égale à 0,0036, est, en réalité, assez variable avec la nature des parois, avec le rayon moyen et même avec la forme de la section.

J’ai cru devoir rattacher à la question de la classification des cours d’eau une courte esquisse des effets produits à la longue par le conflit de l’enveloppe fluide de notre planète et de son écorce solide, soit aux endroits où les eaux coulent sur le sol en nappes d’une certaine épaisseur et tendent à se faire assez rapidement, quand elles ne le trouvent pas tout formé, un lit d’une résistance proportionnée à leur vitesse, soit même aux autres points de la surface du globe, où leur action modifie également sa forme, quoique plus lentement et par intermittences, en se combinant avec celles de l’air, de la pesanteur et des variations de la température. Par suite du travail incessant de tous ces agents, la surface de la terre s’est divisée presque partout en bassins d’une grande étendue, ou même en versants allongés, dont l’étude comprend celle de lignes remarquables appelées thalwegs, faîtes, lignes des déclivités maxima ou minima, jouissant de propriétés géométriques intéressantes.

Influence d’une courbure sensible de la surface libre. Circonstances que présentent l’établissement. IV. Les parties d’un cours d’eau où l’influence de la courbure des filets n’est pas négligeable par rapport à celle de leur inclinaison mutuelle, supposée petite, sont, on vient de le voir, assez nombreuses et assez importantes pour faire désirer une équation du mouvement permanent où on en tiendrait compte. Cette équation et la destruction du régime uniforme ou, plus généralement, de tout régime graduellement varié. s’obtient facilement quand on raisonne dans la supposition très-probable que l’influence des courbures dépend peu des différences de vitesse, habituellement modérées, des filets fluides, et lorsqu’on se borne au cas, le plus ordinaire, d’un canal découvert de grande largeur, dont le fond a son profil longitudinal droit ou courbe, mais sensiblement contenu dans un plan vertical. Elle diffère de celle du mouvement graduellement varié en ce que le terme $\alpha '{\tfrac {d}{ds}}\left({\tfrac {\mathrm {U} ^{2}}{2g}}\right)$ y est diminué de l’expression

$h^{2}\left[{\frac {1}{3}}{\frac {d^{3}}{ds^{3}}}\left({\frac {\mathrm {U} ^{2}}{2g}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {U} ^{2}}{gh}}{\frac {d^{2}i}{ds^{2}}}\right],$

où $h$ désigne la profondeur d’eau et $i$ la pente du lit.

Supposant d’abord négligeable la courbure longitudinale du fond, j’étudie les circonstances que présentent l’établissement et la destruction du régime uniforme, circonstances que l’on observe, les premières immédiatement en amont, et les secondes immédiatement en aval des endroits où ce régime existe. Je parviens ainsi, non-seulement à retrouver les caractères indiqués ci-dessus, mais encore à déterminer la forme de la surface aux endroits où l’influence des courbures n’est pas négligeable. Qu’on me permette de citer, entre autres résultats intéressants :

1^o La démonstration de l’existence, aux points où s’établit le régime uniforme dans les rivières, d’une série d’ondulations transversales de la surface, ondulations d’une longueur constante et peu considérable, d’autant plus petite que la pente de fond est plus faible, et d’une hauteur qui diminue de chaque ondulation à la suivante, quand on suit le cours de l’eau, avec d’autant plus de rapidité que cette pente est plus grande ;

2^o La détermination de la forme qu’affectent, à leur partie inférieure, les ressauts qui se produisent dans les torrents rapides aux endroits où une cause retardatrice, en détruisant le régime uniforme, donne naissance à un gonflement ; la surface s’y relève presque brusquement et sans aucune inflexion ;

3^o La généralisation des deux résultats précédents, qui sont compris dans une même loi, consistant en ce que, aux endroits d’un canal découvert où un régime graduellement varié s’établit ou se détruit rapidement, la surface présente des ondulations ou n’en présente pas, suivant que le courant y est à l’état tranquille ou à l’état torrentueux, c’est-à-dire trop peu rapide ou assez rapide pour pouvoir s’y relever en ressaut s’il survenait, en aval une cause de gonflement ;

4^o L’établissement de l’existence d’une classe de cours d’eau que j’appelle torrents de pente modérée, intermédiaire entre celle des rivières et celle des torrents proprement dits ou torrents rapides, et caractérisée par ce fait que l’influence de la courbure des filets n’y est négligeable, ni aux points où le régime uniforme se détruit, ni à ceux où il s’établit ;

5^o Enfin la détermination approchée de la forme des ressauts allongés et onduleux que présentent, aux endroits où un gonflement fait suite au régime uniforme, les torrents peu rapides dont la pente de fond dépasse cependant la moyenne de celles des torrents de pente modérée^[5]. L’analyse montre que les ondulations transversales dont sont sillonnés ces ressauts ont sensiblement, du moins les premières ou les plus basses, la forme des ondes solitaires observées par M. Scott Russell et par M. Bazin, et dont je donne plus loin la théorie, que j’avais déjà exposée dans un mémoire public au Journal de M. Liouville (t. xvii, 1872).

Des expériences de M. Bazin confirment, la division, en deux classes, des ressauts qui se produisent au bas des torrents : ressauts longs et onduleux, quand le torrent est peu rapide ; ressauts courts, sans inflexion à leur partie inférieure, et ne pouvant présenter des ondulations qu’après le relèvement de la surface, quand le torrent est, au contraire, de forte pente^[6].

Influence d’une courbure sensible du fond. Cas d’un fond régulièrement ondulé. V. Prévenant ensuite au cas plus général d’un fond qui présente des courbures longitudinales assez petites, mais sensibles, je traite de l’effet que produit sur le régime une série d’ondulations du fond, principalement quand elles sont régulières ou sinusoïdales, et aussi des formes courbes qu’on peut donner au fond, près de l’entrée ou de la sortie d’un canal, sans que la surface libre cesse d’y être la même qu’avec un fond plat.

Dans le premier de ces problèmes, qui est aussi le plus important, je trouve que les ondulations du fond déterminent la formation, sur la surface, d’ondulations de même longueur, produites d’autant plus en amont de celles du fond que la pente moyenne de ce dernier est plus petite, mais qui s’en rapprochent et passent même à leur aval quand cette pente atteint ou dépasse une valeur particulière, moyennement égale à $0,0002{\tfrac {\mathrm {S} ^{2}}{\mathrm {H} ^{2}}},$ $\mathrm {S}$ et $\mathrm {H}$ désignant respectivement la longueur d’une ondulation complète et la profondeur moyenne. L’avance des ondulations de la surface sur celles du fond a donc sa valeur la plus grande quand la pente moyenne de celui-ci est très-petite, et elle se trouve alors, du moins en général, peu inférieure à une demi-longueur d’onde, de manière que les convexités de la surface correspondent presque exactement aux concavités du fond.

Le rapport de l’amplitude des ondulations de la surface à celle des ondulations du fond, nul quand la pente moyenne de ce dernier est nulle, et peu sensible tant qu’elle est intérieure à un demi-millième environ, ce qui est le cas ordinaire de toutes les grandes rivières^[7], grandit rapidement quand la pente approche d’une certaine valeur généralement peu différente de celle qui sépare les rivières des torrents ; il atteint alors une valeur maximum considérable et diminue ensuite, d’abord rapidement, puis lentement, en tendant vers une limite plus petite que l’unité, mais qui lui est ordinairement peu inférieure. La valeur absolue de ce rapport, bien qu’assez compliquée, peut être presque toujours réduite, avec une approximation suffisante, à celle de ${\tfrac {i_{m}}{0,0036-i_{m}}},$ où $i_{m}$ désigne la pente moyenne du fond et où le nombre 0,0036 n’est qu’une sorte de moyenne à laquelle il sera bon de substituer, pour chaque nature de paroi et chaque valeur du rayon moyen, la pente limite qui sépare les rivières des torrents. Enfin une des deux valeurs de $i_{m}$ qui rend ce rapport égal à 1 se confond avec celle pour laquelle les ondulations de la surface ne sont ni en avance, ni en retard sur celles du fond, de manière que la courbure de ce dernier n’a alors aucune influence sur les variations de la profondeur d’une section à l’autre, et que cette profondeur est constante à une certaine distance des deux extrémités.

Les cours d’eau que j’ai appelés torrents de pente modérée sont ceux qui reflètent à leur surface, avec le plus d’amplification, des ondulations régulières et successives de leur fond.

Du mouvement non permanent. Propagations des ondes le long d’un canal contenant une eau en repos. vi. Une troisième partie du mémoire est consacrée à l’étude du mouvement non permanent.

Quand ce mouvement est graduellement varié, son équation diffère peu de celle que M. de Saint-Venant a donnée en supposant l’égalité de vitesse de tous les filets fluides^[8] ; mais quand il faut, tenir compte de la courbure des filets et qu’on étudie la propagation, le long d’un canal rectangulaire où se trouve établi un régime uniforme ou très-graduellement varié, d’ondes ou de remous n’ayant qu’une hauteur médiocre, dont les dérivées successives, par rapport à l’abscisse, sont de plus en plus petites, les termes représentant l’influence de cette courbure ont de tout autres expressions, suivant que l’on suppose aux filets fluides de très-petites différences de vitesse, ou suivant qu’on leur suppose les inégalités de vitesse dont ils sont affectés dans les canaux en pente ordinaires. Dès qu’il y a en effet, entre les vitesses, des différences un peu grandes, il s’introduit, à côté de termes qui ne dépendent pas de celles-ci et qui contiennent des dérivées du troisième ordre, d’autres termes, affectés de dérivées du second ordre et, par suite, beaucoup plus influents que les précédents dans le problème de la marche des ondes et des remous de petite hauteur.

Le premier cas, où l’on peut supposer les vitesses peu inégales aux divers points des sections, se trouve réalisé dans les canaux à fond sensiblement horizontal et dont le liquide est en repos avant l’instant où les ondes étudiées s’y propagent ; ce cas est régi, quand on néglige les frottements, qui n’y ont, en général, qu’une influence peu sensible, par des lois simples, que j’avais déjà déduites des équations de l’hydrodynamique rationnelle dans un mémoire, précédemment cité, Sur les ondes et les remous, etc. (Journal de M. Liouville, t. XVII, 1872), et dont plusieurs ont été expérimentalement découvertes, les unes, vers 1842, par M. Scott Russell, les autres, vers 1859, par MM. Darcy et Bazin.

Les belles recherches expérimentales dont je parle, et que connaissent tous les ingénieurs^[9], concernent :

1^o La production et la propagation de l’onde de translation ou solitaire, remarquable par la symétrie de son profil longitudinal, à deux inflexions, situé tout en relief au-dessus de la surface libre primitive du liquide, et par sa longévité, qui lui permet de franchir de grands espaces sans se déformer beaucoup ;

2^o La vitesse de propagation de cette onde, vitesse dont le carré est le produit de la gravité $g=9^{m},809$ par la distance qui sépare le sommet de l’onde du fond du canal ; 3^o La vitesse, donnée à peu près par la même formule, des ondes négatives, c’est-à-dire qui sont constituées, au contraire, par des dépressions du liquide au-dessous de son niveau primitif ;

4^o Le peu de stabilité de ces dernières ondes, dont la tête s’allonge sans cesse, tandis qu’il se forme à leur queue une série d’ondes plus petites, alternativement convexes et concaves, et qui sont, les premières positives ou situées au-dessus de la surface libre primitive, les secondes négatives ou situées au-dessous de la même surface ;

5^o les perturbations dont se trouve atteinte la loi précédente des vitesses de propagation, dès que la hauteur des intumescences approche d’être égale à la profondeur primitive ; les solutions de continuité qui se produisent alors fréquemment au sein de la masse fluide et, en particulier, le déferlement des ondes positives, dont la base diminue sans cesse quand elles se propagent dans une eau de moins en moins profonde, et dont le sommet, où les molécules liquides sont moins retenues par les frottements du fond, finit par surplomber et par tomber en avant ;

6^o Le morcellement nécessaire de toute intumescence positive très-longue, mais limitée à son arrière, en plusieurs ondes solitaires distinctes, qui sont parfois suivies de quelques ondes négatives.

Tels sont les faits observés en premier lieu par Scott Russell et récemment, sur une plus grande échelle, par M. Bazin, qui a étudié en outre la propagation de ce qu’il appelle des remous, c’est-à-dire des gonflements illimités produits par l’injection continue et uniforme, à l’entrée d’un canal, d’une quantité indéfinie de liquide. Ces gonflements, en se propageant sur l’eau immobile du canal, offrent l’apparence d’une lame fluide de hauteur sensiblement constante, qui glisserait par-dessus, précédée d’une série de convexités et de concavités de grandeurs décroissantes, respectivement situées au-dessus et au-dessous de la face supérieure de la lame liquide qui suit, mais toutes positives, c’est-à dire plus élevées que la surface libre primitive : la première convexité, appelée par M. Bazin onde initiale, est environ une fois et demie plus haute que la lame qui suit. Le carré de la vitesse de propagation de celle-ci et de l’onde initiale est égal au produit de la gravité $g$ par la profondeur primitive, augmentée d’une fois et demie la hauteur de la lame considérée. Enfin ces lois cessent de se vérifier quand la hauteur de l’intumescence dévient comparable à la profondeur primitive : alors l’onde initiale déferle sans cesse ; sa hauteur n’est plus supérieure à celle de la lame qui suit et, à cause sans doute de l’exagération des frottements du fond ou des bords, le carré de la vitesse de propagation n’égale plus environ que le produit de $g$ par la distance de la face supérieure de cette lame au fond.

Le calcul n’avait fourni jusqu’à ces dernières années, sur tous ces phénomènes intéressants, que la loi simple et de première approximation de Lagrange, d’après laquelle la vitesse de propagation des ondes et des remous dont il s’agit devait être sensiblement la même pour toutes leurs parties et peu différente de la racine carrée du produit du nombre $g$ par la profondeur primitive. J’ai pu démontrer, non-seulement les résultats d’expérience rappelés ci-dessus (ou du moins tous ceux qui concernent des ondes d’une médiocre hauteur), mais encore un grand nombre de lois, relatives respectivement :

1^o Aux vitesses de propagation, généralement inégales, des diverses parties d’une intumescence quelconque, positive ou négative ;

2^o À la vitesse de propagation du centre de gravité général d’une onde, vitesse dont le carré est le produit du nombre $g$ par la somme de la profondeur initiale et du triple de la hauteur de ce centre au-dessus de la surface libre primitive ;

3° À la valeur de l’énergie totale d’une intumescence, énergie constante quand on fait abstraction des frottements et qui est proportionnelle à la fois au volume de l’intumescence et à la hauteur de son centre de gravité au-dessus de la surface libre primitive ;

4^o À la forme exacte de l’onde solitaire, dont l’équation en termes finis contient un cosinus hyperbolique, mais qui est caractérisée par la propriété simple d’avoir son ordonnée verticale, sur une section quelconque du canal et comptée à partir de la surface libre primitive, égale aux trois quarts de l’inverse du cube de la profondeur initiale, multipliés par le produit des deux parties en lesquelles cette section divise le volume total, par unité de largeur, de l’onde considérée ;

5^o Aux variations que subit cette forme quand l’onde se propage dans un canal dont la profondeur est graduellement croissante ou graduellement décroissante ;

6^o À l’instabilité plus ou moins grande de forme d’une intumescence, instabilité mesurée par une certaine intégrale, constante pour chaque onde et minimum pour l’onde solitaire qui est seule stable ;

7^o Enfin à la forme des trajectoires des molécules fluides, courbes qui sont notamment, dans l’onde solitaire, des arceaux de parabole à axe vertical, dont le demi-paramètre est, pour les molécules superficielles, les deux tiers de la profondeur primitive, et, pour les autres, en raison inverse de leur distance initiale au fond du canal.

Propagation des ondes le long d’un canal dont l’eau s’écoule. VII. Passant ensuite à l’étude des ondes produites dans un canal où se trouve établi un régime sensiblement uniforme ou très-graduellement varié, je démontre que la vitesse de propagation de leur centre de gravité, par rapport à un observateur animé de la vitesse moyenne du courant, est donnée à fort peu près par la formule déjà trouvée pour le cas d’un canal, contenant une eau en repos, et qu’il en est par suite de même, avec une approximation suffisante, quand on introduit dans l’expression de cette vitesse, au lieu de la distance du centre de gravité à la surface libre primitive, le tiers de la hauteur maximum (positive ou négative ) de l’intumescence, si c’est une onde isolée, et la moitié de sa hauteur presque constante, si c’est un remous indéfini. Toutefois, à cause des différences notables de vitesse des divers filets, le calcul ne conduit pas précisément à cette formule, mais à une autre moins simple, donnant des résultats fort peu différents ; c’est seulement pour les ondes qui remontent un courant avec une faible vitesse que la formule approchée cesse d’être admissible, vu qu’elle fournit alors des résultats sensiblement trop forts en valeur absolue. Les expériences de M. Bazin, soit sur les ondes isolées, positives ou négatives, qui montent ou qui descendent le long d’un canal en pente, soit sur les remous indéfinis propagés, dans un canal pareil, en sens inverse du courant, confirment cette théorie et montrent même l’exactitude de la réflexion précédente relative aux ondes et aux intumescences ascendantes peu rapides^[10].

Mais si l’inégalité de vitesse des filets fluides n’a qu’une influence ordinairement négligeable sur la célérité de propagation du centre de gravité d’une intumescence, elle en a, au contraire, une grande sur la manière dont leur courbure tend à modifier, d’un instant à l’autre, la forme de la surface libre ; et cette influence, quand il s’agit notamment d’une onde isolée, positive ou négative, consiste à diminuer sa hauteur ou sa profondeur avec une rapidité d’autant plus grande que la vitesse moyenne du courant l’est elle-même. C’est encore ce que M. Bazin a expérimentalement reconnu^[11].

Lois particulières qui régissent les longues intumescences de courbure insensible. VIII. Les intumescences dont la surface n’a partout qu’une courbure insensible, et qui sont propagées au sein de l’eau en repos d’un canal horizontal, ou le long d’un canal en pente soumis à un régime uniforme, méritent d’être spécialement considérées, soit à cause de cette circonstance que la petitesse supposée des courbures y rend l’équation différentielle de la surface libre intégrable en termes finis, soit parce que ces intumescences sont celles dont on a le plus souvent à s’occuper quand on traite des crues des rivières et de la propagation des marées dans la partie maritime des fleuves. Malheureusement, il est presque toujours nécessaire d’y tenir compte des frottements et de la pente de fond, qui introduisent, même dans le cas analytiquement traitable de remous d’une médiocre hauteur, une assez grande complication, nécessitant de longs calculs numériques. Toutefois, deux lois assez simples régissent encore, l’une, les vitesses de propagation des diverses parties de l’onde, l’autre, les vitesses moyennes des molécules sur une section quelconque. J’en déduis l’explication de quelques phénomènes intéressants, comme, par exemple, de la forme concave, observée par M. Bazin^[12], des intumescences positives indéfinies qui remontent un courant, et de la non-simultanéité, constatée par M. Partiot dans la marche ascendante des marées le long d’un fleuve, des instants où la vitesse sur une section devient maximum ou minimum et de ceux où la profondeur sur la même section le devient elle-même, instants dont les premiers sont antérieurs aux seconds.

M. de Saint-Venant avait déjà, dans son mémoire, cité plus haut, sur le mouvement non permanent, mais en supposant négligeables les frottements, ainsi que la pente de fond, et en admettant que la vitesse moyenne ne varie qu’en fonction de la profondeur, résolu le problème de la marche des intumescences de courbure insensible. Il a bien voulu me communiquer postérieurement quelques aperçus synthétiques qui faisaient pressentir la concavité des longs remous positifs, et qui ont appelé mon attention sur la nécessité de ne pas négliger les frottements et la pente de fond dans l’étude des longues intumescences.

La forme de la section n’a qu’une petite influence sur la vitesse de propagation d’une onde de courbure insensible et de médiocre hauteur : chacune de ses parties se propage, en effet, le long d’un canal prismatique non rectangulaire, comme elle le ferait dans un canal rectangulaire de même profondeur moyenne primitive, si la hauteur de la partie considérée d’intumescence était réduite dans le rapport de 1 à $1-{\tfrac {2\tau }{3}}{\tfrac {\mathrm {H} }{\mathrm {L} }},$où $2\tau$ désigne la somme des cotangentes des inclinaisons, sur l’horizon, des deux bords de la section à fleur d’eau, et ${\tfrac {\mathrm {H} }{\mathrm {L} }}$ le rapport de la profondeur moyenne primitive à la largeur superficielle correspondante.

L’influence des frottements et de la pente de fond, cause de complications dans les problèmes de mouvement non permanent, quand elle intervient comme perturbatrice et secondaire, mais surtout quand elle est du même ordre de grandeur que les autres actions en jeu, amène, au contraire, une simplification notable lorsqu’elle atteint d’assez grandes valeurs pour masquer, à une première approximation, la non-permanence du régime. C’est ce qui arrive dans le mouvement quasi-permanent, qui est celui de tous les cours d’eau en temps ordinaire (sauf dans leurs parties maritimes, sujettes à l’influence des marées), et qui est même souvent celui des grandes rivières en temps de crue. L’état du cours d’eau s’y trouve sensiblement déterminé, sur chaque section et aux diverses époques, dès qu’on donne la dépense, et il suffit de calculer la propagation de chacune des valeurs de celle-ci.

C’est ce que permet de faire l’équation exprimant la conservation des volumes fluides, équation alors équivalente à une formule trouvée par M. l’inspecteur général des ponts et chaussées Graëff^[13], et qui s’intègre aisément. Les résultats ainsi obtenus subissent, à une deuxième approximation, de légers changements : le principal consiste en ce que, pour une même valeur de la dépense, le niveau du liquide est un peu moins élevé quand le cours d’eau est en crue que lorsqu’il est en décroissance.

Objet des Notes complémentaires. IX. Enfin cette Étude sur les eaux courantes se termine par trois Notes complémentaires concernant des questions dans lesquelles on ne peut négliger ni la courbure des filets fluides, ni même, en général, les puissances supérieures de leur inclinaison mutuelle : la première traite de l’écoulement par les orifices et par les déversoirs ; la deuxième, de l’influence des coudes et des tournants ; la troisième, du mouvement permanent d’un liquide lancé dans l’atmosphère sous la forme d’une nappe assez mince pour qu’il faille tenir compte de la tension capillaire de ses deux faces. Les deux premières intéressent à un haut degré l’hydraulique pratique : elles contiennent surtout, un essai de théorie des phénomènes de contraction, pour lesquels nos connaissances rationnelles se bornaient jusqu’à ce jour au principe de D. Bernoulli. On verra qu’il est, dès à présent, possible d’y établir un certain nombre de lois positives, et même d’obtenir avec une approximation suffisante, en s’appuyant sur quelques faits simples d’observation, les vraies valeurs des coefficients de contraction ou de dépense.

1. Plusieurs des idées nouvelles que contient ce mémoire, présenté le 28 octobre 1872 (Comptes rendus, t. LXXV, p. 1011), avaient été déjà résumées par l’auteur dans deux Notes des Comptes rendus (t.  LXXI, p.  389, 29 août 1870 ; t.  LXXIII, p.  34 et 101, 3 et 10 juillet 1871) et dans une lecture l’aile à l’Académie le 15 avril 1872 (Comptes rendus, t. LXXIV, p. 1026).
2. Sur les mouvements bien continus et sur les phénomènes de filtration.Cette supposition d’une vitesse nulle contre une paroi mouillée a été directement confirmée par l’expérience, surtout depuis que M. Duclaux, professeur de chimie à la Faculté des sciences de Clermont, a fait voir que l’alcool coloré contenu dans le tube d’un thermomètre perce une couche d’alcool incolore superposée, quand on vient à chauffer le réservoir thermométrique, plutôt que de la chasser devant elle, et qu’il la traverse, en s’allongeant en forme de cône arrondi à son sommet, de manière à montrer que, dans ce phénomène, les particules liquides un peu éloignées des parois sont les premières et presque les seules à avancer. La difficulté qu’on éprouve à bien sécher, par des moyens mécaniques, tout solide mouillé, et la rupture inévitable que l’on produit dans une masse fluide quand on essaye de la séparer d’un solide avec lequel elle a quelque adhérence suffisent d’ailleurs pour établir que l’adhésion est plus grande entre un fluide et un solide mouillé qu’entre deux couches fluides contiguës, et pour démontrer, par conséquent, que, dans tous les mouvements continus des fluides, la vitesse des particules adjacentes aux parois mouillées doit être fort petite, comparable tout au plus à celle avec laquelle deux couches fluides très-voisines glissent l’une sur l’autre, pour que le frottement extérieur fasse équilibre au frottement intérieur du fluide sur son enveloppe. C’est même en supposant à la gaîne liquide immobilisée par adhésion sur les parois mouillées une épaisseur sensible (comparable, chez les liquides peu visqueux, à un demi-millième de millimètre) et d’ailleurs variable en sens inverse de la pression motrice et avec la nature ou la température des substances en contact, que M. Duclaux a pu expliquer, soit les anomalies aux lois de Poiseuille que présente l’écoulement dans les tubes les plus fins, soit l’imperméabilité, au-dessous de certaines pressions ou à certains liquides, de membranes à pores étroits ou déjà plus ou moins obstrués de gaines laissées par d’autres liquides. (Voir, aux Recherches sur les lois des mouvements des liquides dans les espaces capillaires, par M. É. Duclaux, le chapitre intitulé : Écoulement de divers liquides au travers des espaces capillaires. Annales de chimie et de physique, 4^è série, t. XXV, 1872.)
   L’hypothèse de Navier, d’après laquelle la vitesse aux parois serait finie et d’ailleurs proportionnelle, dans les mouvements bien continus, au frottement extérieur, doit être à fort peu près admissible quand il s’agit, d’une paroi non mouillée, comme l’est celle d’un tube en verre dans lequel coule du mercure. Toutefois, dans ce cas, il me parait extrêmement probable que le frottement, extérieur croît avec la pression. Il est, en effet, naturel que ce frottement du fluide sur la paroi soit proportionnel au nombre des molécules de la paroi rencontrées par le fluide dans l’unité de temps, c’est-à-dire à la vitesse, et augmente en outre avec le rapprochement produit, entre le liquide et le solide, rapprochement que la facilité avec laquelle un liquide se moule instantanément sur un solide doit rendre indépendant de la vitesse, mais qui n’en doit pas moins croître avec la pression. Les choses se passent autrement quand on considère : 1^o soit deux solides plus ou moins rugueux, glissant l’un sur l’autre, et dont le rapprochement, d’autant plus grand que l’est la pression normale, mais d’autant moindre que la vitesse est plus considérable, rend en somme leur frottement mutuel (qui est en outre en raison directe de la vitesse ou du nombre des molécules frottantes rencontrées dans l’unité de temps) proportionnel à la pression et sensiblement indépendant de la vitesse ; 2^o soit deux couches liquides contiguës, dont le rapprochement ne dépend ni de la vitesse relative avec laquelle elles glissent l’une sur l’autre, ni de la pression, supposée assez modérée pour ne pas augmenter sensiblement la densité ; d’où il résulte que le frottement est simplement égal, sous l’unité de surface, au produit de la vitesse relative de glissement par un coefficient, indépendant de la pression.
   Les formules de Navier rendent également compte de deux fois sur l’écoulement permanent de l’eau à travers les sables et autres milieux poreux, découvertes par MM. Darcy et Riller (Les fontaines publiques de la ville de Dijon, par M. H. Darcy, 1856, p. 590), vérifiées depuis par M. Duclaux (mémoire déjà cité), et dont Ja première l’a été en outre par M. Bazin (Recherches hydrauliques, 1^ère partie, note A) et par M. Becquerel (Comptes rendus, t. LXXV, p. 50, 8 juillet 1872) : elles consistent en ce que la dépense, par chaque mètre carré de base d’une couche poreuse homogène, est proportionnelle à la pression qui produit l’écoulement et en raison inverse de l’épaisseur de la couche. En effet, si l’on assimile une couche pareille à un réseau de tubes étroits disposés suivant les trajectoires des molécules liquides, tubes dont la longueur moyenne sera évidemment proportionnelle à l’épaisseur de la couche et dont la forme et les dimensions dépendront de sa nature, ces deux lois découleront immédiatement des deux premières de M. Poiseuille, relatives à la pression et à la longueur des tubes, déjà trouvées antérieurement par Girard et qui subsistent, la première pour des tubes de forme quelconque, la seconde toutes les fois que les tubes considérés sont décomposables en petites parties sensiblement pareilles les unes aux autres, mais d’ailleurs irrégulières. C’est ce que j’ai démontré au § viii d’un mémoire Sur l’influence des frottements dans les mouvements réguliers des fluides (Journal de M. Liouville, t. xiii, 1868).
   Dans tout écoulement pareil, la pression varie conformément à la loi hydrostatique le long de tout chemin perpendiculaire aux filets fluides (voir les deux dernières formules (6), § 11, du même mémoire), et on pourra la supposer régie par cette loi dans toute l’étendue de chaque section normale d’un tuyau de conduite ou d’un canal découvert remplis de sable, lorsque le liquide y transpirera par filets presque droits et parallèles (à part de petites sinuosités locales).
   Arrêtons-nous un instant à ce problème de l’écoulement par un tuyau ou par un canal découvert remplis de sable, problème très-important, soit dans la théorie des filtres, soit dans l’étude de la marche des eaux souterraines, et prenons un axe longitudinal des abscisses $s$ dirigé le long de l’axe même du tuyau ou, quand le canal est découvert, suivant le profil longitudinal de la surface libre du liquide (d’ailleurs cachée par le milieu poreux). J’appellerai : $\rho$ la densité du liquide ; $\sin \mathrm {I}$ la pente, généralement un peu variable avec $s,$ de l’axe des abscisses ; $p_{o}$ la, pression aux divers points de cet axe et qui se réduirait à celle de l’atmosphère dans le cas du canal découvert. D’un point à l’autre d’une même section $\sigma$ normale à l’axe des $s,$ la pression ${\tfrac {p}{\rho g}}$ estimée en hauteur de liquide, variera hydrostatiquement et croîtra, par suite, de la même quantité que l’ordonnée verticale, du point considéré au-dessous d’un plan horizontal fixe : l’excès de ${\tfrac {p}{\rho g}}$ sur cette ordonnée sera donc, pour toute la section, le même qu’au point où celle-ci coupe l’axe des $s$ et où $p$ égale $p_{0}$. L’augmentation que reçoit cet excès le long d’un même filet, quand $s$ croît de $ds,$ pourra ainsi être mesurée sur l’axe même des abscisses et vaudra $\left({\tfrac {1}{\rho g}}{\tfrac {dp_{0}}{ds}}-\sin \mathrm {I} \right)ds,$ ou bien, rapportée à l’unité de longueurs $s,$ ${\tfrac {1}{\rho }}{g}{\tfrac {dp_{0}}{ds}}-\sin \mathrm {I} .$ Cela posé, la seconde formule (24) du mémoire cité donne, pour la dépense d’un des petits tubes formés par les pores perméables du milieu traversé, une quantité directement proportionnelle à cet accroissement changé de signe, $\sin \mathrm {I} -{\tfrac {1}{\rho }}{g}{\tfrac {dp_{0}}{ds}},$ et réciproquement proportionnelle à la valeur moyenne du carré de l’inverse de la section du tube et à un coefficient dépendant de sa forme. En faisant la somme des dépenses de tous les tubes qui composent ensemble un faisceau de dimensions sensibles et en divisant cette somme par celle de leurs sections intérieures, on aura la vitesse moyenne locale $u$ de transpiration du liquide dans la région considérée. On voit que cette moyenne locale sera proportionnelle à la différence $\sin \mathrm {I} -{\tfrac {1}{\rho }}{g}{\tfrac {dp_{0}}{ds}}$ et à un coefficient ${\tfrac {1}{\mu }},$ dépendant de la nature des couches poreuses traversées et d’autant plus petit que celles-ci seront plus compactes. (D’après les expériences de Darcy, $\mu$ serait généralement compris, pour l’eau qui filtre à travers divers sables, entre 1000 et 10000, les unités de longueur et de temps étant le mètre et la seconde.) Si $\mathrm {U}$ désigne, par conséquent, la vitesse moyenne sur toute la section $\sigma$ et que, pour plus de simplicité, le milieu poreux soit supposé sensiblement homogène dans toute cette étendue, il viendra

   (α)

   $\sin \mathrm {I} -{\frac {1}{\rho }}{g}{\frac {dp_{0}}{ds}}=\mu \mu =\mu \mathrm {U} .$

   
   C’est l’équation du mouvement. On y joindra : 1^o si l’écoulement est permanent, la relation

   (β)

   $\mathrm {Q} =m\sigma \mathrm {U} ,$

   
   qui exprime l’invariabilité de la dépense totale $\mathrm {Q}$ à travers les diverses sections et où $m$ désigne le rapport de la somme des sections vives des tubes suivant lesquels coule le liquide à la section fluide apparente $\sigma \ ;$ 2^o si le mouvement est non permanent, la formule

   (γ)

   ${\frac {d\cdot m'\sigma }{dt}}+{\frac {d\cdot m\sigma \mathrm {U} }{ds}}=0,$

   
   analogue à celle $(\textstyle \int )$ du § xxvi ci-après (n— 126), et qui se démontre de la même manière : j’appelle $m'$le rapport de l’espace occupé par les pores perméables du milieu à son volume apparent total, rapport qui est sans doute un peu supérieur à $m,$ à cause des pores non disposés suivant les trajectoires des molécules fluides et où le liquide doit rester sensiblement stationnaire.
   La relation (α) permettra d’éliminer $\mathrm {U}$ de la formule (β) ou (γ) : il sera facile ensuite d’amener celle-ci à ne plus contenir qu’une seule fonction inconnue, dont elle déterminera les variations, et qui est $p_{0},$ s’il s’agit d’un tuyau, $\sigma$ dans le cas contraire d’un canal découvert.
   Dupuit, au chapitre viii de ses Études sur les eaux courantes (2^e édit.), a su tirer parti de l’équation (β) et de l’équation (α) (qu’il a d’ailleurs établie d’une autre manière et sans tenir compte de la troisième loi de Poiseuille) pour expliquer les mouvements des eaux souterraines et, en particulier, diverses circonstances relatives aux filtrations qui se font tout autour des puits, ordinaires, absorbants ou artésiens.

3. Sur l’hydrodynamique des cours d’eau, n^o 12 (Comptes rendus, t. LXXIV, 26 février, 4, 11 et 18 mars 1872). — Voir aussi la page 30 de l’introduction aux Recherches"" hydrauliques de MM. Darcy et Bazin (Savants étrangers, t. xix, 1865) : « La question se complique et s’obscurcit donc davantage, à mesure que des expériences plus nombreuses et plus précises paraîtraient devoir y jeter une plus grande lumière… Nous ne possédons pas encore de notions saines sur les mouvements intérieurs des fluides et sur les actions mutuelles de leurs molécules. »
4. M. de Saint-Venant me paraît avoir le premier signalé l’influence de l’agitation tourbillonnaire sur le coefficient des frottements intérieurs ; car il dit, à la fin du n° 14 (p. 49) de ses Formules et tables nouvelles (Annales des mines, 4^o série, t. xx, 1851) : « Si l’hypothèse de Newton, reproduite par Navier et Poisson, et qui consiste à prendre le frottement intérieur proportionnel à la vitesse relative des filets glissant les uns devant les autres, peut être appliquée approximativement pour les divers points d’une même section fluide, tous les faits connus portent à inférer qu’il faut faire croître le coefficient de cette proportionnalité avec les dimensions des sections transversales ; ce qui s’explique jusqu’à un certain point, en remarquant que les filets ne marchent pas parallèlement entre eux avec des vitesses régulièrement graduées de l’un à l’autre, et que les ruptures, les tourbillonnements et les autres mouvements compliqués ou obliques, qui doivent beaucoup influer sur la grandeur des frottements, se forment et se développent davantage dans les grandes sections. » Il a aussi, dans un article des Comptes rendus (t. xxii, p. 309, 16 février 1846), exprimé cette pensée que le coefficient du frottement intérieur peut varier d’un point à l’autre d’une même section.
5. Ou pour lesquels on a $\gamma >\alpha \ ;$ voir aux §§ xxi et xxii.
6. Recherches hydrauliques entreprises par H. Darcy et continuées par M. Bazin (Savants étrangers, t. XIX), 1^re partie, dernier chapitre, N^o 19.
7. Dupuit (Eaux courantes, p.  81), citant M. Vallée (Du Rhône et du lac de Genève, p.  19), dit que la plus forte pente de superficie du Rhône est 0, 00074 dans les parties navigables, et qu’elle n’atteint la valeur 0, 0038, dans les parties non navigables, qu’au point appelé la perle du Rhône, où le fleuve a pour lit un souterrain naturel creusé dans le rocher. D’après M. Parliot (p.  43 du mémoire Sur les sables de la Loire, aux Annales des ponts et chaussées, 1871), la pente moyenne de la Loire, dans les départements du Loiret, de Loir-et-Cher, d’Indre-et-Loire, de Maine-et-Loire, est respectivement 0,00045, 0,00039, 0,00032, 0,00028. M. Baumgarten, à la page 21 de sa Notice sur la Garonne (mêmes Annales, n^o de juillet et août 1848), donne pour pente moyenne de cette dernière rivière, sur une longueur de 55910 mètres en aval de l’embouchure du Lot, 0,00026525.
8. Comptes rendus, 17 et 24 juillet 1871, t. LXXIII, p. 147 et 237.
9. Voir les Recherches hydrauliques de MM. Darcy et Bazin, 2^e partie.
10. Recherches hydrauliques, 2^e partie, chap. i, n^os 21-27 ; chap. iv, n^o  66.
11. Ibid., chap. i, n^o  23
12. Recherches hydrauliques, 2^e partie, chap. iii, n^o 50.
13. Mémoire sur l’action de la digue de Pinay, etc. p. 188 du mémoire, au tome XXI du Recueil des Savants étrangers, 1873. — J’apprends que M. l’ingénieur en chef Ph. Breton était arrivé, de son côté, à une formule analogue.